信号与系统-5

1、信号与系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平5.1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换5.2 5.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换5.4 5.4 （系统的）复频域分析（系统的）复频域分析* * 5.5 5.5 双边拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换第五章第五章 连续系统的复频域（连续系统的复频域（S S域）分析域）分析信号与系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平（1）有些信号不存在傅里叶变换，如）有些信号不存在傅里叶变换，如e2t(t);（2）有些信号的傅里叶变换求解困难

2、，）有些信号的傅里叶变换求解困难， 甚至用不同的方法会得出不同的结论；甚至用不同的方法会得出不同的结论；（2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析回顾：频域分析回顾：频域分析基本信号基本信号：虚指数信号虚指数信号ejt任意信号任意信号：分解为众多不同频率的虚指数分量之和分解为众多不同频率的虚指数分量之和零状态响应的求解得到简化零状态响应的求解得到简化物理意义清楚物理意义清楚不不足足优优点点信号与系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平频域频域傅立叶变换傅立叶变换复频域复频域拉普拉斯变换拉普拉斯变换基本信号基本信号：

3、复指数函数复指数函数est任意信号任意信号：分解为不同复频率的复指数分量之和分解为不同复频率的复指数分量之和引入复频率引入复频率 s = +j信号与系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平5.1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换一、从傅里叶到拉普拉斯变换一、从傅里叶到拉普拉斯变换若若f(t)不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难适当选取适当选取 的值的值引入衰减因子引入衰减因子e- t( 为实常数）为实常数）f(t) e- tf(t) e- t的傅里叶变换存在的傅里叶变换存在当当t时时f(t) e- t幅度趋近于幅度趋

4、近于0信号与系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平傅里叶逆变换傅里叶逆变换f(t) e- t= de)(21tjbjFF Fb b( ( +j+j )=)= f(t) e- t= ttfttftjtjtde)(dee)()(de)(21)()(tjbjFtf令令s = + j tetfsFstbd)()(jjde)(j21)(ssFtfstb双边拉普拉斯变换对双边拉普拉斯变换对信号与系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平tetfsFstbd)()(jjde)(j21)(ssFtfstbFb(s)称为称为f(t)的双

5、边拉氏变换（的双边拉氏变换（f(t)的象函数的象函数）f(t)称为称为Fb(s) 的双边拉氏逆变换（的双边拉氏逆变换（ Fb(s)原函数原函数）只有只有选择适当的选择适当的 值值才能使才能使积分收敛积分收敛，信号，信号f(t)的双边的双边拉普拉斯变换才存在。拉普拉斯变换才存在。使使 f(t)拉氏变换存在拉氏变换存在 的取值范围称为的取值范围称为Fb(s)的收敛域的收敛域。二、收敛域二、收敛域信号与系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平例：例：因果信号因果信号f1(t)= e t (t) ，求其拉普拉斯变换。，求其拉普拉斯变换。 解解 elim1 )(1)

6、(edee)()(0)(01tjtttssttbesstsF，无界，不定Re,1ss对于因果信号，仅当对于因果信号，仅当Res= 时，其拉氏变换存在。时，其拉氏变换存在。j0收敛域收敛域收敛边界收敛边界信号与系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平例：反因果信号例：反因果信号f2(t)= e t (-t) ，求其拉普拉斯变换。，求其拉普拉斯变换。 解解 elim1 )(1)(edee)()(0)(02tjtttssttbesstsF，不定无界)(1.Re,ss对于反因果信号，仅当对于反因果信号，仅当Res= 时，其收敛域时，其收敛域为为 Res 22131

7、)()(22sssFtfRes= 32131)()(33sssFtf 3 2象函数相同，但收敛域不同象函数相同，但收敛域不同双边拉氏变换必须标出收敛域双边拉氏变换必须标出收敛域!信号与系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平有始信号，设其初始时刻为有始信号，设其初始时刻为t0t （可以省略）（可以省略）本课程主要讨论单边拉氏变换本课程主要讨论单边拉氏变换单边拉氏变换单边拉氏变换信号与系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平0defde)()(ttfsFst)(de)(j21)(jjdeftssFtfst简记为：简记为：

8、F(s)=f(t) f(t)= -1F(s) 或或 f(t) F(s)三、单边拉氏变换三、单边拉氏变换信号与系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平例例:求如图信号的单边拉氏变换。求如图信号的单边拉氏变换。011f1(t)t01-11tf2(t)解：解：f1(t) = (t) (t-1)F1(s)=)e1 (1ssF2(s)= F1(s)t0时，f2(t)=f1(t)单边拉氏变换的定义并没有限定单边拉氏变换的定义并没有限定f(t)必须为有始必须为有始信号，信号，双边信号同样可以有单边拉氏变换双边信号同样可以有单边拉氏变换注意注意信号与系统 signal &

9、amp; System 西南大学电子信息工程学院 马忠平四、常见函数的拉普拉斯变换四、常见函数的拉普拉斯变换1、 (t) 1， -2、 (t)或或1 1/s ， 03、指数函数、指数函数e-s0t 01ss -Res0cos 0t = (ej 0t+ e e-j-j 0t )/2 202sssin 0t = (ej 0t e e-j-j 0t )/2j 2020sS0可以为复数信号与系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平4、周期信号、周期信号fT(t) 0)1(200de)(.de)(de)(de)()(nTnnTstTTTstTTstTstTTttft

10、tfttfttfsFTsTsTTsTnnsTnTttfnTf000de)(e11de)(e令特例特例： T(t) 1/(1 e-sT) 信号与系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平一、线性性质一、线性性质若若 f1(t)F1(s) Res 1 f2(t)F2(s) Res 2则则 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s) Resmax( 1, 2) 例例f(t) = (t) + (t)1 + 1/s， 0 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质信号与系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平例例:

11、f(t)=cos(2t/4) F(s)= ?解：解：cos(2t/4) =cos(2t)cos(/4) + sin(2t)sin (/4) 42222242224)(222ssssssF信号与系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平若若 f(t) F(s) , Res 0则则 f(at) )(1asFaResa 0 二、尺度变换二、尺度变换其中：其中：a为实数，且为实数，且a0信号与系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平例：如图信号例：如图信号f(t)的拉氏变换的拉氏变换F(s) =)ee1 (e2sssss求图中信

12、号求图中信号y(t)的拉氏变换的拉氏变换Y(s)。0121f(t)t0424y(t)t解：解：y(t)= 4f(0.5t)Y(s) = 42 F(2s) )e2e1 (2e82222sssss)e2e1 (e22222sssss信号与系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平若若 f(t) F(s) , Res 0,则则 f(t-t0) (t-t0)e-st0F(s) , Res 0 时移与尺度变换相结合时移与尺度变换相结合f(at-t0) (at-t0)asFasat0e1三、时移（延时）特性三、时移（延时）特性其中其中t0为实常数且为实常数且t00信号与

13、系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平例例:已知已知f1(t) F1(s), 求求f2(t) F2(s)=？解：解： f2(t) = f1(0.5t) f1 0.5(t-2)011f1(t)t0241tf2(t)-1f1(0.5t) 2F1(2s)f1 0.5(t-2) 2F1(2s)e-2sf2(t) 2F1(2s)(1 e-2s)信号与系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平例例:求求f(t)= e-2(t-1)(t) F (s)=?2Re21)(2Re21)()1(22SeSteSSteStt解：?2Re2)(

14、.)(222)1(2SSeteetett正确解法：信号与系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平例例:求求f1(t)= e-2t(t1) F 1(s)=? f2(t)= e-2(t-1)(t1) F 2(s)=?信号与系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平若若 f(t) F(s) , Res 0 , 则则 f(t)esat F(s-sa) , Res 0+ a其中其中Sa为复常数，为复常数， sa= a+j a,例例:已知因果信号已知因果信号f(t)的象函数的象函数F(s)= 12ss求求e-tf(3t-2)的象函数

15、。的象函数。 解：解：e-tf(3t-2) )1(322e9) 1(1sss四、复频移（四、复频移（s域平移）特性域平移）特性信号与系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平若若 f(t) F(s) , Res 0, 则则 f(t) sF(s) f(0-) f(t) s2F(s) sf(0-) f(0-) f(n)(t) snF(s) 10)(1)0(nmmmnfs若若f(t)为因果信号，则为因果信号，则f(n)(t) snF(s) 五、时域的微分特性（微分定理）五、时域的微分特性（微分定理）信号与系统 signal & System 西南大学电子信

16、息工程学院 马忠平例例1: (n)(t) ? 例例2:?2cosddtt例例3:?)(2cosddttt信号与系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平例例:已知因果信号已知因果信号f(t)如图如图 ,求求F(s)f(t)t022解解：对：对f(t)求导得求导得f(t)，如图，如图f(t)t(-2)120f(t)=(t)(t 2) 2(t 2) F1(s)(e2)e1 (122SSFsssssFsF)()(1ssSs222e2)e1 (1信号与系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平若若f(t) F(s) , Res 0

17、, 则则 )0(1)(1d)()(10mmnnntfssFsxxf)0()(d)()()1(11)1(fssFsxxftft例例: t2 (t)? )(d)(0ttxxtttttxxxxx0220)(2d)(d)(322)(stt六、时域积分特性（积分定理）六、时域积分特性（积分定理）信号与系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平时域卷积定理时域卷积定理 若若因果函数因果函数 f1(t) F1(s) , Res 1 , f2(t) F2(s) , Res 2 则则 f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s) 复频域（复频域（s域）卷积定理域）卷积定理 j

18、cjcsFFtftfd)()(j21)()(2121七、卷积定理七、卷积定理信号与系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平例：例：时的零状态响应求输入为，系统冲激响应)()()()(2tetftethLTItt112111.21)().()()(*)()(SSSSSHSFSYthtftyff解：)()(2teetyttf信号与系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平若若f(t) F(s) , Res 0, 则则 ssFtftd)(d)()(nnnssFtftd)(d)()(例例1：t2e-2t (t) ?解：解： e-

19、2t (t) 1/(s+2) t2e-2t (t) 322)2(2)21(ddssssdFttf)()(八、八、s域微分和积分域微分和积分信号与系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平例例2：?)(sinttt11)(sin2stt解：sstttss1arctanarctan2arctand11)(sin2例例3：?e12tt211e12sst解：sstesst2ln2lnd)211(12信号与系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平初值定理初值定理设函数设函数f(t)不含不含 (t)及其各阶导数，及其各阶导数，并且并

20、且 f(t) F(s)，则则 )(lim)(lim)0(0ssFtffst终值定理终值定理 若若f(t)当当t 时存在，并且时存在，并且 f(t) F(s) , Res 0, 00，则，则 )(lim)(0ssFfs九、初值定理和终值定理九、初值定理和终值定理信号与系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平初值定理和终值定理常用于由初值定理和终值定理常用于由F(s)直接直接求求f(0+)和和f(），而不必求出原函数），而不必求出原函数f(t)(lim)0(ssFfs)(lim)(0ssFfs信号与系统 signal & System 西南大学电子信息

21、工程学院 马忠平例例)()0(,222)(2ffssssF、求2222lim)(lim)0(22sssssFfss解：0222lim)(lim)(2200sssssFfss信号与系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平通常的方法通常的方法 （1）查表）查表 （2）利用性质）利用性质 （3） 部分分式展开部分分式展开5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换)(de)(j21)(jjtssFtfst复变函数积分，比较困难。复变函数积分，比较困难。结合结合信号与系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平若象函数若象函数F(s)是是

22、s的有理分式，可写为的有理分式，可写为 01110111.)(asasasbsbsbsbsFnnnmmmm若若mn （假分式）（假分式）,可用多项式除法将象函数可用多项式除法将象函数F(s)分分解为有理多项式解为有理多项式P(s)与与有理真分式有理真分式之和。之和。 )()()()(0sAsBsPsF信号与系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平6116332261161531258)(23223234ssssssssssssssF例：)(2)(2tts)()()(00taSaSPiniiinii有理多项式信号与系统 signal & System

23、 西南大学电子信息工程学院 马忠平部分分式展开法部分分式展开法若若F(s)是是s的实系数有理真分式（的实系数有理真分式（m 0 ttfFtde)()(jj要讨论其关系，要讨论其关系，f(t)必须为因果信号必须为因果信号。 根据收敛坐标根据收敛坐标 0的值可分为三种情况的值可分为三种情况（1） 00，收敛域不包含虚轴收敛域不包含虚轴五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系信号与系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平（1） 0-2则则 F(j )=1/( j +2)Ot t t eOj 信号与系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平（2） 0 0，F(j )不存在。不存在。 例例f(t)=e2t (t) F(s)=1/(s 2) 2其傅里叶变换不存在。其傅里叶变换不存在。Ot tuteOj信号与系统 signal & System 西南大学电子信息工程学院 马忠平（3） 0 =0，即即F(s)的收敛边界为的收敛边界为j 轴，轴， 如如f(t)= (t)F(s)=1/s F(j )= ( ) + 1/j jSS1如何由如何由F(S)求求F(j )?信号与系统