任意阶幻方的填法

1、1 1（2 2）对于一个）对于一个n n阶正规幻方，阶正规幻方，我们先假设其幻方常数为我们先假设其幻方常数为X X则该幻方每一行的和都为则该幻方每一行的和都为X X，共有共有n n行，所以，行，所以，n n阶幻方的和就是阶幻方的和就是n n* *X X另一方面另一方面n n阶幻方包含了从阶幻方包含了从1 1到的所有正整数到的所有正整数所以该幻方的和就应该为所以该幻方的和就应该为因此就有因此就有n n* *X=X=即即n n阶幻方常数为阶幻方常数为()2/*+1=+3+2+1222nnn()2/*+122nn()2/*+12nn4 4）七阶幻方：（幻和为）七阶幻方：（幻和为175175）3030

2、393948481 1101019192828383847477 79 918182727292946466 68 817172626353537375 51414161625253434363645451313151524243333424244444 4212123233232414143433 3121222223131404049492 211112020接下来我们来寻找填接下来我们来寻找填n n阶幻方的通法，阶幻方的通法，目前填目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。又有各种各样的填写方法。三类幻方三类幻方单偶阶幻方单

3、偶阶幻方奇数阶幻方奇数阶幻方双偶阶幻方双偶阶幻方1 1、奇数阶幻方、奇数阶幻方 n n为奇数为奇数 (n=2(n=2k+1k+1，k=1k=1，2 2，3 3，) ) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法( (有人称之为楼梯法有人称之为楼梯法) )。填写方法是这样：填写方法是这样： 把把1(1(或最小的数或最小的数) )放在第一行正中；放在第一行正中； 按以下规律排列剩下的按以下规律排列剩下的n nn-1n-1个数：个数： (1)(1)每一个数放在前一个数的右上一格；每一个数放在前一个数的右上一格； (2)(2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放如果这个

4、数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；在底行，仍然要放在右一列；(3)(3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；它放在最左列，仍然要放在上一行； (4)(4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；内； (5)(5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)(4)。 这种写法总是先向这种写法总

5、是先向“右上右上”的方向，象是在爬楼梯。的方向，象是在爬楼梯。例如：三阶幻方和上面的七阶幻方。例如：三阶幻方和上面的七阶幻方。2 2、双偶阶幻方、双偶阶幻方 n n为偶数，且能被为偶数，且能被4 4整除整除 (n=4k (n=4k，k=1k=1，2 2，3 3，4 4，5)5)可用可用 ,方法很简单方法很简单: : 1) 1) 把自然数依次排成方阵把自然数依次排成方阵 2) 2) 把幻方划成把幻方划成4 4* *4 4的小区的小区, ,每个小区划对角线每个小区划对角线, , 3) 3) 把这些对角线所划到的数把这些对角线所划到的数, ,保持不动保持不动, , 4) 4) 把没划到的数把没划到的

6、数, ,按幻方的中心按幻方的中心, ,以中心对称以中心对称的方式的方式, ,进行对调进行对调, , 幻方完成幻方完成! ! 例如：四阶幻方例如：四阶幻方1 12 23 34 45 56 67 78 89 910101111121213131414151516161 1151514144 412126 67 79 98 8101011115 513133 32 216161 12 23 34 45 56 67 78 89 91010111112121313141415151616画对画对角线角线对调对调幻方常数为幻方常数为34341 12 23 34 45 56 67 78 89 9101011

7、1112121313141415151616171718181919202021212222232324242525262627272828292930303131323233333434353536363737383839394040414142424343444445454646474748484949505051515252535354545555565657575858595960606161626263636464再来看看八阶幻方：再来看看八阶幻方：12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383

8、94041424344454647484950515253545556575859606162636416362455958856101153521415494818194544222341253938282935343233313036372726402442432120464717165051131254559577660613264幻方常数为幻方常数为260260最后我们来看一看单偶阶的幻方，这也是三最后我们来看一看单偶阶的幻方，这也是三种情况中最复杂的一种。种情况中最复杂的一种。 n n为偶数，且不能被为偶数，且不能被4 4整除整除 (n=4k+2(n=4k+2，k=1k=1，2 2，

9、3 3，)1)1)把方阵分为把方阵分为A A，B B，C C，D D四个象限，这样每一个象限肯四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用楼梯法，依次在定是奇数阶。用楼梯法，依次在A A象限，象限，D D象限，象限，B B象限，象限，C C象限按奇数阶幻方的填法填数。象限按奇数阶幻方的填法填数。这里我们以这里我们以6 6阶为例阶为例261924212325222720352833303234313629816357492171015121416131811ABCD352833303234313629816357492(2)在在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。格。A象限象限的其它行则标出最左边的的其它行则标出最左边的k格。将这些格，和格。将这些格，和C象限相对位置上的数，互换象限相对位置上的数，互换位置。位置。(6阶时阶时k=1)351633273192828333053443629 (3) 在在B象限任一行的中间格，自右向左，标出象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列。列。(注：注：6阶幻方由于阶幻方由于k-1=0，所以，所以不用再作不用再作B、D象限的数据交换