直线与圆的位置关系切线的判定

1、积累解题经验积累解题经验总结解题思路总结解题思路形成解题思想形成解题思想催生解题灵感催生解题灵感掌握学习方法掌握学习方法做到举一反三、熟练应用做到举一反三、熟练应用 踏踏实实每一天踏踏实实每一天认认真真每一节认认真真每一节扎扎实实每一题扎扎实实每一题九年级数学(下)第三章 直线和圆的位置关系(2)d d r;r;n 直线和圆相交直线和圆相交n 直线和圆相切直线和圆相切n 直线和圆相离直线和圆相离d d r;r;OO相交相交O相切相切相离相离rrrdddd d r;r;直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系d表示圆心表示圆心O到直线到直线l的距离，的距离， r表示表示 O的半径的半径数量关系数量关

2、系图形位置关系图形位置关系 下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打磨工件飞打磨工件飞 出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出出问题问题 1 当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？的方向是什么方向？ 2 2 砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？方向？问题问题2:2:如图，已知点如图，已知点A A是是OO上一点，上一点，过过A A作作OAOA的垂线的垂线L L，这样的直线有几，这样的直线有几条？条？ 直线直线L L与与OO的位置关系怎样？的位置关系怎样？

3、为什么？为什么？L LA AO Od dr rd = r相切相切直线何时变为直线何时变为切线切线BOACDdddO OlA AlA AO OlA AO OlA AO O判断下图直线判断下图直线l是否是是否是OO的切线？的切线？并说明为什么。并说明为什么。证明一条直线为圆的切线时，必须两个条证明一条直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可：件缺一不可：过半径外端过半径外端 垂直于这条半径。垂直于这条半径。直线与圆相切的直线与圆相切的判定定理判定定理: :经过半径的经过半径的外端外端并且并且垂直垂直这条这条半径的直线是圆的切线半径的直线是圆的切线OAllOA 且且OA为圆为圆O的半径的半径 l是是

4、O的切线的切线几何语言表示:问问：如何过圆上一个已知点作圆的切线呢？：如何过圆上一个已知点作圆的切线呢？点点A在圆上在圆上A B如图，如图，AB是是 O的直径，请分别过的直径，请分别过A,B作作 O的切线的切线（课本（课本51页做一做）页做一做）注意注意：（：（1）标明垂直符号）标明垂直符号（2）切线是直线）切线是直线（3）写结论）写结论CD请作与请作与AB垂直的垂直的 O的切线的切线O你发现过直径的两端的切线有何位置关系？你发现过直径的两端的切线有何位置关系？平行平行1.1.如图如图,Q,Q在在OO上上, ,分别根据下列条件分别根据下列条件, ,判定直线判定直线PQPQ与与OO是否是否相切相

5、切: :(1)OQ=6,OP=10,PQ=8(1)OQ=6,OP=10,PQ=8(2)O=67.3(2)O=67.3,P=22,P=224242Q QO OP PO OP PS ST TQ Q2.2.如图如图,OP,OP是是OO的半径的半径,POT=60,POT=60, ,OTOT交交OO于于S S点点. .(1)(1)过点过点P P作作OO的切线的切线. .(2)(2)过点过点P P的切线交的切线交OTOT于于Q,Q,判断判断S S是不是不是是OQOQ的中点的中点, ,并说明理由并说明理由. .思路思路: 即证即证PQO是否是直角是否是直角例例1 1. .已知已知: :如图如图,A,A是是O

6、O外一点外一点,AO,AO的延长线交的延长线交OO于于点点C,C,点点B B在圆上在圆上, ,且且AB=BC,A=30AB=BC,A=30. .求证求证: :直线直线ABAB是是OO的切线的切线ABCO证明：连结证明：连结OBOB=OC，AB=BC，A=30OBC=C=A=30AOB=C+ OBC =60ABO=180-（AOB+A） =180-（60+30） =90ABOBAB为为 O的切线的切线一般情况下，要证明一条直线为圆的切线，在一般情况下，要证明一条直线为圆的切线，在已知切点已知切点时时 ，常添辅助线是连结圆心与切点，常添辅助线是连结圆心与切点( (即添半径即添半径) )，证明直线垂

7、直于这条半径。，证明直线垂直于这条半径。(经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线)经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线切线的判定定理切线的判定定理: :这个定理不仅可以用来这个定理不仅可以用来判定圆的切线判定圆的切线, ,还可以依据它来还可以依据它来画切线画切线. .在判定切线的时候在判定切线的时候, ,如果如果已知切点已知切点, ,则则连半径连半径是常添的辅助线，然是常添的辅助线，然后后证垂直证垂直。如图已知直线如图已知直线AB过过 O上的点上的点C，并且，并且OAOB，CACB 求

8、证：直线是求证：直线是 O的切线的切线BAC证明：证明：连接连接OC OA=OB，CA=CB ABOC（等腰三角形三线合一）（等腰三角形三线合一） AB是是 O的切线的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线）线是圆的切线）例例2、如图：点、如图：点O为为ABC平分线上一点，平分线上一点， ODAB于于D，以，以O为圆心，为圆心，OD为半径作圆。为半径作圆。 求证：求证：BC是是 O 的切线。的切线。CABDE证明：证明：作作OEBC于于E点点O为为ABC平分线上一点平分线上一点ODAB于于D， OEBCOEBC于于E E OEOD又又 OD为为

9、 O半径半径 BC与与 O相切相切证明直线与圆相切，但证明直线与圆相切，但无切点无切点时，时，往往过圆心作切线的垂线，再证往往过圆心作切线的垂线，再证明明d=rd=r即可即可切线的判定方法有：切线的判定方法有：、切线的判定定理。、切线的判定定理。、直线到圆心的距离等于圆的半径。、直线到圆心的距离等于圆的半径。、直线与圆有唯一个公共点。、直线与圆有唯一个公共点。切线的判定定理：经过半径的外端切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆并且垂直这条半径的直线是圆的切线。的切线。证明直线与圆相切，但证明直线与圆相切，但无切点无切点时，往往时，往往过圆心作切线的垂线，再证明过圆心作切线的垂

10、线，再证明d=rd=r即可即可一般情况下，要证明一条直线为圆的切线，一般情况下，要证明一条直线为圆的切线，已知切点已知切点时时 ，常添辅助线是连结圆心与切点，常添辅助线是连结圆心与切点( (即添半径即添半径) )，证明直线垂直于这条半径。，证明直线垂直于这条半径。作作OEBC于于E条件：无切点辅助线：辅助线：是是过圆心过圆心作这条直作这条直线的线的垂线段垂线段再证明这条再证明这条垂线段的长等于半径垂线段的长等于半径。连结连结OC条件条件:已知切点已知切点辅助线辅助线：是：是连结连结圆心和这圆心和这个公共点。个公共点。再证明直线与这条半径再证明直线与这条半径垂直垂直。1、如图已知直线、如图已知直

11、线AB过过 O上的点上的点C，并且，并且OAOB，CACB求证：直线是求证：直线是 O的切线的切线BAC2、如图：点、如图：点O为为ABC平分线平分线上一点，上一点，ODAB于于D，以，以O为为圆心，圆心，OD为半径作圆。为半径作圆。 求证：求证：BC与作与作 O相切相切。CABDE例例2 如图，台风中心如图，台风中心P（100，200）沿北偏东）沿北偏东30O方向移动，受台风影响区域的半径为方向移动，受台风影响区域的半径为200km，那，那么下列城市么下列城市A（200，380），），B（600，480），），C（550，300），），D（370，540）中，哪些城市要）中，哪些城市要做抗台

12、风准备？做抗台风准备？台风中心台风中心P P（100100，200200）沿北偏东）沿北偏东3030O O方向移动，影响方向移动，影响区域的半径为区域的半径为200km200km，那么下列，那么下列城市城市A A（200200，380380），），B B（600600，480480），），C C（550550，300300），），D D（370370，540540）中，）中，哪些城市要做抗哪些城市要做抗台风准备？台风准备？PABCD在在O内任意取一点内任意取一点A，你能作出切线吗？你能作出切线吗？ OA在在 O上和上和 O外任意取一点外任意取一点A、P，你能作出切线吗？你能作出切线吗？ OA

13、OPAB请任意画一个圆请任意画一个圆, ,并在这个圆所在的平面内任意取一点并在这个圆所在的平面内任意取一点P.P.(1)(1)过点过点P P是否都能作这个圆的切线是否都能作这个圆的切线? ?(2)(2)点点P P在什么位置时在什么位置时, ,能作并且只能作一条切线能作并且只能作一条切线? ?(3)(3)点点P P在什么位置时在什么位置时, ,能作两条切线能作两条切线? ?这两条切线有什么特性这两条切线有什么特性? ?(4)(4)能作多于能作多于2 2条的切线吗条的切线吗? ?点在圆内不能作切线点在圆内不能作切线点在圆上点在圆上点在圆外点在圆外切线长相等切线长相等不能不能. P1）已知：）已知：

14、AB是是 O的直径，的直径，BC切切 O于点于点B，连，连结结OC，过，过A作作ADOC，交，交 O于点于点D，连结，连结DC。求证：求证：CD是是 O的切线。的切线。AODCB2）如图，在）如图，在RtABC中，中，ACB=Rt，CDAB于于点点D。（1）求证：）求证：BC是是ADC的外接圆的切线；的外接圆的切线；（2） BDC的外接圆的切线是哪一条？为什么？的外接圆的切线是哪一条？为什么？（3）若）若AC=5，BC=12，以，以C为圆心作圆为圆心作圆C，使圆，使圆C与与 AB相切，则圆相切，则圆C的半径是多少？的半径是多少？ADCB此后的都来不及讲，课后再补 判断下列命题是否正确判断下列命

15、题是否正确 (1)经过半径外端的直线是圆的切线经过半径外端的直线是圆的切线( ) (2)垂直于半径的直线是圆的切线垂直于半径的直线是圆的切线( ) (3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线线( ) (4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线和圆有一个公共点的直线是圆的切线( ) (5)以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的 圆与底边相切圆与底边相切( )如图，如图，ABAB是是OO的直径，弦的直径，弦ADAD平分平分BACBAC，过过A A作作ACDCACDC，求证：求证：DCDC是是OO的切线。的切线。BDCAO巩固练习巩固练习1、如图、如图,已知已知AB是是 O的直径的直径, O过过BC的中点的中点D,且且DEAC.(1)求证求证:DE是是 O的切线的切线.(2)若若C=30,CD=10cm,求求 的半径的半径O如图如图,已知已知AB是是 O的直径的直径, O过过BC的中点的中点D,且且DEAC.(1)求证求证:DE是是 O的切线的切线.(2)若若C=30,CD=10cm,求求 的半径的半径