平顶高斯超高斯高阶高斯

1、山东大学信息学院王云征平顶局斯、超局斯、局阶局斯函数的基础知识高斯函数是高等教育中一个比较重要的函数，在概率统计、光学等众多学科中都有它的身影。它的函数形式为 f (x) =a*exp( -=),在不同学科中具体表示会略有不同，比如描2述光束的振幅时函数与上式相同，描述光强时I (r) = a*exp(-名)。本文将介绍高斯函数的基本概念以及常见的高阶高斯、 超高斯和平顶高斯的具体定义等。 这些函数在激光理论和 强激光理论中有着重要的作用，高斯函数是谐振腔的本质模式，基模和高阶模可以分别有高 斯和高阶高斯函数描述； 在强激光的应用中常要求光斑要均匀， 可以用超高斯或平顶高斯函 数描述。1高斯函

2、数及其扩展函数1.1高斯函数2(1) 一般形式：将最大幅度定为1,即a=1,则f(x)=exp(-金)。其图像如下(2) 一个具有高斯型空间分布的脉冲，强度分布为I(r) =exp(-井)图像为空何分布的倒iiiMHiiiaBIHIISHHBIIBIniiiiQcniii，-.".J.1：ZEZ：Z：j.ZIZSL ：扃斯EW的豚冲Z： ：Z： ： - Z： ： a： ：Z：II:Illi(3) 一个时间上具有高斯分布的脉冲，函数形式I=exp(22),图像为w高斯畦间分布的脉冲10.9o.e0.7O.E-0.50.40.3a.20.10-5-4-3-2-10123 J 5t1.2局

3、阶局斯函数高阶高斯函数有很多种分类，常见的就有高阶贝塞尔高斯函数、高阶拉盖尔高斯函数、高阶厄米高斯函数、高阶椭圆高斯函数(包括高阶椭圆厄米高斯函数、高阶椭圆拉盖尔高斯函数)等等，现就这几类分别说明。(1) 高阶贝塞尔高斯函数形式：/2 、xf(x) = Jm(x)exp rw J其中Jm(x)是第一类高阶贝塞尔函数，m为阶数，w为光束束腰宽度。m=0,1,2,3时的贝塞尔函数曲线为：第一类贝塞尔函数曲统阶数m=( 1 2 3m=0,1,2,3时的高阶贝塞尔高斯函数曲线为:具有这种形式的空间分布的光束横截面图像为:高阶贝塞尔高斯函数曲线阶数mF高阶贝塞尔高斯函数曲统阶数巾=1高阶贝塞尔高斯函数曲

4、域阶数mW高阶贝塞尔蒿斯函数曲线阶数(2) 高阶厄米高斯光束：是方形镜共焦腔的本征函数 厄米多项式H p(x) , p为阶数。Ho =1H1 = 2x递推公式为：Hni(x)-2xHn(x) 2nHn(x)=0p=0,1,2,3,4,5的厄米多项式的图像为:所以高阶厄米高斯光束 xy两个方向同时考虑的函数形式为:E(x,y) = Hm(x/w)Hn(y/w)exp其中HmHn分别为m, n阶厄米函数，w为束腰宽度。则几个低阶横模的光强分布图像为:光斑模式为TE也龙斑模式为正舶光斑模式为TE也(3) 高阶拉盖尔高斯函数：圆形镜共焦腔的本征函数 拉盖尔多项式Ln(x)，其中n为阶数L。=1L1 -

5、 -x 12-L2 = x -4x 2L3 - -x3 9x2 -18x 64- 3_2_L4 =x4 -16x3 72x-96x 24L5 = -x5 25x4 -200x3 600x2 -600x 120 拉盖尔多项式也可以写成：x d n > Ln(x) =e n(x e ) dx前几阶拉盖尔多项式的图像为：缔合拉盖尔函数L：(x),其中n为阶数Lm =1 0L： - - x m 1L； =x2 -2(m 2)x (m 1)(m 2)/2缔合拉盖尔多项式的递推公式为：L；(x) =(2n m-1 -x)L，(x) -(n 1)L；(x)/ n高阶缔合拉盖尔高斯光束xy两个方向同时考

6、虑的函数形式为：E(x,y)=.x y m m x2 y2H) Ln( )expww22、x + y2W Jexp（_im中），其中Lm Ln分别为m, n阶拉盖尔函数,w为束腰宽度,中=arctan（y/ x）为相位角。则几个低阶横模的光场分布图像为：（这里取得是光场 E的实部）高阶拉盖尔高斯光束光斑模式为井MS°'L；=：；：成：=：”：, > I a I *-3-6-4-202468高阶拉盖尔高斯光束光斑模式为非MA 0!:-cr Einii-ilE qgi?:Jg：7:r : - :-6-3用 -6 工 -202468y.局阶拉盖尔局斯光束光斑模式为游M8842

7、a 0-2-4-68 -8-6-4-2 D 2468x高阶拉盖尔高斯光束光斑模式为存M8S42a 0-2-4-68 -8-6-4-2 D 2468：:：Z：!：I：'B s r ' I ! ' I:.!I!L!ll：!2liiaEIIDUI!:iii£!iii:iniziaci:iiiii « r s9：i!2Lziarainn!10131011.!：1：!0121 . . : JI11UIJ!:： ：； ；：, :;i-jv;r;；3i：;；7S：:-：；.；:L-.uitI：.!：'!llinr:r.:iE"r:二；-：;t【：

8、I：IOI1IEIIII：I；3；： ；I：:-奇顷:HH3.-"Er.:7;i :顼二一 r;5:!:.二;商-顼 一:-“ifiFS;-：7：;:r;z;ni：Il ai .ia a > ,;i l；:：Illi : I口DiaillllEIITIQQIDEIIIlCll:P!.!L!S.：.：. ：!：.： es -tf » LJ'L!. . ：.：2：!L!U!：t! :. .： :. : ：；!；：in；"；'":>；:laaicjj.:;:;r;r;iriEir一二7;:;一工 -m;:;!> :.:a

9、9;tr;' "''：,：J：L：=：二：. mMalr: : :=:-,: :"i： iiiziixi;高阶拉盖尔高斯光束光斑模式为矛M86-6-6-8-64-202468x高阶拉盖尔高斯光束光斑模式为卷M8S42a 0-2-4-68 -8-6-4-2 D 2458x i. .F:nrir;丁.r-jjSjjrj .r ”,!UIUHE! 1；iniT伟；:：;2：!：5：tX .；.：:;三:：!：!：rirn:!LB!2!U8 三 三：IBI&lblSIU!.：!IOI3IQIll：lllL3IDE3ISKmHl：.；.:r:;:;:扑

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11、2468x高阶拉盖尔高斯光束光斑模式为牙M8S42a 0-2-A-68ni2*r!dDlll!lllEJDI3IEJI2l!.J. rarTIB|BIBHIB|iDT；r；2S：:nr;r;.：:.ininiziziinizinnir：!'：'!L2!2!O!Z! S：!OC! l!ZI：!niZ ：I：IL2!:;!ISI：I!1!：!DCIUU：:. :.：:.:, «S -9iriniiiziizazicri;:!:一 二二二: 一 .:注:一 :.二 ;,: .：!S!UL9IUL2I：ICO!L. :L!：S.LSinilBMIgMgBWEI： !BUK:b

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13、iZEZirnian iqiiL!EIS!LE!.!:inajs.i012 ! II!：!：!. !：:.I： "Z；：:L.：.:,三 .:.:：；:：:.；:. L.二.：;成,- ： inniz;:-, , =；- -» ；, r -i t , t, :iiiiziririr:" aaniBQir: . :;:：3sieisi;:.:K ：:ilOTalalEilairZraOrSlalabi mu ge m mu:MB!ai!9：!LZI:!：llini? -ll：l：inE!iail!：!： a! !DE!IQIll：iai：l：!：!.iBiaiiii

14、iiEJDUJHta口nir;inniaiaii：a . ILlIJUu:： ： ： ：:-:r：i：niiumaciTiE-8-6-4-2 D 24 S 8高阶拉盖尔高斯光束光斑模式为芬M-0-8(2)高阶椭圆高斯光束：一般的椭圆高斯光束复振幅可形式为:E(r) = Egexp-虬TQr2其中k为波矢，rT=(x, y) , E0为常数。Q“ =而三维不可分离变量的p阶椭圆高斯光束为：xx qxy.4 -J xy qyy j为复曲率张量，q= i赤M w2ij。Ep(r) =HpJikrTQr 'exp .|p=0,1,2，其中Hp为p阶厄米多项式。p=0时约化为一般的椭圆高斯函数。

15、高阶捅匝尼米号斯光束P1高阶稀囿尼米高斯光束蝗p=0,1,2,3,4,5阶时的平面图像为:高阶椭圆厄米高斯光束p=1高阶椭圆厄米高斯光束p*高阶椭圆厄茶高斯光束p=3高阶椭圆厄米高斯光束p-4K高阶椭圆厄米高斯光束p=5高阶椭圆厄粲高斯光束p=6X总结：从横截面图中的可以看出椭圆型的高斯光束，其光斑不在是圆形而是椭圆形，并且在传输过程中光强分布会发生旋转。只要将圆形的高斯光束复振幅中的r2ik t jr换成r Q r w222 r 即二 wik= WrTQr ,就可以变成椭圆型的这种高斯光束。比如高阶椭圆贝塞尔高斯光束、2高阶椭圆厄米高斯光束、高阶椭圆拉盖尔高斯光束。所以本小节其实是以高阶椭圆

16、厄米高斯 光束为例进行介绍高阶椭圆高斯光束的。1.3超高斯函数在直角坐标系中，超高斯函数的形式:X 1 f(x) =exp| 一 - wN=2时约化为高斯函数。N=2,4,6,8时的函数图像为:具有超高斯形式分布的光束横截面图就可想而知了。1.4平顶高斯函数(1)平顶高斯光束的原始形式:f(x)=r 2 %N 4r 2 x寸1xexp2z 2w )k=0 k!<w J,N =0,1,2.N称为阶数。当 N=2 时 f (x) =exp2 、x2w Jx21112w 2 w J图像为:平员高斯函数原始形式帕2一个具有平顶高斯时间分布的脉冲其时域图形与上图类似，只是横坐标改成时间t。一个具有

17、平顶高斯空间分布（x,y对称分布，阶数相同）的脉冲其空域图像如下：平顶高斯空间分布的豚冲-5平顶局斯空间分布的脉冲64 IB ；：；旨IX：r：；：；ti»SS；SESin»：；HDiSISXt3SlZIE：2；t3B；通过其横截面图可以看出，平顶高斯光束的光斑中心的强度近似比较均匀O(2)平顶高斯函数改进形式:f(x)=exp''-： TTk,N=0,1,2.、 w Jkk!、 w j当 N=2 时 f (x) =exp3x2、1 z3x22、w2图像为平顶高斯函数改进形式N或函数图像与原始型类似，具有该种函数分布的空间或时间脉冲的图像与原始型也类似(3)平顶高斯函数原始型与改进型的区别下图将给出N=0,4,16时原始型与改进型的图像平顶高斯函数原始型与改进型的比较N=0 4 1&从图中可以看出，改进型的平顶高斯函数的束宽随N的变化不大，且 N=0时退化为高斯函