通信原理的随机信号分析

1、3.1随机过程的随机过程的基本概念基本概念3.2平稳随机过程平稳随机过程3.3高斯随机过程高斯随机过程3.4平稳平稳随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统3.5窄带随机过程窄带随机过程3.6正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程 3.7高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和带限白噪声第第 3 章章 随机过程随机过程作业作业P613-33-53-83-93-143.1随机过程的随机过程的基本概念基本概念 自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类：自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类：一类是其变化过程具有确定的形式，用数学语言来一类是其变化过程具有确定的形式，用数学语言来说，其变化过程可以用一

2、个或几个时间说，其变化过程可以用一个或几个时间t的确定函数的确定函数来描述，这类过程称为来描述，这类过程称为确定性过程确定性过程。另一类过程没有确定的变化形式，也就是说，每另一类过程没有确定的变化形式，也就是说，每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律，用数次对它的测量结果没有一个确定的变化规律，用数学语言来说，这类事物变化的过程不可能用一个或学语言来说，这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间几个时间t的确定函数来描述，这类过程称为的确定函数来描述，这类过程称为随机过随机过程程。图 3- 1样本函数的总体 2xt0t 21x t t总 体0,0,值附近概率值大离 值远 概率平滑减少 nxt0

3、t1t2t概率:v噪声值(高斯分布)t 11x t 1x t n1x t 由此我们给随机过程下一个更为严格的定义：由此我们给随机过程下一个更为严格的定义： 每一次试验都有一条时间波形每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数（称为样本函数或实现），或实现），记作记作xi(t)； 所有可能出现的结果的总体所有可能出现的结果的总体x1(t), x2(t)， , xn(t)， 就构成一就构成一随机过程，随机过程，记作记作(t)。 简言之，简言之， 无穷多个样本函数的总体叫做随机过无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。程。 在纵向：在纵向： 是是随机变随机变量，是样本。量，是样本。 1i1xt,i1,2,

4、.nt 随机过程随机过程看作是在时间进程中处于不同看作是在时间进程中处于不同时刻的时刻的随机变量随机变量的集合。的集合。 无穷多个无穷多个样本函数样本函数的总体叫做的总体叫做随机过程。随机过程。 在横向：在横向： 仅仅是一个实现，或者说是样本函数。是一个实现，或者说是样本函数。 1 12x tt 时间序列：， ， 设设(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1T， 其取值其取值(t1)是一个一维随机变量。而随机变量的统计特是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可以用性可以用分布函数分布函数或或概率密度函数概率密度函数来描述。我们把随机来描述。我们把随机变量

5、变量(t1)小于或等于某一数值小于或等于某一数值x1的概率的概率 P(t1)x1，简记为，简记为F1(x1, t1)， 即即 F1(x1,t1)=P(t1)x1 (3.1-1)式式(3.1 - 1)称为随机过程称为随机过程(t)的一的一维分布函数维分布函数。 如果如果F1(x1, t1)对对x1的偏导数存在，即有的偏导数存在，即有3.1.1 随机过程的分布函数随机过程的分布函数),(),(1111111txfxtxF 则称则称f1(x1, t1)为为(t)的的一维概率密度函数一维概率密度函数。 显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随

6、机过程在函数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻各个孤立时刻的统计特性，的统计特性，而没有说明随机过程在而没有说明随机过程在不同时刻取值之间不同时刻取值之间的内在联系，的内在联系，为此需要进一步引入二维分布函数。为此需要进一步引入二维分布函数。 任给两个时刻任给两个时刻t1, t2T，则随机变量，则随机变量(t1)和和(t2)构构成一个二元随机变量成一个二元随机变量(t1), (t2)，称，称 F2(x1,x2; t1,t2)=P(t1)x1, (t2)x2 (3.1-3)为随机过程为随机过程(t)的的二维分布函数二维分布函数。 如果存在如果存在22121, 22121212( ,;)( ,; ,

7、 )F x x t tfx x t txx 则称则称f2(x1,x2; t1,t2)为为(t)的的二维概率密度函数二维概率密度函数。 同理，任给同理，任给t1, t2, , tnT, 则则(t)的的n维分布函数维分布函数被定义为被定义为 Fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn)= P(t1)x1,(t2)x2, (tn)xn ).,;.,(.).,.;,(2121212, 121nnnnnnntttxxxfxxxtttxxF若若 则称则称fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn)为为(t)的的n维概维概率密度函数率密度函数。显然，。显然，n越大，对随机过程统计越大，对随机过程统计特性的描

8、述就越充分，但问题的复杂性也随特性的描述就越充分，但问题的复杂性也随之增加。之增加。在一般实际问题中，掌握二维分布在一般实际问题中，掌握二维分布函数就已经足够了。函数就已经足够了。 3.1.2随机过程的数字特征随机过程的数字特征 分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性随机过程的统计特性, 但在实际工作中，有时不易或但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而它的某些数字不需求出分布函数和概率密度函数，而它的某些数字特征却比较容易估算出来，并且在许多实际问题中只特征却比较容易估算出来，并且在许多实际问题中只需要知道这

9、些数字特征就可以了。需要知道这些数字特征就可以了。 1. 数学期望数学期望 随机过程随机过程(t)的数学期望为的数学期望为 11,Etxfx t dxa t a(t)是时间是时间t的函数，它表示随机过程的的函数，它表示随机过程的n个个样本函数曲线的摆动中心。样本函数曲线的摆动中心。2. 方差方差 D(t)常记为常记为2(t)，它，它表示样本偏离均值的表示样本偏离均值的程度程度。 称称E2(t)为为均方值均方值。 称方差的平方根称方差的平方根(t)为为标准差标准差、均方差均方差或或均方根均方根差差。 2DtEtEt 222Ett EtEt 222EtEtEtEt 22EtEt3. 自相关函数和自

10、协方差函数自相关函数和自协方差函数 均值和方差均值和方差都只与随机过程的都只与随机过程的一维概率一维概率密度函数密度函数有关，因而它们描述了随机过程在有关，因而它们描述了随机过程在各个各个孤立时刻孤立时刻的特征。的特征。 为了描述随机过程在为了描述随机过程在两个不同时刻状态两个不同时刻状态之间的联系之间的联系，还需利用二维概率密度引入新，还需利用二维概率密度引入新的数字特征的数字特征。 衡量同一随机过程在任意两个时刻获得衡量同一随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联程度时，常用的随机变量之间的关联程度时，常用协方差协方差函数函数B(t1, t2)和和相关函数相关函数R(t1, t2)来

11、表示。来表示。自协方差函数自协方差函数定义为定义为式中，式中，t1与与t2是任取的两个时刻；是任取的两个时刻； a(t1)与与a(t2)为在为在t1及及t2时刻得到的数学期望；时刻得到的数学期望； f2(x1,x2; t1,t2)为二维概率密度函数。为二维概率密度函数。特例：当特例：当t1=t2 =t时，时， B(t1,t2)= D(t)用途：用协方差来判断同一随机过程的两个变量是否用途：用协方差来判断同一随机过程的两个变量是否相关。相关。21212122211221121),;,()()( )()()()(),(dxdxttxxftaxtaxtattatEttB 自相关函数自相关函数定义为定

12、义为二者的关系二者的关系: : B(t1, t2)=R(t1, t2)-a(t1)a(t2)用途：用途： a a 用来判断广义平稳；用来判断广义平稳； b b 用来求解平稳随机过程的功率谱密度及平均功率。用来求解平稳随机过程的功率谱密度及平均功率。 2121212212121),;,()()(),(dxdxttxxfxxttEttR B(t1,t2)=E(t1)-a(t1)(t2)-a(t2) 12122112Ettta tta ta ta t 12122112EttEta tEta ta ta t 12121212Etta ta ta ta ta ta tB(t1, t2)=R(t1, t2

13、)-a(t1)a(t2) 若若 a(t1)=0或或a(t2)=0，则，则B(t1, t2)=R(t1, t2) 若若 t2t1，并令，并令t2=t1+， 则则 R(t1, t2)可表示为可表示为R(t1, t1+)。 这说明，相关函数依赖于起始时刻这说明，相关函数依赖于起始时刻t1及及t2与与t1之间之间的时间间隔的时间间隔,即相关函数是即相关函数是t1和和的函数。的函数。 由于由于B(t1, t2)和和R(t1, t2)是衡量同一过程的相关程度是衡量同一过程的相关程度的，因此，它们又常分别称为的，因此，它们又常分别称为自协方差函数和自相关自协方差函数和自相关函数函数。对于两个或更多个随机过程

14、，可引入。对于两个或更多个随机过程，可引入互协方差互协方差及互相关函数。及互相关函数。设设(t)和和(t)分别表示两个随机过程，则分别表示两个随机过程，则互协方差函数互协方差函数定义为定义为B(t1,t2)=E(t1)-a(t1)(t2)-a(t2) 互相关函数互相关函数定义为定义为 R(t1, t2)=E(t1)(t2)3.2 平稳随机过程平稳随机过程3.2.1 定义定义 设随机过程设随机过程(t)，tT,若对于任意若对于任意n和任意选和任意选定定t1t2tn, tkT， k=1, 2, , n，以及，以及为任意值，为任意值，且且x1, x2, , xnR，有：，有： fn(x1, x2,

15、, xn; t1, t2, , tn)= fn(x1, x2, , xn; t1+, t2+, , tn+) (3.2-1)则称则称(t)是是严平稳随机过程严平稳随机过程或或狭义平稳随机过程狭义平稳随机过程。 该定义说明，平稳随机过程的概率密度函数并该定义说明，平稳随机过程的概率密度函数并不随着时间的推移而变化，即不随着时间的推移而变化，即狭义平稳随机过程狭义平稳随机过程是是统计特性与时间起点无关的随机过程统计特性与时间起点无关的随机过程。 具体到它的一维分布和二维分布：具体到它的一维分布和二维分布： f1(x1, t1)=f1(x1, t1 +)= f1(x1) (3.2-2) 即一维分布与

16、时间即一维分布与时间t无关无关 f2(x1,x2;t1,t2)=f2(x1,x2; t1+, t2+)=f2(x1,x2;) (3.2-3) 二维分布只与时间间隔二维分布只与时间间隔有关有关数字特征：数字特征：可见可见 （1）其均值与）其均值与t无关，为常数无关，为常数a； （2）自相关函数只与时间间隔）自相关函数只与时间间隔 有关。有关。adxxfxtE1111)()()();,()()(),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR 对于随机过程对于随机过程(t)，若满足，若满足 (1) a(t)=a (2) R(t1, t1+)=R()则则(t)为宽平稳随机过程或广义平稳随

17、机过程。为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。 可见狭义平稳必定是广义平稳，广义平稳不一定狭可见狭义平稳必定是广义平稳，广义平稳不一定狭义平稳。义平稳。 通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。以后讨论的随机过程除特殊说明外，均稳的随机过程。以后讨论的随机过程除特殊说明外，均假定是平稳的，假定是平稳的， 且均指广义平稳随机过程，简称平稳过且均指广义平稳随机过程，简称平稳过程。程。 3.2.2 各态历经性各态历经性 平稳随机过程在满足一定条件下，有平稳随机过程在满足一定条件下，有“各态历经性各态历经性” 这种平稳随机过程，它的数字特征（

18、均为这种平稳随机过程，它的数字特征（均为统计平均统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的数字特征（均为完全可由随机过程中的任一实现的数字特征（均为时间时间平均平均）来替代。）来替代。 假设假设x(t)是平稳随机过程是平稳随机过程(t)的任意一个实现，它的的任意一个实现，它的时间均值时间均值和和时间相关函数时间相关函数分别为分别为2/2/)(1)(limTTTdttxTtxa2/2/)()(1)()()(limTTTdttxtxTtxtxR如果平稳随机过程以概率如果平稳随机过程以概率1使下式成立：使下式成立： aa )()(RR 则称该平稳随机过程具有则称该平稳随机过程具有各态历经性各态历经性。

19、 “各态历经各态历经”的含义：的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态，任一实现都能代表整个随机过程。能状态，任一实现都能代表整个随机过程。因此，我们无需（实际中也不可能）获得大量用来因此，我们无需（实际中也不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从任意一个随机过计算统计平均的样本函数，而只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征， 从从而使而使“统计平均统计平均”化为化为“时间平均时间平均”，使实际测量和，使实际测量和计算的问题大为简化。计算的问题大为简化。 注

20、意：注意： 具有各态历经性的随机过程必定是平稳具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。满足各态历经条件。3.2.3平稳随机过程的自相关函数平稳随机过程的自相关函数 设设(t)为为实平稳随机过程实平稳随机过程， 则它的自相关函数则它的自相关函数 R()=E(t)(t+)具有下列主要性质：具有下列主要性质： (1) R(0)=E2(t)=S ，(t)的的平均功率平均功率尽管平稳随机过程的总能量是无穷的，但平均功率

21、尽管平稳随机过程的总能量是无穷的，但平均功率为有限值。为有限值。 (2) R()=E2(t)，(t)的的直流功率直流功率 2limlimtt+REttEtEta aEt （时， ( )和 ()统计独立）(3) R(0)-R()=2 ，方差，方差，(t)的的交流功率交流功率 当均值为当均值为0时，有时，有R(0)=2。 2222222222200DtEtaEtataEtaEtaEta aaRaRR(4)|R()|R(0) ，R()的上界的上界R(0)自己和自己相关值最大，因此自己和自己相关值最大，因此0 的相关值小于的相关值小于R(0) 。 222220202020200EttEttttEtEt

22、tEtRRRR (5) R()=R(-)，的偶函数的偶函数 R(-)=E(t)(t-) =E(t +)(t)= R() 平稳过程的自相关函数只与时间间隔有关平稳过程的自相关函数只与时间间隔有关,|间隔。间隔。3.2.4 平稳过程的功率谱密度平稳过程的功率谱密度 随机过程中的随机过程中的任一实现任一实现是一个是一个确定的功率型信号确定的功率型信号。因此随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述因此随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。而对于任意的确定功率信号的。而对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度，它的功率谱密度为为 TFPTTf2)()(limFT()是是f(t)的的截短函

23、数截短函数fT(t) 所对应的频谱函数。所对应的频谱函数。 我们可以把我们可以把f(t)看成是平稳随机过程看成是平稳随机过程(t)中的任一中的任一实现，实现，过程的功率谱密度应看做是任一实现的功率谱过程的功率谱密度应看做是任一实现的功率谱的统计平均的统计平均，即，即2( )( )( )limTfTFPE PET(t)的平均功率的平均功率S则可表示成则可表示成 2( )11( )22limTTE FSPddT 虽然上式给出了平稳随机过程虽然上式给出了平稳随机过程(t)的功率谱密度的功率谱密度P()，但我们很难直接用它来计算功率谱。，但我们很难直接用它来计算功率谱。 那么，如何方便地求功率谱那么，

24、如何方便地求功率谱P()呢？呢？ 我们知道，我们知道，确知的周期功率信号的自相关函数与其谱密度是一确知的周期功率信号的自相关函数与其谱密度是一对傅氏变换关系。对傅氏变换关系。对于平稳随机过程对于平稳随机过程，也有类似的，也有类似的关系关系:deRj)()(PdePRj)(21)(称为维纳称为维纳辛钦公式。辛钦公式。或或deRfPfj2)()(dfefPRfj2)()(（2）各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等）各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。也就是说，每一样本函数的于过程的功率谱密度。也就是说，每一样本函数的谱特性都能很好地表现整个过程的的谱特性。谱特性都能很好

25、地表现整个过程的的谱特性。21(1) (0)( )( )2RPdEtR(0)表示随机过程的平均功率，它应等于功率表示随机过程的平均功率，它应等于功率谱密度曲线下的面积。谱密度曲线下的面积。（3）功率谱密度）功率谱密度P ( f )具有非负性和实偶性，即有具有非负性和实偶性，即有 （1） P()0，非负性；，非负性； （2） P(-)=P()，偶函数，偶函数 （3）2( )000PP单例例 31/32： 某随机相位余弦波某随机相位余弦波(t)=Acos(ct+)，其中，其中A和和c均为常数，均为常数，是在是在(0,2)内均匀分布的随机变量。内均匀分布的随机变量。 （1） 求求(t)的自相关函数与

26、功率谱密度；的自相关函数与功率谱密度； （2）求）求(t)的平均功率；的平均功率； （3） 讨论讨论(t)是否具有各态历经性。是否具有各态历经性。(t)的数学期望为：的数学期望为：dtAtEtac21)cos()()(20dttAcc)sinsincos(cos2202200coscossinsin0(2ccAtdtd 常数）解：解： (1) 先考察先考察(t)是否广义平稳。是否广义平稳。(t)的自相关函数为的自相关函数为)()(),(2121ttEttR)cos()cos(21tAtAEcc2)(cos)(cos212122ttttEAccdttAttAcc212)(cos2)(cos212

27、202122)(cos20)(cos22122RAttAcc可见可见(t)的数学期望为常数，的数学期望为常数， 而自相关函数只与时间而自相关函数只与时间间隔间隔有关，有关， 所以所以(t)为广义平稳随机过程。为广义平稳随机过程。根据平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对根据平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，即：傅里叶变换，即：)()(PR而而)()(cosccct所以，功率谱密度为所以，功率谱密度为)()(2)(2ccAP2( )cos2cAR（2）功率？）功率？ 方法一：方法一：2P(0)2AR2( )cos2cAR 方法二：方法二：1( )2PPd)()(2)(2ccA

28、P21 = ()()22ccAd 2221=2222AAA/2/21( )cos()cos()limTccTTRAtAtdtTdttdtTAcTTcTTcT)22cos(cos22/2/2/2/2limcAcos22: ( )( )aaRR即统计平均统计平均=时间平均，因此，随机相位余弦波是各态时间平均，因此，随机相位余弦波是各态历经的。历经的。 (3) (t)的时间平均的时间平均0)cos(12/2/limdttATaTTcT3.3 高斯随机过程高斯随机过程 3.3.1定义定义 若随机过程若随机过程(t)的的任意任意n维（维（n=1, 2, ）分布都是）分布都是正态分布正态分布，则称它为高斯

29、随机过程或正态过程。，则称它为高斯随机过程或正态过程。1212(,;,)nnnfxxxtttn122111211exp()()2(2).nnjjkkjkjkjknxaxaBBB 式中式中, ak=E(tk)，2k=E(tk)-ak2，|B|为归一化为归一化协方差矩阵的行列式，即协方差矩阵的行列式，即其其n维正态概率密度函数表示如下：维正态概率密度函数表示如下： B1 b12 b1nb21 1 b2nbn1 bn2 1|B|jk为行列式为行列式|B|中元素中元素bjk的代数余因子的代数余因子 ( ) ( )jjkkjkjkEtatab bjk为归一化协方差函数为归一化协方差函数3.3.2 重要性

30、质重要性质 （1） 由上式可以看出由上式可以看出, 高斯过程的高斯过程的n维分布完全由维分布完全由n个随机变量的个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数差函数所决定。因此，对于高斯过程，只要研究它的数所决定。因此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。字特征就可以了。 （2） 如果高斯过程是广义平稳的，则它的均值与时如果高斯过程是广义平稳的，则它的均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，由性质无关，由性质(1)知，它的知，它的n维分布与时间起点无关。维分布与时间起点无关

31、。 所所以，以，广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。 （3） 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的， 即对所有即对所有jk有有bjk=0，这时上式为，这时上式为 2)(exp)2(1),;,(122122121njjjjnjjnnnnaxtttxxxf2)(exp212212jjjnjaxj= f(x1, t1)f(x2, t2)f(xn, tn) 结论：如果高斯过程在不同时刻的取值是结论：如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关不相关的，的， 那么它们也是那么它们也是统计独立统计独立的。的。（4）高斯过程经过线性变换后生成

32、的过程仍是高斯过）高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。即若程。即若线性系统线性系统的输入为高斯过程，则系统输出也的输入为高斯过程，则系统输出也是高斯过程。是高斯过程。 )2)(exp(21)(222axxfa为高斯随机变量的数学期望，为高斯随机变量的数学期望，2为方差。为方差。3.3.3 高斯随机变量高斯随机变量 高斯过程在任一时刻上的样值是一个一维高高斯过程在任一时刻上的样值是一个一维高斯随机变量，其斯随机变量，其一维概率密度函数一维概率密度函数可表示为：可表示为：图图3-3 正态分布的概率正态分布的概率f (x)12Oax (3) 1)(dxxf且有且有21)()(aadxxfd

33、xxff(x)具有如下特性：具有如下特性： (1) f(x)对称于对称于x=a这条这条直线。直线。f(a+x)=f(a-x) (2)x，f(x) 0，在，在点点a处达到极大值处达到极大值21（4） a表示分布中心，表示分布中心，表示偏离的程度，表示偏离的程度，f(x)图形图形将随着将随着a的变化左右平移；随着的变化左右平移；随着的减小而变高和变的减小而变高和变窄；窄；一维正态概率密度函数一维正态概率密度函数（5）当）当a=0，=1时，时，称称f(x)为标准正态分布的密度为标准正态分布的密度函数，函数，N(0,1)：)2exp(21)(2xxf概率分布函数（正态分布函数）：概率分布函数（正态分布

34、函数）：dzazxPxFx2)(exp21)()(22这个积分无法用闭合形式计算，我们要设法把这这个积分无法用闭合形式计算，我们要设法把这个积分式与可以在数学手册上查出积分值的特殊个积分式与可以在数学手册上查出积分值的特殊函数联系起来，一般常用以下特殊函数：函数联系起来，一般常用以下特殊函数： （1 1）误差函数）误差函数: :202( )xterf xedt它是自变量的递增函数；它是自变量的递增函数；erf(0)=0，erf()=1，erf(-x)=-erf(x)。 22( )1( )txerfc xerf xedt 它是自变量的递减函数；它是自变量的递减函数； erfc(0)=1，erfc

35、()=0；erfc(-x)=2-erfc(x)，实际应用中只要，实际应用中只要x2即可近似有即可近似有21)(xexxerfc（2 2）补误差函数）补误差函数: : 1 =22221010 xerfcerfc xQxQxQ xQQ （3 3）Q Q函数函数: :2/21( ) 2txQ xedtx a /2212( )exptdt2F x（4 4）概率分布函数）概率分布函数let t, z2 dt2zaddzazxPxFx2)(exp21)()(2211 222 11 22xaerfxaxaerfcxa 3.4 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统 通信系统中的信号或噪声一般都是随

36、机的，通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，对于平稳随机过程通过线性系统，其输出过程类对于平稳随机过程通过线性系统，其输出过程类似于确知信号通过线性系统，即：似于确知信号通过线性系统，即：0( )( )( )h( )()iiv th tv tv td（3.4-2） 若若 vo(t) Vo(), vi(t) Vi(), h(t) H()， 则有则有 Vo()=H()Vi() （3.4-3） 如果把如果把vi(t)看作是输入随机过程的一个样本，看作是输入随机过程的一个样本，则则vo(t)可看作是输出随机过程的一个样本。可看作是输出随机过程的一个样本。 显然，输入过程显然，输入过程i(t)的每个样本

37、与输出过程的每个样本与输出过程o(t)的相应样本之间都满足式的相应样本之间都满足式(3.4-2)的关系。就整的关系。就整个过程而言，便有个过程而言，便有0-( )( ) ()ithtd （3.4-4） 假定输入假定输入i(t)是平稳随机过程，是平稳随机过程，Ei(t)=a(常数常数)，自相关函数为自相关函数为Ri()，系统的输出过程，系统的输出过程o(t)的统计特性：的统计特性：1. 输出过程输出过程o(t)的数学期望：的数学期望：0( ) ( )( )iEtE h tt( ) ()( )ihEtdahd求得求得(0)( )Hh t dt( )( )j tHh t edt直流传递函数直流传递函

38、数所以所以 输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与直流传递函数与直流传递函数H(0)的乘积，且的乘积，且Eo(t)与与t无关。无关。 2. 输出过程输出过程o(t)的自相关函数的自相关函数 )()(),(1010110ttEttR)0()()0()(0HtEHatEi11( ) ()( ) ()iiEh ata dahtd 11( ) ( ) () ()iih a hEtatd d 可见可见, o(t)的自相关函数只依赖时间间隔的自相关函数只依赖时间间隔而与时而与时间起点间起点t1无关。无关。 由以上输出过程的数学期望和自相关函数证明，由以上输出过程

39、的数学期望和自相关函数证明，若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的。平稳的。)()()(11iiiRtatE0110( ,)( ) ( )()( )iR t th a hRd dR 而而则则 3. 输出过程输出过程o(t)的功率谱密度的功率谱密度 deRPj)()(00 ( ) ( )()jih a hRdaded 令令则有则有0( )( )( )( )j ajjiPh a edhedRed即即)()()()()()(20iiPHPHHP( )( )( )( )j aj aHh a edHh a ed， 可见，可见，系统输出功率谱密度

40、是输入功系统输出功率谱密度是输入功率谱密度率谱密度Pi()与系统功率传输函数与系统功率传输函数|H()|2的乘积。的乘积。这是一个很重要的公式。这是一个很重要的公式。 当我们想得到输出过程的自相关函数当我们想得到输出过程的自相关函数Ro()时，比较简单的方法是先计算出功率时，比较简单的方法是先计算出功率谱密度谱密度Po()，然后求其反变换，这比直接，然后求其反变换，这比直接计算计算Ro()要简便得多。要简便得多。 to ti4. 4. 和和 的互相关函数与互功率谱密度的互相关函数与互功率谱密度 1212,i oioRt tEtt HPhFRFPiioi 12- iiEttu h u du 12

41、-iiEttuh u du 21- iRtuth u du - iRu h u du iRh i oR 000( )( ) ()lim() ()kiikkkkthtdth 5. 输出过程输出过程o(t)的概率分布：的概率分布： 一个线性系统的输入过程是高斯型的，则系统一个线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。的输出过程也是高斯型的。总结：高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯的。总结：高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯的。与输入正态过程相比，输出过程的数字特征改变了。与输入正态过程相比，输出过程的数字特征改变了。 例例2 带限白噪声。试求功率谱密度为带限白噪声。试求功率谱密度

42、为n0/2的白噪的白噪声通过声通过理想矩形的低通滤波器理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度、自相后的功率谱密度、自相关函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为关函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为其他0|)(0HtjeKHHKH| ,| )(|202解解:输出功率谱密度输出功率谱密度HinKPHP|,2)()()(02020 可见，可见， 输出噪声的功率谱密度在输出噪声的功率谱密度在|H内是内是均匀的，均匀的， 在此范围外则为零，如图所示，通常把在此范围外则为零，如图所示，通常把这样的噪声称为这样的噪声称为带限白噪声带限白噪声。fOPo()ORo()fHfHn02K0212fH12fHK0n

43、0 fH2 （a) (b) 带限白噪声的功率谱和自相关函数带限白噪声的功率谱和自相关函数其自相关函数为：其自相关函数为：dePRj)(21)(00dfenKfjffHH20202HHHfnksin020式中，式中，H=2fH。由此可见，。由此可见，带限白噪声只有在带限白噪声只有在=k/2fH(k=1, 2, 3, )上得到的随机变量才不相关。上得到的随机变量才不相关。噪声平均功率噪声平均功率 带限白噪声的自相关函数带限白噪声的自相关函数Ro()在在=0 处有最大值，处有最大值，这就是带限白噪声的平均功率这就是带限白噪声的平均功率:2000(0)HPRk n f 2002oHHPPfk n f（

44、1）（2） 1:*sgnPF RF RPj方法二（3）互功率谱密度）互功率谱密度 t例例3：已知：已知(t)的自相关函数的自相关函数R()，求，求(t)和和 的相关函数和功率谱？的相关函数和功率谱？ 1tt Hjsgnt 2PHPP 1RRR奇函数奇函数 R0R00 tt与在同一时刻互不相关，如是高斯过程，则相互独立。 RR :sgnPPHPj方法一3.5 窄带随机过程窄带随机过程 窄带系统，是指其通带宽度窄带系统，是指其通带宽度ffc，且，且fc远离零频率的系统。远离零频率的系统。 实际中，大多数通信系统都是窄带型的，实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，如

45、果通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪声又是随机的，则称它们为这时的信号或噪声又是随机的，则称它们为窄窄带带随机过程。随机过程。图图3-4 窄带过程的窄带过程的频谱频谱和波形示意和波形示意 fcOS( f )fffcf(a)tOS( f )缓慢变化的包络a(t)频率近似为 fc(b)P(f)x(t)窄带随机过程窄带随机过程(t)可用下式表示：可用下式表示： (t)=a(t)cosct+(t), a(t)0 (3.5-1) (t)=c(t)cosct-s(t)sinct (3.5-2) 其中：其中： c(t)=a(t)cos(t) (3.5-3) s(t)=a(t) sin(t

46、) (3.5-4)式中式中, , a(t)及及(t)分别是分别是(t)的的随机包络随机包络和和随机相位随机相位， c(t)及及s(t)分别称为分别称为(t)的的同相分量同相分量和和正交分量正交分量， 它们它们也是随机过程，显然它们的变化相对于载波也是随机过程，显然它们的变化相对于载波cosct的的变化要缓慢得多。变化要缓慢得多。3.5.1 同相和正交分量的统计特性同相和正交分量的统计特性 前提：前提：设窄带过程设窄带过程(t)是平稳高斯窄带过程，且均是平稳高斯窄带过程，且均值为值为0，方差为，方差为2。 将证明：将证明：它的同相分量它的同相分量c(t)和正交分量和正交分量s(t)也是零也是零均

47、值的平稳高斯过程，而且与均值的平稳高斯过程，而且与(t)具有相同的方差。具有相同的方差。E(t)=Ec(t)cosct-Es(t)sinct =0 (3.5-5)则则： Ec(t)=0 Es(t)=0 (3.5-6) E(t)= Ec(t)= Es(t)=0 1. 数学期望数学期望 2. 自相自相关关函函数数R(t, t+)=E(t)(t+) =Ec(t)cosct-s(t)sinct c(t+)cosc(t+)-s(t+) sinc(t+) =Rc(t, t+) cosct cosc(t+) -Rc s(t, t+) cosctsinc(t+) -Rs c(t, t+) sinc tcosc

48、(t+) +R s(t, t+) sinc tsinc(t+) = R() (3.5-7)令令 t=0 ，则式，则式(3.5-7)应变为应变为 ( )( ,)cos( ,)sincc sccRRt tRt t (3.5-8)这时，显然应有这时，显然应有( ,)( )( ,)c sccc sRt tRRt tR 则式（则式（3.5-8）变为）变为ccsccRRRsin)(cos)()(3.5-9)再取使再取使t=/2c，同理可求得，同理可求得(3.5-10) Rs(t, t+)=Rs() Rsc(t, t+)=Rsc()( )( )cos( )sinss cccRRR 由以上的数学期望和自相关函

49、数分析可知，由以上的数学期望和自相关函数分析可知， 如果窄带过程如果窄带过程(t)是平稳的，则是平稳的，则c(t)与与s(t)也必将也必将是平稳的。是平稳的。 故有故有 R c()=R s() (3.5-11) Rc s()= -Rs c() (3.5-12) 同相分量同相分量c(t)和正交分量和正交分量s(t)具有相同的自相关函数。具有相同的自相关函数。ccsccRRRsin)(cos)()( )( )cos( )sinss cccRRR (3.5-9)(3.5-10) 式（式（3.5-9）和式（）和式（3.5-10）应同时成立，即）应同时成立，即 R (0)=R c(0)=R s(0) (

50、平均功率平均功率) (3.5-16) 则则 2 =2 c =2 s (3.5-17)这表明这表明(t)、c(t)和和s(t)具有相同的平均功率或方差（因具有相同的平均功率或方差（因为均值为为均值为0）。）。将上式代入式（将上式代入式（3.5-12），可得），可得 R s c(-) = -R s c() (3.5-13)同理可推得同理可推得 R c s(-) = -R c s() (3.5-14)即即c(t)、s(t)的互相关函数的互相关函数Rs c()、Rc s()都是都是的奇的奇函数，在函数，在=0时时 R s c(0)=R c s(0)=0 (3.5-15) 即即c(t)、 s(t)在同一

51、时刻的取值互不相关。在同一时刻的取值互不相关。R c s()=R s c(-) 根据互相关函数的性质，应有：根据互相关函数的性质，应有：c(t)、s(t)也是高斯随机过程，也是高斯随机过程，同一时刻不相关同一时刻不相关=统计统计独立独立。总结：一个均值为零的窄带平稳高斯过程总结：一个均值为零的窄带平稳高斯过程(t)：同相分量同相分量c(t)和正交分量和正交分量s(t)均值都为零，方差相同均值都为零，方差相同, 同相分量同相分量c(t)和正交分量和正交分量s(t)也是平稳高斯过程。也是平稳高斯过程。同相分量同相分量c(t)和正交分量和正交分量s(t)具有相同的自相关函数，具有相同的自相关函数，且

52、在同一时刻上得到的且在同一时刻上得到的c和和s是互不相关的或统计独立的。是互不相关的或统计独立的。取取t=t1=0, (t1)=c(t1)取取t=t2=/2c ,(t2)=-s(t2)例例4：求平稳随机过程：求平稳随机过程 同向分量同向分量 和正交分量和正交分量 的自相关函数及功率谱密度表达式。已知：的自相关函数及功率谱密度表达式。已知： t tc ts ttttttttttccscccsincossincos 1211112222,cossincossincccccRt tEtttttttt 12121212RcoscosRsinsin RsincosRcossinccccccccttttt

53、ttt 12121212 Rcoscossinsin Rcossinsincoscccccccctttttttt 2121 RcosRsin cctttt RcosRsinRscc cossincsccPPF RR 121 sgn 2ccccPPjj 1-21 PsgnPsgn2ccccccPP1P1 sgnP1 sgn2cccc ccPu Pu cc cc =Pu+Pu csccPPPn(f)ffc-fcn0/2BBPnc(f)= Pns(f)fn00-B/2B/2带通低通带宽平均功率 3.5.2 包络和相位的统计特性包络和相位的统计特性 由于由于c和和s统计独立，联合概率密度函数为统计独立

54、，联合概率密度函数为 2exp21)()(),(2222scscscfff 设设a,的联合概率密度函数为的联合概率密度函数为f(a,)，则利，则利用概率论知识，有用概率论知识，有 ),(),(),(),(afafscsc 而而sincosaasc 得到得到 于是于是2222(cos)(sin)exp22aaa222exp22aa 注意，这里注意，这里a0, 而而在在(0，2)内取值。内取值。 再利用概率论中边缘概率密度知识将再利用概率论中边缘概率密度知识将f(a,)对对积分，积分， 可求得包络可求得包络a的一维概率密度函数为的一维概率密度函数为(,)(,)cscscsaaa cossinsin

55、cosaaa),(),(scfaafdaadafaf2exp2),()(202220,2exp222aaa 可见，可见，a服从瑞利分布服从瑞利分布。 同理，同理，f(a, )对对a积分可求得相位积分可求得相位的一维概的一维概率密度函数为率密度函数为20,21)2exp(21),()(22020daaadaaff可见，可见，服从均匀分布服从均匀分布。 且有：且有： f(a,)=f(a)f() 综上所述，我们又得到一个重要结论：综上所述，我们又得到一个重要结论：一个均值为零，方差为一个均值为零，方差为2的窄带平稳高斯的窄带平稳高斯过程过程(t)：其包络其包络a(t)的一维分布是瑞利分布；的一维分布

56、是瑞利分布；相位相位(t)的一维分布是均匀分布；的一维分布是均匀分布；就一维分布而言，就一维分布而言，a(t)与与(t)是统计独立是统计独立的，即有下式成立的，即有下式成立 f(a,)=f(a)f() (3.5-22)窄带随机过程结论：结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程，其同相分一个均值为零的窄带平稳高斯过程，其同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程，而且均值都为零，量和正交分量同样是平稳高斯过程，而且均值都为零，方差也相同；在同一时刻上的同相分量与正交分量是方差也相同；在同一时刻上的同相分量与正交分量是不相关的或统计独立的。不相关的或统计独立的。其包络的一维分布是瑞利分其包络的一维分布是瑞利

57、分布，而其相位的一维分布是均匀分布，并且就一维分布，而其相位的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，包络和相位是统计独立的。布而言，包络和相位是统计独立的。3.6 正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程 信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰，为信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰，为了减少噪声的影响，通常在接收机前端设置一个了减少噪声的影响，通常在接收机前端设置一个带带通滤波器通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。，以滤除信号频带以外的噪声。 因此，因此，带通滤波器的输出是信号与窄带噪声的带通滤波器的输出是信号与窄带噪声的混合波形。最常见的是正弦波加窄带高斯噪声的合混合波形。最常见的是正弦波

58、加窄带高斯噪声的合成波，成波，这是通信系统中常会遇到的一种情况，所以这是通信系统中常会遇到的一种情况，所以有必要了解合成信号的包络和相位的统计特性。有必要了解合成信号的包络和相位的统计特性。设合成信号为设合成信号为 r(t)=A cos(ct+)+n(t) (3.6-1) 式中式中, n(t)=nc(t) cosct-ns(t) sinct为窄带高斯噪声，其均值为零，方差为为窄带高斯噪声，其均值为零，方差为2n；正弦信号的正弦信号的A, c均为常数，均为常数，是在是在(0, 2)上均匀分布上均匀分布的随机变量。的随机变量。 于是于是 r(t)=Acos+nc(t)cosct-Asin+ns(t

59、)sinct =zc(t)cosct-zs(t) sinct =z(t)cosct+(t) (3.6 - 2)式中式中 zc(t)=A cos+nc(t)=z(t)cos(t) (3.6 - 3) zs(t)=Asin+ns(t)= z(t)sin(t) (3.6 - 4)合成信号合成信号r(t)的包络和相位为的包络和相位为0, )()()(22ztztztzsc20 ,)()(arctan)(tztztcs 利用上一节的结果，利用上一节的结果，如果如果值已给定值已给定，则，则zc、zs是相是相互独立的高斯随机变量，且有互独立的高斯随机变量，且有s22222znznccsnsincosAzEA

60、zEsczc(t)=Acos+nc(t)zs(t)=Asin+ns(t) 所以，在给定相位所以，在给定相位的条件下的的条件下的zc和和zs的联合概的联合概率密度函数为率密度函数为)sin()cos(21exp21)/,(2222AzAzzzfscnnsc 利用上一节相似的方法，利用上一节相似的方法， 根据式根据式(3.6-3)、(3.6-4)可以求得在可以求得在给定相位给定相位的条件下的的条件下的z和和的联合概的联合概率密度函数为：率密度函数为：(,)( ,/ )(,/ )(,/ )( , )cscscsz zf zf z zzf z zz 22221exp2cos()22nnzzAAz求条件