应力与应变分析

1、第九章第九章 应力与应变分析应力与应变分析第一节第一节 应力状态的概念应力状态的概念第二节第二节 平面应力状态下的应力研究、应力圆平面应力状态下的应力研究、应力圆第三节第三节 三向应力状态下的最大应力三向应力状态下的最大应力第四节第四节 广义虎克定律广义虎克定律第五节第五节 三向应力状态下的变形比能三向应力状态下的变形比能一、一点的应力状态一、一点的应力状态 1.一点的应力状态一点的应力状态：通过受力构件一点处各个不同截面通过受力构件一点处各个不同截面上的应力情况上的应力情况。 2.研究应力状态的目的研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和剪应力：找出该点的最大正应力和剪应力数值及所在截面的

2、方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分析。析。第一节第一节 应力状态的概念应力状态的概念二、研究应力状态的方法二、研究应力状态的方法单元体法单元体法 1.单元体单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。：围绕构件内一所截取的微小正六面体。应力与应变分析应力与应变分析xOzydzdxdyXYZOs sys sys szs szt tzyt tyzt tyzt tzyt tyxt tyxt txyt txys sxs sxt tzxt txzt tzxt txz应力与应变分析应力与应变分析 （1）应力分量的）应力分量的角标规定角标规定：第一角标

3、表示应力作用面，第二：第一角标表示应力作用面，第二角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。（2）面的方位用其法线方向表示）面的方位用其法线方向表示yxxyxzzxzyyzt t t tt t t tt t t t，3.截取原始单元体的方法、原则截取原始单元体的方法、原则用三个坐标轴用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状 而定而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体 单元体各个面上的应力已知或可求；单元体各个面上的应力已知或可求；几

4、种受力情况下截取单元体方法：几种受力情况下截取单元体方法：2.单元体上的应力分量单元体上的应力分量应力与应变分析应力与应变分析PMeMePPMeMec) 同同b)，但从，但从上表面截取上表面截取Ct ts ss sb) 横截面，周向面，直径面各一对横截面，周向面，直径面各一对Ba) 一对横截面，两对纵截面一对横截面，两对纵截面AssP/As stMtMe/WnABCBCAPCABt tBt tCs sCs sCs sAs sA三、应力状态分类三、应力状态分类(按主应力按主应力) 1. 主平面主平面：单元体上剪应力为零的面；：单元体上剪应力为零的面； 主单元体主单元体：各面均为主平面的单元体，单

5、元体上有三对：各面均为主平面的单元体，单元体上有三对主平面；主平面； 主应力主应力：主平面上的正应力，用：主平面上的正应力，用s s1、s s2、s s3表示，表示， 有有s s1s s2s s3。应力与应变分析应力与应变分析旋转旋转yxzs s2s s3s s1xyzs sxs szt txyt txzt tzxt tzyt tyzt tyxs sy2.应力状态按主应力分类：应力状态按主应力分类： 只有一个主应力不为零称只有一个主应力不为零称单向应力状态单向应力状态； 只有一个主应力为零称只有一个主应力为零称两向应力状态两向应力状态(平面应力状态平面应力状态)； 三个主应力均不为零称三个主应

6、力均不为零称三向应力状态三向应力状态(空间应力状态空间应力状态)； 单向应力状态又称单向应力状态又称简单应力状态简单应力状态，平面和空间应，平面和空间应力状态又称力状态又称复杂应力状态复杂应力状态。 应力与应变分析应力与应变分析一、平面应力分析的解析法一、平面应力分析的解析法 1.平面应力状态图示：平面应力状态图示： 第二节第二节 平面应力状态下的平面应力状态下的应力研究、应力圆应力研究、应力圆 s syt tyxt txys sxs sxs sxt txys sys sys sxt tyx应力与应变分析应力与应变分析2.任意任意a a角斜截面上的应力角斜截面上的应力s sxt txys sy

7、s sys sxt tyxABxya anta as st ts sxt txyt tyxs syxdAs sx ：0tdAataatcos)cos(dAxyaatsin)sin(dAyxaascos)sin(dAyaassin)cos(dAx0 ：0ndAasaatsin)cos(dAxyaatcos)sin(dAyxaassin)sin(dAyaascos)cos(dAx0s syt txyt tyx 得得 atasstatasssssaa2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx应力与应变分析应力与应变分析符号规定：符号规定： a a角角以以x轴正向为起线，逆时针旋转为正

8、，反之为负轴正向为起线，逆时针旋转为正，反之为负 s s拉为正，压为负拉为正，压为负 t t使微元产生顺时针转动趋势者为正，反之为负使微元产生顺时针转动趋势者为正，反之为负3.主应力及其方位：主应力及其方位： 由主平面定义，令由主平面定义，令t t =0，得：，得： yxxyssta22tan0可求出两个相差可求出两个相差90o的的a a0值，对应两个互相垂直主平面。值，对应两个互相垂直主平面。令令0asaddyxxyssta22tan0得：得：即主平面上的正应力取得所有方向上的即主平面上的正应力取得所有方向上的极值极值。 应力与应变分应力与应变分析析 主应力大小：主应力大小： )(2222s

9、stssssssxyyxyx由由s s、s s、0按代数值大小排序得出：按代数值大小排序得出：s s1s s2s s3 判断判断s s、s s作用方位作用方位(与两个与两个a a0如何对应如何对应) t txy箭头指向第几象限箭头指向第几象限(一、四一、四)，则，则s s(较大主应较大主应力力)在第几象限，即先判断在第几象限，即先判断s s大致方位，再判断其与大致方位，再判断其与算得的算得的a a0相对应，还是与相对应，还是与a a0+90o相对应。相对应。 o90yx a aa as s s s s s s s s s s st txys ss sa a0*t txys ss sa a0*应

10、力与应变分应力与应变分析析4.极值切应力：极值切应力： 令：令： ，可求出两个相差，可求出两个相差90o 的的 a a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。，代表两个相互垂直的极值切应力方位。0ataddxyyx122tgt ts s s s a a极值切应力：极值切应力： 2 22xy2yxs s s s t t s s s s t tt t102tg12tga a a a(极值切应力平面与主平面成极值切应力平面与主平面成45o)应力与应变分应力与应变分析析 t t s sa aa aMPa3 .2060cos)20(60sin24030MPa8 .2960sin)20(60cos24030

11、24030)1oooo解：解：403020单位：单位：MPaa as sa at ta a ，主单元体如上，主单元体如上，o00321229 .144030202tgMPa3 .45 0MPa3 .35MPa3 .45MPa3 .35202403024030 )2 a a a a s s s s s s s s s s s ss sMPa3 .402 )3 s s s s t tt t)(C)4o90应应力力之之和和为为常常数数元元体体任任意意垂垂直直平平面面上上正正同同一一单单讨讨论论并并证证明明： s s s s s s s s a aa a40203014.9os ss ss ss s

12、例例一一 图示单元体，试求：图示单元体，试求：a a=30o斜斜截面上的应力；截面上的应力； 主应力并画出主单元主应力并画出主单元体；体；极值切应力。极值切应力。t tABCDx45o-45oMeMeDCBAs s3 3s s1 1s s1 1s s3 3分析圆轴扭转时的应力状态分析圆轴扭转时的应力状态 o00224502tg2020 )2 a a t t a at t t t s ss s主单元体如右主单元体如右，t t s s s s s st t s s s s 0)33214)圆轴扭转时，横截面为纯剪切应圆轴扭转时，横截面为纯剪切应 力状态，最大拉、压应力在与轴力状态，最大拉、压应力在

13、与轴 线成线成45o斜截面上，它们数值相斜截面上，它们数值相 等，均等于横截面上的剪应力；等，均等于横截面上的剪应力；5)对于塑性材料对于塑性材料(如低碳钢如低碳钢)抗剪能力差，扭转破坏时，抗剪能力差，扭转破坏时， 通常是横截面上的最大剪应力使圆轴沿横截面剪断；通常是横截面上的最大剪应力使圆轴沿横截面剪断；6)对于脆性材料对于脆性材料(如铸铁、粉笔如铸铁、粉笔)抗拉性能差，扭转破抗拉性能差，扭转破 坏时，通常沿与轴线成坏时，通常沿与轴线成45o的螺旋面发生拉断。的螺旋面发生拉断。neW/MABCD)1 t t：单单元元体体围围绕绕圆圆轴轴外外表表面面一一点点取取解解：例例9 2 分析圆轴扭转时

14、的应力状态。分析圆轴扭转时的应力状态。 二、平面应力分析的图解法二、平面应力分析的图解法应力圆应力圆 1.理论依据：理论依据： a at t a as s s s t ta at t a as s s s s s s s s s2cos2sin22sin2cos22xyyxy xxyyxyxx22xy2yx2y x2yxx22 t t s s s s t t s s s s s s以以s s、t t为坐标轴，则任意为坐标轴，则任意a a斜截面上的应力斜截面上的应力s sx、t txy为：为：以以) 为半径的圆。为半径的圆。 2xy2yxyx2/ )(0,2/ )(t t s s s ss s

15、s s为为圆圆心心，以以2.应力圆的绘制：应力圆的绘制： 定坐标及比例尺；定坐标及比例尺； 取取x面，定出面，定出D( )点；取点；取y面，定出面，定出D( )点；点； xyx,t ts syxy,t ts s连连DD交交s s轴于轴于C点，以点，以C为圆心，为圆心，DD1为直径作圆；为直径作圆； s sxs sxt txyt tyxt txyt tyxs sys syOs st txyna aC2a2a0A1s sB1 s s2a2assa a,t ,ta a E EG1t tG2 t t D(s sy, t tyx)BAD(s sx, t txy)s sa at ta a3.应力圆的应用应

16、力圆的应用 点面对应关系点面对应关系：应力圆上一点坐标代表单元体某个面上的：应力圆上一点坐标代表单元体某个面上的应力；应力； 角度对应关系角度对应关系：应力圆上半径转过：应力圆上半径转过2a a，单元体上坐标轴转，单元体上坐标轴转过过a;a; 旋向对应关系旋向对应关系：应力圆上半径的旋向与单元体坐标轴旋向：应力圆上半径的旋向与单元体坐标轴旋向相同；相同； 求外法线与求外法线与x轴夹角为轴夹角为a a斜截面上的应力，只要以斜截面上的应力，只要以D为起点，为起点，按按a a转动方向同向转过转动方向同向转过2a a到到E点，点，E点坐标即为所求应力值。点坐标即为所求应力值。 用应力圆确定主平面、主应

17、力：由主平面上剪应力用应力圆确定主平面、主应力：由主平面上剪应力t t=0，确，确定定D转过的角度；转过的角度；D转至转至s s轴正向轴正向A1点代表点代表s s所在主平面，其转所在主平面，其转过角度为过角度为2 ，转至，转至s s轴负向轴负向B1点代表点代表s s所在主平面；所在主平面；*0a a 确定极值剪应力及其作用面：应力圆上纵轴坐标最大的确定极值剪应力及其作用面：应力圆上纵轴坐标最大的G1点点为为t t，纵轴坐标最小的，纵轴坐标最小的G2点为点为t t”，作用面确定方法同主应力。，作用面确定方法同主应力。求：求：1)a a=30o斜截面上的应力；斜截面上的应力； 2)主应力及其方位；

18、主应力及其方位； 3)极值剪应力。极值剪应力。s sOt tD(30,-20)D(-40,20)C60o(29.8,20.3)MPa3 .20MPa8 .29oo3030 t t s s，35.3-45.3MPa3 .450MPa3 .35321 s s s s s s，29.8ooo*019 .142/8 .29x a as s轴轴夹夹角角：与与403020单位：单位：MPaxa as sa at ta a40.3-40.3MPa3 .40 t tt t 例例9 3 用应力圆法重解例用应力圆法重解例9 1题。题。 1.三向应力状态应力圆：三向应力状态应力圆： 平行平行s s3斜截面上应力由斜

19、截面上应力由s s1、s s2作出应力圆上的点确定；作出应力圆上的点确定； 平行平行s s2斜截面上应力由斜截面上应力由s s1、s s3作出应力圆上的点确定；作出应力圆上的点确定； 平行平行s s1斜截面上应力由斜截面上应力由s s2、s s3作出应力圆上的点确定；作出应力圆上的点确定； 由弹性力学知，任意斜截面上的应力点落在阴影区内。由弹性力学知，任意斜截面上的应力点落在阴影区内。一、三向应力状态下的应力圆一、三向应力状态下的应力圆2.三向应力状态下的最大剪应力三向应力状态下的最大剪应力23113maxs s s s t t t t t tmax所在平面与所在平面与s s1和和s s3两个

20、主平面夹角为两个主平面夹角为45o。 二、例题二、例题 第三节第三节 三向应力状态下的最大应力三向应力状态下的最大应力s s3s s2s s1s s2s s3s s1s s2s s1s s3s s3C1C3s s1s s2Ot ts st t12t t23t t13C2 例例9 4 试确定左图所示应力状态的试确定左图所示应力状态的主应力和最大剪应力，并确定主平主应力和最大剪应力，并确定主平面和最大剪应力作用面位置。面和最大剪应力作用面位置。x300150y140z90解：解： 给定应力状态中有一个主给定应力状态中有一个主应力是已知的，即应力是已知的，即s sz=90MPa。因此，可将该应力状态

21、沿因此，可将该应力状态沿z方向方向投影，得到平面应力状态，可直投影，得到平面应力状态，可直接求主应力及其方位。接求主应力及其方位。 s sx=300MPa，s sy=140MPa，t txy= 150MPa，因此：，因此：MPa50390170220)150()2140300(214030022minmax s ss s根据根据s s1、s s2、s s3的排列顺序，可知：的排列顺序，可知： s s1=390MPa，s s2=90MPa，s s3=50MPa xzyxzy90300150140As sy=140t txy=150s sx=300A视视s s2y31o31os s1xs s3主应

22、力方位：主应力方位： o0o0o0yxxy0121231622815140300150222tg a a a a a a s s s st t a a 最大剪应力所在平面法线与主平面夹角最大剪应力所在平面法线与主平面夹角45o即与即与x轴夹角轴夹角76o或或 14o。 MPa170250390231max s s s s t t单元体内的最大剪应力：单元体内的最大剪应力： 一、广义虎克定律一、广义虎克定律1.有关概念：有关概念： 主应变主应变：沿主应力方向的应变，分别用：沿主应力方向的应变，分别用e e1e e2e e3表示；表示； 正应力只引起线应变，剪应力只引起剪应变；正应力只引起线应变，

23、剪应力只引起剪应变；2.广义虎克定律广义虎克定律： 推导方法：推导方法：叠加原理叠加原理主应变与主应力关系：主应变与主应力关系： s s s s s s e e e e e e e es s s s s s e e e e e e e es s s s s s e e e e e e e e)(E1)(E1)(E1213 3333132 2222321 1111一般情况：一般情况： t t t t t t s s s s s s e es s s s s s e es s s s s s e eG/G/G/)(E1)(E1)(E1zxzxyzyzxyxyyxzzxzyyzyxx，第四节第四节

24、广义虎克定律广义虎克定律s s1s s2s s3s s1s s1Is s2s s2IIs s3IIIs s1Is s1s s2IIs s2s s1方向上的应变：方向上的应变：s s2方向上的应变：方向上的应变：s s3方向上的应变：方向上的应变：EEE1312111s s e es s e es s e es sEEE2322212s s e es s e es s e es sE E E 3332313s s e es s e es s e es sIIIs s3 s s s s s s e e e e e e e es s s s s s e e e e e e e es s s s s

25、s e e e e e e e e)(E1 )(E1 )(E1 213333313222223211111用应变表示应力：用应变表示应力： t t t t t te e e e e e e e s se e e e e e e e s se e e e e e e e s szxzxyzyzxyxyzzyxzyzyxyxzyxxGGG1E)()21)(1(E1E)()21)(1(E1E)()21)(1(E，上式中上式中： )1(2EG 二、例题二、例题 例例9 5 在一体积较大的钢块上有一直径为在一体积较大的钢块上有一直径为50.01mm的凹座，的凹座，凹座内放置一直径为凹座内放置一直径为50

26、mm的钢制圆柱如图，圆柱受到的钢制圆柱如图，圆柱受到P=300kN的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。取取E=200GPa， =0.30。PpPP/AppppMPa153MPa43. 8p321 s s s s s s， 柱内各点的三个主应力为：柱内各点的三个主应力为： 求得：求得： MPa43. 83 . 011020002. 03 . 0153p5 0002. 0E153EpEpEEE1122 s s s s s s e e 由广义虎克定律：由广义虎克定律： 0002. 055001. 52 e e 在轴向压缩下，圆柱将向横向膨胀，当

27、它胀到塞满凹座后，凹在轴向压缩下，圆柱将向横向膨胀，当它胀到塞满凹座后，凹座与柱体之间将产生径向均匀压力座与柱体之间将产生径向均匀压力p。柱体内任一点均为二向均压。柱体内任一点均为二向均压应力状态，柱内任一点的径向与周向应力均为应力状态，柱内任一点的径向与周向应力均为 p，考虑到柱与凹，考虑到柱与凹座之间的间隙，可得应变座之间的间隙，可得应变e e2的值为：的值为： MPa153)50(410300AP233 s s 解：解：在柱体横截面上的压应力为：在柱体横截面上的压应力为：一、总应变比能一、总应变比能1.有关概念：有关概念： 应变能应变能(变形能变形能)：伴随弹性体的变形而储存在弹性体的：伴随弹性体的变形而储存在弹性体的 能量。用能量。用U表示；表示；比能比能：单位体积的应变能，用：单位体积的应变能，用u表示；表示； 2.总应变比能：总应变比能：取主应力状态，假定三个主应力按