心理统计学之概率

1、本资料来源概率概率 概率的一般概念概率的一般概念 后验概率先验概率后验概率先验概率 概率的性质概率的性质 概率的加法和乘法概率的加法和乘法 条件概率条件概率 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式什么是概率？什么是概率？ 概率（概率（probability）：某事件发生的可能）：某事件发生的可能性性 可能性的多种定义（计算）方法可能性的多种定义（计算）方法后验概率后验概率(empirical definition of Probability) 以随机事件以随机事件A在大量重复试验中出现的稳在大量重复试验中出现的稳定频率值作为随机事件定频率值作为随机事件A概率的估计值，概率的估计值，这样

2、获得的概率称为后验概率。计算公这样获得的概率称为后验概率。计算公式为：式为：NnAPN lim)(硬币朝向试验硬币朝向试验 其实出名也不难试验者试验者抛掷次数抛掷次数正面朝上次数正面朝上次数 正面朝上比率正面朝上比率德摩根德摩根蒲丰蒲丰皮尔逊皮尔逊皮尔逊皮尔逊20484040120002400010612048601912012.5181.5069.5016.5005先验概率先验概率(classical definition of Probability) 通过古典概率模型加以定义，该模型要求满通过古典概率模型加以定义，该模型要求满足两个条件：足两个条件： （1）试验的所有可能结果是有限的；）

3、试验的所有可能结果是有限的； （2）每一种可能结果出现的可能性（概率）每一种可能结果出现的可能性（概率）相等。相等。 若所有可能结果的总数为若所有可能结果的总数为n，随机事件，随机事件A包括包括m个可能结果，则事件个可能结果，则事件A的概率计算公式为：的概率计算公式为： nmAP)(概率的性质概率的性质 任何随机事件任何随机事件A的概率都是介于的概率都是介于0与与1之间之间的正数；的正数； 不可能事件的概率等于不可能事件的概率等于0； 必然事件的概率等于必然事件的概率等于1。小概率事件小概率事件 P .05 P .01例题例题 某学生从某学生从5个试题中任意抽选一题，如个试题中任意抽选一题，如

4、果抽到每一题的概率为果抽到每一题的概率为1/5，则抽到试，则抽到试题题1或试题或试题2的概率为多少？的概率为多少？概率的加法概率的加法(additional rule) 在一次试验中不可能同时出现的事件称为互在一次试验中不可能同时出现的事件称为互不相容的事件。不相容的事件。 两个互不相容事件和的概率，等于这两个事两个互不相容事件和的概率，等于这两个事件概率之和。用公式表示为：件概率之和。用公式表示为：P(A + B) = P(A) + P(B) 其推广形式是其推广形式是P(A1 + A2 + + An) = P(A1) + P(A2) + + P(An)概率的广义加法定理概率的广义加法定理 设

5、设A、B为任意两个随机事件，则它们的为任意两个随机事件，则它们的和的概率，等于事件和的概率，等于事件A发生的概率加上事发生的概率加上事件件B发生的概率再减去发生的概率再减去A、B同时发生的同时发生的概率，即概率，即P(AB) = P(A) + P(B)P(AB)例题例题 某大学有某大学有50%的学生喜欢看足球比赛，的学生喜欢看足球比赛，40%的喜欢看篮球比赛，的喜欢看篮球比赛，30%两者都喜两者都喜欢。问，从该校任意抽取一名学生，他欢。问，从该校任意抽取一名学生，他爱看足球比赛或篮球比赛的概率是多少？爱看足球比赛或篮球比赛的概率是多少？ 例题例题 某学生从某学生从5个试题中任意抽选一题，个试题

6、中任意抽选一题， 如果如果第一个学生把抽出的试题第一个学生把抽出的试题还回还回后，第二后，第二个学生再抽，则两个学生都抽第一题的个学生再抽，则两个学生都抽第一题的概率为多少？概率为多少？概率的乘法概率的乘法(multiplication rule) A事件出现的概率不影响事件出现的概率不影响B事件出现的概事件出现的概率，这两个事件为独立事件。率，这两个事件为独立事件。 两个独立事件积的概率，等于这两个事两个独立事件积的概率，等于这两个事件概率的乘积。用公式表示为：件概率的乘积。用公式表示为：P(A B) = P(A) P(B) 其推广形式是其推广形式是P(A1 A2 An) = P(A1) P

7、(A2) P(An)条件概率条件概率(conditional probability) 如果如果A、B是一定条件组下的两个随机事是一定条件组下的两个随机事件，且件，且P(B)0，则称在，则称在B发生的前提下发生的前提下A发发生的概率为条件概率生的概率为条件概率)()()|(BPBAPBAP)()()|(APBAPABP例题例题 一所大学的女生占学生总数的一所大学的女生占学生总数的55%，其，其中四年级女生占学生总数的中四年级女生占学生总数的9.25%。现在。现在有一女生，问她是四年级学生的概率是有一女生，问她是四年级学生的概率是多大？多大？ 全概率公式全概率公式(total probabili

8、ty formula)(total probability formula) 如果事件组如果事件组A1，A2，An为一完备事为一完备事件组（即两两互斥，且组成基本空间件组（即两两互斥，且组成基本空间），则对于任一事件），则对于任一事件B都有都有 )|()()(1iniiABPAPBP例题例题 在一个城市中，有两个出租车公司。甲在一个城市中，有两个出租车公司。甲公司车辆占公司车辆占85%，乙公司占，乙公司占15。根据。根据记录知道，两公司司机被投诉的比率分记录知道，两公司司机被投诉的比率分别为别为5%和和4%，现任意抽取一名司机，现任意抽取一名司机，问他被投诉过的概率是多少？问他被投诉过的概率是

9、多少？ 解答解答 P(BA1) = P(A1)P(B|A1) = 0.850.05 = 0.0425 P(BA2) = P(A2)P(B|A2) = 0.150.04 = 0.0060 P(B) = P(BA1) + P(BA2)= 0.0425+0.0060 = 0.0485 贝叶斯公式贝叶斯公式(Bayesian formula)(Bayesian formula) 假设癌症患者占总人口的比例为假设癌症患者占总人口的比例为1%，癌，癌症患者在症患者在X光检查中有光检查中有80%呈阳性，未患呈阳性，未患癌症的人在癌症的人在X光检查中有光检查中有10%呈阳性。现呈阳性。现在有一个人在在有一个人在X光检查中呈阳性，问这个光检查中呈阳性，问这个人患癌症的概率是多大？人患癌症的概率是多大？贝叶斯公式贝叶斯公式贝叶斯公式贝叶斯公式niiiiiiABPAPABPAPBAP1)|()()|()()|(贝叶斯公式贝叶斯公式 在一个城市中，有两个出租车公司。甲在一个城市中，有两个出租车公司。甲公司都是绿色车，占公司都是绿色车，占85%，乙公司都是，乙公司都是蓝色车，占蓝色