高斯公式 通量与散度

1、高斯公式高斯公式物理意义物理意义-通量通量与与散度散度小结小结 思考题思考题 作业作业 flux divergence第六节第六节 高斯高斯 (Gauss)公式公式 通量通量与与散度散度第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 高斯高斯 Gauss,K.F. (17771855) 德国数学家、物理学家、天文学家德国数学家、物理学家、天文学家2 格林公式格林公式把平面上的把平面上的闭曲线积分闭曲线积分与与本节的本节的高斯公式高斯公式表达了空间闭曲面表达了空间闭曲面上的上的曲面积分曲面积分与曲面所围空间区域上的与曲面所围空间区域上的三重积分三重积分的关系的关系.所围区域的所围区域的二重积

2、分二重积分联系联系起来起来. 高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度3一、高一、高 斯斯 公公 式式vzRyQxPd)( ,围成围成由分片光滑的闭曲面由分片光滑的闭曲面设空间闭区域设空间闭区域 上上在在、函数函数 ),(),(),(zyxRzyxQzyxPSRQPd)coscoscos( yxRxzQzyPdddddd高斯公式也称为奥高公式高斯公式也称为奥高公式,或奥斯特洛格拉斯或奥斯特洛格拉斯基公式基公式.(俄俄)1801 1861具有具有则有公式则有公式一阶连续偏导数一阶连续偏导数, ,或或 高斯公式高斯公式的的整整个个边边界界曲曲面面的的是是这这里里 ,cos,cos .)

3、,(cos处的法向量的方向余弦处的法向量的方向余弦上点上点是是zyx 外侧外侧, ,高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度4 证明思路证明思路vzRyQxPd)( yxRxzQzyPdddddd 分别证明以下三式分别证明以下三式,从而完成定理证明从而完成定理证明. yxzyxRvzRdd),(d zyzyxPvxPdd),(d xzzyxQvyQdd),(d只证其中第三式只证其中第三式,其它两式可完全类似地证明其它两式可完全类似地证明.高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度5xyzOxyzO证证),(:22yxzz :3 xyDyxyxzzyxz ),(),(),(

4、:21 设空间区域设空间区域母线平行于母线平行于z轴的柱面轴的柱面.),(:11yxzz vzRyQxPd)( yxRxzQzyPdddddd即边界面即边界面321, 由由三部分组成三部分组成:xyDxoy面上的投影域为面上的投影域为在在xyD(取下侧取下侧)(取上侧取上侧)(取外侧取外侧)nn柱柱面面 坐标轴坐标轴的边界曲面与任一平行的边界曲面与任一平行假设域假设域 .的直线至多相交于两点的直线至多相交于两点高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度n6xyzO xyDnnn由由三重积分三重积分的计算法的计算法 xyDyxyxzyxRyxzyxRdd),(,),(,12 vzRd

5、),(),(21dyxzyxzzzR yxxyDdd yxzyxRxyDyxzyxzdd),(),(),(21 yxzyxRvzRdd),(d投影法投影法( (先一后二法先一后二法) )高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度7xyzOxyDnnn 由由曲面积分曲面积分的计算法的计算法 yxzyxRdd),( 1 取取下下侧侧,2 取取上上侧侧,3 取取外外侧侧 xyDyxyxzyxRdd),(,1 yxzyxRdd),( yxzyxRdd),( xyDyxyxzyxRdd),(,2 01 2 3 ),(:22yxzz ),(:11yxzz yxzyxRvzRdd),(dyxzyx

6、Rdd),(321 yxzyxRdd),( 一投一投,二代二代,三定号三定号高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度8 xyDyxyxzyxRyxzyxRdd),(,),(,12 yxzyxRdd),( yxzyxRvzRdd),(d于是于是 xyDyxyxzyxRyxzyxRdd),(,),(,12 vzRd高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度9 zyzyxPvxPdd),(d同理同理 xzzyxQvyQdd),(d vzRyQxPd)( 合并以上三式得合并以上三式得自己证自己证 yxzyxRvzRdd),(d高斯公式高斯公式 yxRxzQzyPdddddd高斯高

7、斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度10高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度若区域若区域的边界曲面的边界曲面 与任一平行于坐标轴与任一平行于坐标轴的直线的交点多于两点时的直线的交点多于两点时,可以引进几张辅助的可以引进几张辅助的曲面把曲面把分为有限个闭区域分为有限个闭区域,使得每个闭区域满使得每个闭区域满足假设条件足假设条件,并注意到沿辅助曲面相反两侧的两并注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分的绝对值相等而符号相反个曲面积分的绝对值相等而符号相反,相加时正相加时正好抵消好抵消.因此因此,高斯公式对这样的闭区域仍是正高斯公式对这样的闭区域仍是正确的确的.11vzRyQ

8、xPd)( 由两类曲面积分之间的关系知由两类曲面积分之间的关系知 SRQPd)coscoscos(高斯公式为计算高斯公式为计算(闭闭)曲面积分提供了曲面积分提供了它能简化曲面积分的计算它能简化曲面积分的计算.一个新途径一个新途径,表达了空间闭区域上的三重积分与其表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系边界曲面上的曲面积分之间的关系.高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度Gauss公式的实质公式的实质12高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度使用使用Guass公式时应注意公式时应注意:使用使用Guass公式时易出的差错公式时易出的差错: :(1)

9、 搞不清搞不清是对什么变量求偏导是对什么变量求偏导;RQP,(2) 不满足高斯公式的条件不满足高斯公式的条件, 用公式计算用公式计算;(3) 忽略了忽略了 的取向的取向,注意是注意是取闭曲面的取闭曲面的外侧外侧. . vzRyQxPd)( 高斯公式高斯公式 yxRxzQzyPdddddd二、简单的应用二、简单的应用例例1 1 计算曲面积分计算曲面积分xdydzzydxdyyx)()( 其中为柱面其中为柱面122 yx及平及平面面3, 0 zz所围成的空间闭所围成的空间闭区域区域 的整个边界曲面的外侧的整个边界曲面的外侧. .xozy113解解, 0,)(yxRQxzyP , 0, 0, zRy

10、QzyxP dxdydzzy)(原式原式 dzrdrdzr)sin(.29 xozy113 301020)(sinrdzzrdrd15xyzO解解 333,zRyQxP zyxzyxIddd)(3222 dddsin322rrr,32xxP rrRdsindd320004 球球 例例2 ,dddddd333yxzxzyzyxI计算计算的的为球面为球面2222Rzyx ,32yyQ 23zzR 5512R 外侧外侧. . yxRxzQzyPddddddvzRyQxPd)( 因因是闭曲面是闭曲面,可可利用利用高斯公式高斯公式计算计算.高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度16xyzO

11、n例例3,dddddd222 zyxyxzxzyzyxI计计算算解解 I zyxaddd3234343aaa 的的为球面为球面2222azyx 外侧外侧. . yxzxzyzyxdddddda1能否直接用能否直接用点点(x,y,z)在曲面上在曲面上,然后再用然后再用高斯公式高斯公式. .可先用曲可先用曲面方程将被积面方程将被积因被积函数中的因被积函数中的函数化简，函数化简，高斯公式高斯公式高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度17有时可作有时可作辅助面辅助面,(将辅助面上的积分减去将辅助面上的积分减去).化为闭曲面的曲面积分化为闭曲面的曲面积分, 然后利用然后利用高斯公式高斯公式

12、.对有的对有的 非闭曲面非闭曲面的曲面积分的曲面积分,高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度18 coscoscos、,d)coscoscos(222Szyx )0(0222 hhzzzyx及及介于平面介于平面锥面锥面例例4 计算曲面积分计算曲面积分之间之间下侧下侧. .的法向量的方向余弦的法向量的方向余弦.处处在在是是),(zyx 为为其中其中 高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度部分的部分的解解 空间曲面空间曲面在在xOy面上的面上的,xyD曲面曲面 不是不是 为利用高斯公式为利用高斯公式投影域为投影域为xyzOnxyD h)(,:2221hyxhz ,1取取

13、上上侧侧 1 .1 围围成成空空间间区区域域 上上在在 补补构成构成封闭曲面封闭曲面, ,使用使用高斯公式高斯公式.封闭曲面封闭曲面, 1 n19)ddd(2 vzvyvx vzyxd)(2由对称性由对称性Szyxd)coscoscos(2221 0 ,),( 222hzzyxzyx zDyxddzzzhd220 vzd2zzhd203 42h 0 0 SRQPvzRyQxPd)coscoscos(d)(zzhd20 高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度1 n nxyzOhxyD先二后一法先二后一法20 1d)coscoscos(222 Szyx xyDyxhdd24h 故所求

14、积分为故所求积分为 Szyxd)coscoscos(222.214h 1cos, 0cos, 0cos 1d2 Sz)( ,:2221hyxhz 11 4421hh 高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度1 n nxyzOhxyD4211h yxyxSdddd001d 高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度证证,coscoscos zvyvxvnv dSnvu dSzvyvxvu)coscoscos( dSzvuyvuxvucos)(cos)(cos)( 利用高斯公式，即得利用高斯公式，即得 dSnvu ,)()()(dxdydzzvuzyvuyxvux高斯高斯(G

15、auss)公式公式 通量与散度通量与散度符符号号222222zyx ，称称为为拉拉普普拉拉斯斯( (L La ap pl la ac ce e) )算算子子，这这个个公公式式叫叫做做格格林林第第一一公公式式 ,)(dxdydzzvzuyvyuxvxuvdxdydzu ,)(dxdydzzvzuyvyuxvxudSnvuvdxdydzu高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度沿沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件任意闭曲面的曲面积分为零的条件的边界曲线？的边界曲线？无关而只取决于无关而只取决于与曲面与曲面，曲面积分，曲面积分问题：在怎样的条件下问题：在怎样的条件下 RdxdyQdzdxP

16、dydz为为零零？任任意意闭闭曲曲面面的的曲曲面面积积分分即即在在怎怎样样的的条条件件下下，沿沿高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度内内恒恒成成立立在在是是等等式式件件分分为为零零）的的充充分分必必要要条条内内任任一一闭闭曲曲面面的的曲曲面面积积的的边边界界曲曲线线（或或沿沿无无关关而而只只取取决决于于取取曲曲面面内内与与所所在在则则曲曲面面积积分分，内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数在在、，是是空空间间二二维维单单连连通通区区域域设设定定理理GzRyQxPGGRdxdyQdzdxPdydzGzyxRzyxQzyxPG0),(),(),(2 我们有以下结论：我们有以下结论

17、：高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度26利用利用高斯公式高斯公式计算三重积分计算三重积分vzxyzxyId)( 提示提示zRyQxP ,由由于于, 0 QP则则zxyzxyzR 222121xzyzxyzR ,的边界面的边界面 取取以及以及是由平面是由平面其中其中1, 0, 0, 0 zzyx .122围在第一挂限内的立体围在第一挂限内的立体圆柱面圆柱面 yx高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度考虑到考虑到选取相当自由，选取相当自由，27vzxyzxyId)( 由高斯公式由高斯公式 外外 yxzyxxyzdd)(212)(外外的侧面的侧面由由 ),(0:1下下

18、底面底面 z 故故 10220d)cos(sin21cossind .2411 )(轴的柱面轴的柱面母线平行于母线平行于z,)( 1:2构构成成上上和和上上面面 z1 )(21yx 21 yxdd I极坐标极坐标, 0 QP222121xzyzxyzR xyDxy高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度28 被积函数中有抽象函数被积函数中有抽象函数,故无法直接计算故无法直接计算. 如直接计算如直接计算分析分析 用用高斯公式高斯公式.例例,dd1dd1dd333yxzzyfyxzyzyfzzyxI 是锥面是锥面22zyx 4222 zyx所围立体的表面所围立体的表面1222 zyx计

19、算设计算设f(u)是有连续的导数是有连续的导数,计算计算和球面和球面及及外侧外侧. .高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度xyzO29解解 由于由于,3xP ,32xxP ,3122yzyfzyQ 2231zzyfzzR 故由故由高斯公式高斯公式vzyxId)(3222 dddsin34rrrr d214 ).22(593 40dsin = 20d3 球球,13yzyfzQ ,13zzyfyR 高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度xyzO30 xyzO解解( (如图如图) )221xzy yxyzxzyzyxyIdd4dd)1(2dd)18(2 )31(01 y

20、xyz是曲线是曲线其中其中 .2 恒大于恒大于计算曲面积分计算曲面积分 1987年研究生考题年研究生考题,计算计算(10分分)绕绕y轴旋转曲面方程为轴旋转曲面方程为一周所成的曲面一周所成的曲面, 它的法向量与它的法向量与y轴正向的夹角轴正向的夹角 01xyz绕绕y轴旋转轴旋转高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度n31xyzOzyxzRyQxPddd1 zyxyyyddd)4418(yxyzxzyzyxyIdd4dd)1(2dd)18(2 欲求欲求 vd:1 补补取右侧取右侧. 11 I221xzy 有有nn, 3 y 高斯公式高斯公式 3120202ddd y xzDxzyzx

21、3122ddd222)2(: zxDzx柱坐标柱坐标高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度 203d)2(2 .2 32 )32(2 34yxyzxzyzyxyIdd4dd)1(2dd)18(12 求求, 3:1 y 补补取右侧取右侧 1 zxDxzdd162)2(16 2 222)2(: zxDzx00zxDxzdd)1( 23故故高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度 21 11 I1. 通量通量 为向量场为向量场 设有一向量场设有一向量场kzyxRjzyxQizyxPA),(),(),( 则称沿则称沿场中场中有向曲面有向曲面某一侧的曲面积分某一侧的曲面积分:通

22、量通量. . flux divergence穿过曲面穿过曲面这这一侧的一侧的),(zyxASAd 高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度二、物理意义二、物理意义 通量通量与与散度散度通量的计算公式通量的计算公式 yxRxzQzyPdddddd kyxjxzizySddddddd 2. .散度散度设有向量场设有向量场),(zyxA为场中任一点为场中任一点,),(zyxP在在P点的某邻域内作一包含点的某邻域内作一包含P点在其内的闭曲面点在其内的闭曲面,它所围成的小区域及其体积记为它所围成的小区域及其体积记为,V 以以表示表示从从内穿出的通内穿出的通量量,若当若当, 0V V 即即缩成

23、缩成P点时点时, 极限极限 VV 0limVSAV dlim0高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度记为记为,div A散度散度. .存在存在,则该极限值就称为向量场则该极限值就称为向量场在在P点处的点处的A即即 Adiv VV 0limVSAV dlim0SAd 散度在直角坐标系下的形式散度在直角坐标系下的形式 dSvdvzRyQxPn)( dSvVdvzRyQxPVn1)(1 dSvVzRyQxPn1)(),( dSvVzRyQxPnM1lim积分中值定理积分中值定理,两边取极限两边取极限,zRyQxPAdiv 高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度散度的计算公

24、式散度的计算公式kzyxRjzyxQizyxPA),(),(),( 设设RQP,均可导均可导,),(zyxA在在则则点处的散度为点处的散度为zRyQxPA div高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度高斯公式高斯公式可写成可写成 SAvAndddiv)coscoscos( RQPnAAn .的边界曲面的边界曲面是空间闭区域是空间闭区域其中其中 .的外侧法向量上的投影的外侧法向量上的投影在曲面在曲面是向量是向量 AAn例例 向量场向量场kzxjyeixyAz)1ln(22 ).(div)0 , 1 , 1( AP的散度的散度在点在点 1989年研究生考题年研究生考题,填空填空(3分

25、分)解解,),(2xyzyxP ,),(zyezyxQ )1ln(),(2zxzyxR PxP PyQ PzR Adiv2)( PzRyQxP, 12 Py2, 1 Pze0122 PzxzzRyQxPA div高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度设设数量场数量场,ln222zyxu ).()grad(div u则则2221zyx 解解222lnzyxu )ln(21222zyx 先求梯度先求梯度.gradu222zyxxxu 222zyxyyu 222zyxzzu 222222222gradzyxkzzyxjyzyxixu 高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度

26、再求再求ugrad的散度的散度.,222zyxxP ,222zyxyQ 222zyxzR ,)(2222222zyxxzyxP ,)(2222222zyxyzxyQ 2222222)(zyxzyxzR 2221)grad(divzyxu 故故高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度222222222gradzyxkzzyxjyzyxixu 设设数量场数量场,ln222zyxu ).()grad(div u则则四、小结四、小结 dSAdvAdivn3物理意义物理意义2高斯公式的实质高斯公式的实质1高斯公式高斯公式 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(注意使用的条件注意使用的条件)表达了空间闭区域上的三重积分与其表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系边界曲面上的曲面积分之间的关系.高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度思考题思考题曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度思考题解答思考题解答曲面应是分片光滑的曲面应是分片光滑的闭闭曲面曲面.高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度一、一、 利用高斯公式计算曲