问题驱动在学生几何证明学习的实践研究

1、    问题驱动在学生几何证明学习的实践研究    张碧芬【摘要】  几何是整个初中数学的重要内容，一直被视为初中教学的重点、难点。它不仅涉及到计算，还需要在解题过程中不断强化学生的逻辑思维，从中寻找切入点。但是这一切入点对于初中生而言，学习比较困难。问题是数学的心脏，以问题驱动引导学生学习，应当成为初中数学教学中的一条基本原则。因此，在初中几何教学中，必须正视初中生几何证明存在的问题，通过分析问题，改善教学，提高教学的质量。本文以初中生三角形全等的判定定理的几何证明题为研究视角，对初中生几何证明的学习现状进行了简单的分析，给出自己对几何证明的

2、几点教学建议和教学片断案例，为教师的教学提供一些参考依据。【关键词】  问题驱动 几何证明 实践  g633.6              a       1992-7711（2020）33-077-02一、初中生几何证明的学习问题以三角形全等的判定定理为例本文通过测试八年级学生在学完全等三角形的判定定理后，配合访谈，总结八年级学生在几何证明中存在的学习现状，发现学生在几何证明中的学习问题，参考教材及相关资料编制出测试卷，以本校八年级六个班共265名学生为样本进行测

3、试，根据回收卷的统计结果，对学生存在的问题进行分析。根据回收卷，学生在几何证明的学习中出现的问题如下表所示：分析回收卷与访谈结果，总结出初中生在几何证明学习中存在以下的问题：1. 学生在对几何基础知识的识记和理解不熟练，容易忽略定理的适用范围。2. 对于需要添加辅助线来完成推理证明的题，找不到连接条件与结论的切入点。3. 文字命题和实际问题中，对几何图形的抽象存在一定的困难;无法结合题目与图形，找出已知与求证。4. 几何证明书写时，学生往往出现循环、虚假论证或偷换命题等情况;学生的几何语言比较混乱，主要是表达较为随意，往往出现多余的书写步骤，或漏掉必要的步骤。二、教学建议及教学片断案例1. 重

4、视概念，做好基本功练习在上述回收卷中第1-3题，有20.3%的学生均是对概念的理解不透彻，导致做错。在几何的学习过程中，几何证明中的定理、概念、公式是作为论证推理的依据。对于基础知识和基础概念的教学中，教师应当加强重视。对于基础知识、基础概念的讲解要透彻，教师根据规律和特点，结合已有知识或实际例子帮助学生进行理解，充分发挥教师的主导作用和学生的主体功能。而问题驱动对于新课的导入更能让学生印象深刻。比如，以角的平分线的性质和判定的教学引入为例，可以设计成：问题1：什么是角的平分线？问题2：如图，是一个平分角的仪器，其中ab=ad，bc=dc，将点a放在角的顶点，ab和ad沿着角的两边放正，沿ac

5、画一条射线ae，ae就是角平分线，你能说出它的道理吗？问题3：怎么做一个角的角平分线？问题4：你能说出角平分线所蕴含的数学道理吗？问题5：若过e点作到角两边的垂线，量一量线段的长度，你能发现什么？问题6：能否用数学语言总结你发现的数学规律？通过问题串，学生经历了由回顾旧知，动手将角平分线从理性知识转化为感性知识，最后再转化为理性知识的过程。这样设计不仅吸引学生的注意力，还加深学生对角平分线的概念的理解，强化了学生的作图能力，对于后续角平分线的性质和判定的学习打下了坚实的基础。2. 注重练习辅助线的基础在上述回收卷中，有45.2%的学生基本能做出正确的辅助线，但仍有25%的学生对于辅助线毫无头绪

6、。在初中学习中，证明线段或角的关系，多是利用全等三角形或圆的相关知识进行求解。往往需要添加辅助线构造全等三角形或添加辅助线圆切线进行解决。而利用辅助线主要是帮我们找准题目的切入点，把问题简单化。因此，教师在平时的教学中，应当注重练习辅助线的添加。以下题为例：原题是：如图1，已知abc是等边三角形。d、e分别是ab、bc上的点，且bd=ce，ae、cd交于點f.求bfe的度数。把本题设计成以下三个问题：如图1，已知abc是等边三角形。d、e分别是ab、bc上的点，且bd=ce，ae、cd交于点f.（1）求证：acecbd（2）过a作agcd于g，求证：af=2fg（3）如图2，若bfaf，求cf

7、/af的值。问题1立足于原题，问题2是通过作点agcd，利用直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半可以解决问题，问题3在问题1、2的基础上加深难度，也添加了辅助线。一道题可以修改成3个问题串，通过平时练习题一次又一次的辅助线的训练，帮助学生把辅助线的概念深入脑海。基于已有的数学辅助线基础，学生以后遇到相类似的题型，就能进行模仿解决数学几何证明问题。教学中，教师要强调添设辅助线是为了解决问题，所以不能脱离命题的条件和结论去随意添加。在寻找辅助线时，要立足于对题目的分析，进行大胆的尝试。3.注重逻辑思维能力的培养在上述回收卷中，发现第8小题有超过35.4%的学生出现逻辑错误，或用不成

8、立的条件得出结论，或用循环使用条件和结论，或把结论和条件颠倒使用，或是把命题更改，进行了错误的论证。结合与学生的访谈，发现学生的逻辑能力较为薄弱，对于逻辑性强的数学学科，这是一个短板。因此，教师在平时的教学中应当注重学生逻辑思维能力的培养。比如，在命题的教学中，可以如此设计：问题1：“对顶角相等”研究的对象是谁？它具有什么性质？问题2：什么叫命题？问题3：什么叫条件？什么叫结论？问题4：命题当中的条件实质上是什么？命题当中的结论实质上是什么？問题5：你能用陈述句陈述“对顶角相等”吗？问题6：如何改写“等腰三角形底角相等”？学生在一连串的问题下，不仅能确切的掌握住命题的概念，还掌握了把数学结论改

9、写成一般陈述句的数学技能。在掌握命题的概念后，学生的数学逻辑思维能力得到了训练，能确切的识别出条件与结论的关系，对于后续几何证明的书写，奠定了基础。在教学过程中，教师应教会学生使用分析法。即先从结论出发，思考要证明这个结论需要什么条件，而要使这些条件成立的条件又是什么？从结论反推回条件，直至所需要的条件同已知条件吻合，这有利于培养学生的推理能力。4.明确证明过程的书写要求在本次测试卷中，除1、2题是客观题，其余均为解答题，1、2、3班有超60%的同学能使表述清楚证明过程，4、5、6班近一半的学生能基本表述清楚。几何语言作为几何的专门性语言，包括了图形、符号和文字语言。使用好几何语言对掌握几何证

10、明题有很大影响。因此，在学习几何时，教师必须明确证明过程中的书写要求。在学生开始书写几何证明过程时，教师应要求他们每一步都注写依据，使学生清楚知道每个推理都有充分的因果和理由，而且因果关系合理。教师对于例题的板书更需要严谨，学生对于几何语言的使用是通过模仿老师的板书养成的。当学生养成了一定的说理习惯后，才可以适当减少部分标注。如已知条件，已知概念的定义等。在学生掌握基本的推理形式后，各个推理间要有一定的逻辑顺序与联系。在证明过程中，切忌一开始把所有条件全盘托出，缺乏推理之间的逻辑顺序。学生在书写几何证明过程中，教师要求学生几何字符要对应，要同序。这样不仅可以在学生的潜意识中不断强化对基础知识的理解和记忆;还可以培养学生有根有据讨论问题的习惯;同时，也有利于教师及时发现学生在推理过程中所反馈出来的缺陷。总之，在几何证明的教学中，应根据学生所反馈出来的问题采取相应的教学措施，而问