高等数学 格林公式

1、第四节第四节 格林公式格林公式一、格林一、格林(Green)公式公式二、曲线积分与路径无关的条件二、曲线积分与路径无关的条件三、二元函数的全微分求解三、二元函数的全微分求解* 四、曲线积分基本定理四、曲线积分基本定理一、格林公式一、格林公式1. 区域连通性区域连通性设设 D 为平面区域为平面区域 , 如果如果 D 内任一闭曲线所围成的内任一闭曲线所围成的部分都属于部分都属于 D , 则称则称 D 为平面单连通区域为平面单连通区域 , 否则否则称为复连通区域称为复连通区域. .复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD2. 正向边界曲线正向边界曲线 D+ OxyOxy1L2L D由由L1与与L

2、2连成连成1L2L D由由L1与与L2连成连成边界曲线边界曲线 D 的正向的正向: :当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时, 区域区域D总总在他的左边在他的左边. . D的正向边界曲线记为的正向边界曲线记为: D+.平面单连通区域平面单连通区域: 边界曲线的逆时针方向为正向边界曲线的逆时针方向为正向.平面复连通区域平面复连通区域: 边界曲线的外圈边界曲线的外圈, 逆时针方向为正向逆时针方向为正向,边界曲线的里圈边界曲线的里圈, 顺时针方向为正向顺时针方向为正向.3、格林、格林 (Green ) 公式公式定理定理1 1 设设 xoy 面上的有界闭区域面上的有界闭区域 D 的边界曲线的边界曲线

3、 D由有限条光滑或分段光滑的曲线所组成由有限条光滑或分段光滑的曲线所组成, 函数函数 P(x, y), Q(x, y) 在在 D 上具有一阶连续偏导数上具有一阶连续偏导数, 则有则有: :)1(d),(d),(dd)( yyxQxyxPyxyPxQD D公式公式(1)叫做叫做格林公式格林公式.格林公式的实质格林公式的实质: : 沟通了沿闭曲线的积分与二重积沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系分之间的联系.4、格林公式的格林公式的简单应用简单应用情形情形1：L是封闭曲线且在是封闭曲线且在L所围区域所围区域D内内P、Q无奇点无奇点, 1) 简化第二类曲线积分简化第二类曲线积分 的计算的计算.

4、. LyQxPdd(奇点奇点：P 或或Q无定义或偏导不存在或偏导不连续的点无定义或偏导不存在或偏导不连续的点). )2 , 0(),2 , 1(),0 , 0( ,d)2(d)2( 22的正向边界的正向边界的的为顶点为顶点是以是以其中其中计算计算OABBAOLyxyyxxyxL 例1例1xyoAB12D.2 I则可直接应用格林公式则可直接应用格林公式. )2 , 0(),2 , 1(),0 , 0( ,d)2(d)2( 22的正向边界的正向边界的的为顶点为顶点是以是以其中其中计算计算OABBAOLyxyyxxyxL 例1例1xyoAB12D解解,22xyxP 令令,22xyyQ ,2yQx 则

5、则,2xPy 记记L所围区域为所围区域为 D , Dyxxydd)22(则原积分则原积分 1022d)22(dxyxyx 10d)44(xx.2 情形情形2：L 是非封闭曲线是非封闭曲线,. , )0 , 0( )0 ,( ,d)cos(d)(sin( 22为任意常数为任意常数到到从从为上半圆周为上半圆周其中其中计算计算mOaAaxyxLymyexyxmyeLxx 例2例2解解,d),(d),( LyyxQxyxP记原积分记原积分xyOA,cos yeQxx 则则,cosmyePxy D作定向线段作定向线段它与它与L所围闭区域记为所围闭区域记为 D, ,0:, 0:axyOA OAOALyQx

6、PyQxPdddd则原积分则原积分 Dyxmdd axmx0d281am 221am ).4(812 am可添加辅助线化为情形可添加辅助线化为情形1.2) 简化二重积分的计算简化二重积分的计算. )1 , 0(),1 , 1(),0 , 0( ,dd 2为顶点的三角形区域为顶点的三角形区域是以是以其中其中求求BAODyxeDy 例3例3xyoAB11D解解, 02yxeQP 取取,2yyxePQ 则则 Dyyxedd2 BOABOAyxeyd2 OAyyxed2 10d2xxex10212xe ).1(211 e3) 利用第二类曲线积分可求闭曲线所围区域的面积利用第二类曲线积分可求闭曲线所围区

7、域的面积.格林公式格林公式: DDyQxPyxyPxQdddd)(.dd Dyx闭区域闭区域 D 的面积的面积A 得得取取, 0 xQP DyxAd得得取取, 0, QyP DxyAd得得取取,xQyP DxyyxAdd21. )0()( 2轴所围成的面积轴所围成的面积与与计算抛物线计算抛物线xaaxyx 例4例4)0 ,(aAo解解,0:, 0: axyOA 直线段直线段, 0:,: axxaxyAO曲线弧曲线弧 DxyAd 0d)(0axxax.612a xyAOOAd)( axxxa0d)(21 DxyyxAdd21 :或或xyyxAOOAdd)(21 xxaxaxaxad)()12(2

8、10 .61d420axxaa 5. 应用格林公式时一定要注意条件应用格林公式时一定要注意条件 DyxyPxQyyxQxyxPdd)(d),(d),( D1) 公式中有向曲线应为区域公式中有向曲线应为区域 D 的的正向正向边界边界. . . 2 ,dd 2222取顺时针方向取顺时针方向是圆周是圆周其中其中计算计算xyxLxyxyxyL 例5例5xyO2解解记记 L 所围闭区域为所围闭区域为 D , 则原积分则原积分 Dyxxydd)(22 22cos203dd .23 204dcos8 解解2) L 是封闭曲线但在是封闭曲线但在L 所围区域所围区域 D 内内P、Q有奇点有奇点,则则不能直接应用

9、不能直接应用格林公式格林公式.记记 L 围成的闭区域为围成的闭区域为 D , ,2222yxxQyxyP 令令则当则当 x 2 + y 2 0 时时, 有有:22222)(yxxyQx ,yP (1) 当当 (0,0) D 时时, xyoLD Lyxxyyx22dd Dyxdd0.0 (2) 当当 (0,0) D 时时, l 取顺时针方向取顺时针方向.作位于作位于D内圆周内圆周 l : x 2 + y 2= r 2 ,记记 L 和和 l 所围成区域为所围成区域为 D1, 则有：则有：L1Drlyxo lLyxxyyxyxxyyx2222dddd 1dd0Dyx,0 lLyxxyyxyxxyyx

10、2222dddd.2 td 02 格林公式格林公式小结小结: DDyxyPxQyQxPdd)(dd1.格林公式：格林公式：2. 格林公式的应用格林公式的应用.应用格林公式计算应用格林公式计算 时应注意两点：时应注意两点： LyQxPdd1) L必须是封闭曲线必须是封闭曲线, 且二重积分易算出且二重积分易算出. 若若L不封闭不封闭,要添加辅助线使之封闭要添加辅助线使之封闭,且添加部分的线积分易算出且添加部分的线积分易算出.2) P(x,y), Q(x,y) 在所考虑区域上应有连续偏导在所考虑区域上应有连续偏导. 若存在奇点必须用特殊曲线挖掉奇点若存在奇点必须用特殊曲线挖掉奇点.二、二、平面平面曲

11、线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件 1 1、曲线积分与路径无关的定义、曲线积分与路径无关的定义GyxoL1LBA即即G内恒有内恒有 LyQxPdd 1ddLyQxP 否则与路径有关否则与路径有关.2.2.定理定理与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题在在单连通区域单连通区域G上上, P(x,y) , Q(x,y) 具有连续具有连续的一阶偏导数的一阶偏导数,则以下四个命题等价则以下四个命题等价.,0dd)1(GCyQxP 任意光滑闭曲线任意光滑闭曲线 C.ddd),()3(yQxPuyxuG 使使内内存存在在在在.)4(内内每每点点处处成成立立在在G

12、xQyP .dd)2(内与路径无关内与路径无关在在GyQxPL 注注: 定理的两个条件缺一不可定理的两个条件缺一不可说明说明: 若曲线积分若曲线积分 与路径无关与路径无关, 可记为：可记为： LyQxPdd.ddddyQxPyQxPL BA其中其中A、B分别为曲线分别为曲线L的起点与终点的起点与终点.例例4 4为为其中其中计算计算LyxxxyL,dd22 yxo(1) 抛物线抛物线 ;10:,:2 xxyL2xy )0,1(A)1 ,1(B(2) 抛物线抛物线 ;10:,:2 yyxL2yx (3) 有向折线有向折线 .:ABOAL 8.3 中中我们已求得沿三条路线都有我们已求得沿三条路线都有

13、 Lyxxyx. 1dd22这里这里P =2xy，Q = x2在整个平面内恒有在整个平面内恒有,2yPxxQ 所以曲线积分与路径无关所以曲线积分与路径无关我们前面已求得：我们前面已求得：当当(0, 0) D时时, 0dd22 Lyxxyyx当当(0, 0) D时时,2dd22 Lyxxyyx这里这里,2222yxxQyxyP 只有当只有当 x 2 + y 2 0 时时, 才才有有：22222)(yxxyQx ,yP 即在原点处不满足定理条件即在原点处不满足定理条件,故此题中闭曲线积分是否为零与闭曲线是否绕原点有关故此题中闭曲线积分是否为零与闭曲线是否绕原点有关应用应用: 对某些第二类曲线积分可

14、改变其路径简化计算对某些第二类曲线积分可改变其路径简化计算.oxy)0 , 1()1 , 1(AL解解,),(,2),(422yxyxQxyxyxP 记记xQx2 ,yP 故曲线积分与路径无关故曲线积分与路径无关. 取取L1为：为：y = x, x: 01,y = x则有：则有： 1ddLyQxP原积分原积分 1042d)4(xxx.15235134 OABLxy解解,dd LyQxP记原积分记原积分xyxyQxcos262 ,yP 故曲线积分与路径无关故曲线积分与路径无关. ,1BAOBL 取取,20:,0: xyOB其中其中, 10:,2: yxBA yQxPBAOBdd)( 原积分原积分

15、 1022d43210yyy .44210322 yyy2222 xyO8BA22解解,),(,),(2222yxyxyxQyxyxyxP 记记22222yxyxyxQx ,yP 故故在上半平面在上半平面曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关. , 0:,sin22cos22:1 ttytxL取取 1ddLyQxP则原积分则原积分 0d t. 注意注意 :本题本题 L1 不能取不能取 x 轴上有向线段轴上有向线段 AB.xyo )1 , 0(A )2 , 1(B解解,2),(,),(yxeyxQxeyxPyy 记记,yyxPeQ 故曲线积分与路径无关故曲线积分与路径无关. 2L1L取取 L1 :

16、 x = 0, ( y:02), L2 : y = 2, (x:01),yQxPLLdd)(21 原积分原积分 10220)d()d2(xxeyy4 )21(2 e.272 e三、二元函数的全微分求解三、二元函数的全微分求解1、定义、定义 对式子对式子: P(x,y)dx+ Q(x,y)dy, 若存在某个函若存在某个函数数u(x,y)使使 du = P(x,y)dx + Q(x,y)dy,则称则称 P(x,y)dx + Q(x,y)dy 是函数是函数u(x,y)的全微分的全微分.若若 P dx + Q dy 在区域在区域 G 内是某个函数的内是某个函数的 的全微分的全微分,dd内与路径无关内与

17、路径无关在在则则GyQxPL ,dd,是终点的函数是终点的函数当起点固定时当起点固定时 LyQxP,d),(d),(),(),(),(00 yxyxyyxQxyxPyxu记记这时也称这时也称u(x,y)是是P(x,y)dx+ Q(x,y)dy的一个原函数的一个原函数.yxPQ xyo),(00yxA ),(),(00d),(d),(),(yxyxyyxQxyxPyxu则则yyxQxyxPyyxxd),(d),(000 求求 P dx+Q dy原函数的一个方法：原函数的一个方法： ),(0yxC ),(yxB xyxPyyxQyyxQxyxPyxuxxyyyxyxd),(d),(d),(d),(

18、),(00000),(),( 或或证证 令令,cos,sin2yxQyxP yQxcos 故故 Pdx+Qdy是某个函数的全微分是某个函数的全微分. ,yP 其一个原函数为：其一个原函数为： ),()0,0(),(yxyxuyyxxyxdcosd)sin2( yyxxxyxdcosd200 xtt0d2 ymmx0dcos.sin2yxx 问：问：u(x,y)是唯一的吗？是唯一的吗？解解,yP xyQx4 ,23),(22xyxyxP 令令,2),(2yxyxQ 故曲线积分与路径无关故曲线积分与路径无关. 20212d8d3yyxx原积分原积分2022134yx .23 法二法二故原函数存在故

19、原函数存在. ),()0,0(222d2d)23(),(yxyyxxxyxyxutyttx 022d)23(0,223yxx )2,2()0, 1(223yxx 原积分原积分.23 ,23),(22xyxyxP 令令,2),(2yxyxQ ,yP xyQx4 例例 验证验证22ddyxxyyx 在右半平面在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函内存在原函数数 , 并求出它并求出它. 证证 令令2222,yxxQyxyP 则则22222)(yxxyQx 故当故当x 0时时, 原函数存在原函数存在. ),()0, 1(),(yxyxu xx1d0)0(.arctan xxyoxy yyxyx022d

20、)0 ,( x)0 , 1(),(yx)0( xPy22ddyxxyyx 问：问：为什么为什么(x0, y0)不取不取(0, 0)?2、二元函数的、二元函数的全微分方程全微分方程求解求解(1) 定义定义 若一阶微分方程可写为若一阶微分方程可写为P(x,y)dx+ Q(x,y)dy=0,且满足且满足 Qx = Py , 则称之为则称之为全微分方程或恰当方程全微分方程或恰当方程.(2) 解法解法:若若 P(x,y)dx+ Q(x,y)dy = 0 是全微分方程是全微分方程, ,d),(d),(),(),(),(00 yxyxyyxQxyxPyxu取取则微分方程通解为：则微分方程通解为： u (x,

21、y)=C.0d)3(d)3(2323的通解的通解求方程求方程 yyxyxxyx例例3 3解解,3),(23xyxyxP 令令,3),(23yxyyxQ xyQx6 故方程是全微分方程故方程是全微分方程, ),()0, 0(2323d)3(d)3(),(yxyyxyxxyxyxu.23442244Cyxxy 故原方程的通解为故原方程的通解为,2341412244yxxy 则则取取, )0 , 0(),(00 yx yxyyxxyx03023dd)3(,yP .0d)3(d)3(2323的通解的通解求方程求方程 yyxyxxyx例例3 3解解,3),(23xyxyxP 令令,3),(23yxyyx

22、Q xyQx6 故方程是全微分方程故方程是全微分方程, ),()0, 0(2323d)3(d)3(),(yxyyxyxxyxyxu.62244Cyxxy 故原方程的通解为故原方程的通解为,2341412244yxxy 则则取取, )0 , 0(),(00 yx,yP yxmmtytt03023dd)3(解解,2xyPy 则则),(xyQx ,),(2xyyxP 令令),(),(xyyxQ 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关,.xyQP 1010dd0yyx.21 ,2)(xyxy 由由,)(2Cxx , 0)0( , 0 C,)(2xx )1 , 1()0,0(22ddyyxxxy原积分原积

23、分第二类曲线积分常用计算方法小结第二类曲线积分常用计算方法小结:1.直接化为定积分计算直接化为定积分计算.2.用格林公式用格林公式: (1) L 封闭封闭,且且 D 内无奇点内无奇点 (2) L 非封闭：添加辅助线非封闭：添加辅助线 (3) D内有奇点：挖去奇点内有奇点：挖去奇点3.曲线积分与路径无关时曲线积分与路径无关时, 改变积分路径简化计算改变积分路径简化计算.思考思考:在单连通区域在单连通区域G内内,若若P(x, y)和和Q(x, y) C(1)(G)(1)如何计算如何计算G内的内的闭闭曲线积分曲线积分(2)如何计算如何计算G内的内的非闭非闭曲线积分曲线积分,xQyP ,非常简单非常简

24、单但但xQyP ?dd LyQxP?dd LyQxP* * 四、曲线积分基本定理四、曲线积分基本定理定理定理3 3 设设 = AB是一条光滑或分段光滑的定向曲线是一条光滑或分段光滑的定向曲线, 函数函数 f(x,y,z) 的偏导数在的偏导数在 上连续上连续, 则有则有).()(dAfBfrf 解法二解法二附注：一、附注：一、Green公式证明公式证明 二、曲线积分与路径无关定理二、曲线积分与路径无关定理证明证明*一、一、Green公式证明公式证明定理定理1 1 设设 xoy 面上的有界闭区域面上的有界闭区域 D 的边界曲线的边界曲线 D由有限条光滑或分段光滑的曲线所组成由有限条光滑或分段光滑的

25、曲线所组成, 函数函数 P(x, y), Q(x, y) 在在 D 上具有一阶连续偏导数上具有一阶连续偏导数, 则有则有: :)1(d),(d),(dd)( yyxQxyxPyxyPxQD D证明证明(1)(1)若区域若区域D既是既是x型又是型又是y型型,yxoDab)(1xy )(2xy AB),()(),(21bxaxyxyxD 证明证明(1)(1)若区域若区域D既是既是x型又是型又是y型型,yxoD),()(),(21bxaxyxyxD cdCE)(2yx )(1yx ),()(),(21dycyxyyxD DyxxQddxxQyyd)()(21 dcyd dcdcyyyQyyyQd),

26、(d),(12 AB EACCBEyyxQyyxQd),(d),( DyyxQd),( dcyyyQd),(2 cdyyyQd),(1 ,dd DyxxQ同理可证同理可证 DDxyxPyxyPd),(dd两式相加得两式相加得.dddd)( DDyQxPyxyPxQ证明证明(2)(2)L1L2L3LD1D2D3D 321dd)(dd)(DDDDyxyPxQyxyPxQyxyPxQDDDdd)()(321 yQxPDDDdd)(321 .dd DyQxP若区域若区域D由按段光滑的由按段光滑的闭曲线围成闭曲线围成.如图如图, 将将D分成三个既是分成三个既是 x 型又是型又是 y 型的型的区域区域D1, D2, D3.GD3L2LFCE1LAB证明证明(3)(3)由由(2)知知 DyxyPxQdd)()(32 CGAECLCEAFCBALAB)dd(yQxP yQxPDDDdd)(321 .dd