球体的表面积与体 积

1、 割割 圆圆 术术 早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术倍边法割圆术”。他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓谓“割之弥细，所失弥小割之弥细，所失弥小”。这样重复下去，。这样重复下去，就达到了就达到了“割之又割，以至于不可再割，则割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣与圆合体而无所失矣”。这是世界上最早的。这是世界上最早的“极限极限”思想。思想。球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成

2、的曲面。球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。球球( (即球体即球体):):球面所围成的几何体。球面所围成的几何体。它包括它包括球面球面和和球面所包围的空间球面所包围的空间。半径是半径是R R的球的体积：的球的体积：推导方法推导方法：334RV 分割分割求近似和求近似和化为准确和化为准确和复习回顾复习回顾球的概念球的概念球心球心球的半径球的半径球的直径球的直径二、球的概念二、球的概念v点集角度点集角度v旋转体角度旋转体角度球面所围成的球面所围成的几何体几何体叫叫球体球体简称简称球球。球面球面:半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面曲面。球体与球面的区别？球

3、体与球面的区别？在在空间内空间内到一个定点的距离为定长的点的集合到一个定点的距离为定长的点的集合0半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面曲面。球体与球面的区别？球体与球面的区别？球面概念球面概念：球面所围成的球面所围成的几何体几何体叫叫球体球体简称简称球球。0ACD球心球心半半径径直径直径半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面曲面（旋转体角度）（旋转体角度）球面概念球面概念：在在空间内空间内到一个定点的距离为定长的点的到一个定点的距离为定长的点的集合集合（点集的角度）（点集的角度）二、球的概念二、球的概念球的截面的形状圆面圆面球面被经

4、过球心的平面截得的圆叫做球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆大圆不过球心的截面截得的圆叫做球的不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆小圆球的体积公式的推导球的体积公式的推导球的体积公式及应用球的体积公式及应用球的表面积公式及应用球的表面积公式及应用球的表面积公式的推导球的表面积公式的推导l教学重点l教学难点化为准确和思想方法化为准确和思想方法求近似和求近似和分割分割重点难点重点难点球面被经过球心的平面截得的圆叫做球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆大圆不过球心的截面截得的圆叫做球的不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆小圆R.34,32:33RVRV 从从而而猜猜测测半半球球? 半球半球V331RV

5、圆锥圆锥333RV 圆柱圆柱高等于底面半径的旋转体体积对比高等于底面半径的旋转体体积对比球的体积球的体积 学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来所以学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来所以我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法球的体积球的体积 我们把一个半径为我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新的圆分成若干等分，然后如上图重新拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是.的的矩矩形形和和RR .2R 于于那那么么圆圆的的面面积积就就近近似似等等当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当当所分份数不断增加

6、时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时，就得到了圆的面积公式份数无穷大时，就得到了圆的面积公式法法导导出出球球的的体体积积公公式式下下面面我我们们就就运运用用上上述述方方即先把半球分割成即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积，部分，再求出每一部分的近似体积，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变变为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积球的体积球的体积分割分割求近似和求近似和化为准确和化为准确和,21RRr ,)(222nRRr ,)2(223nRRr AOB2C2球的体积球

7、的体积AOOR)1( inR半半径径：层层“小小圆圆片片”下下底底面面的的第第i.,2,1,)1(22niinRRri irOA球的体积球的体积nininRnRrVii,2,1,)1(1232 niinRRri,2,1,)1(22 nVVVV 21半球半球)1(2122223nnnnR 6) 12() 1(123 nnnnnnR 6)12)(1(1123 nnnR 球的体积球的体积6)12)(11(13nnRV 半半球球.01, nn时时当当.343233RVRV 从从而而半半球球334RVR 的的球球的的体体积积为为：定定理理：半半径径是是球的体积球的体积2)2)若每小块表面看作一个平面若每

8、小块表面看作一个平面, ,将每小块平面作为底面将每小块平面作为底面, ,球心作为球心作为顶点便得到顶点便得到n n个棱锥个棱锥, ,这些棱锥体积之和近似为球的体积这些棱锥体积之和近似为球的体积. .当当n n越大越大, ,越接近于球的体积越接近于球的体积, ,当当n n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积趋近于无穷大时就精确到等于球的体积. .1) 1)球的表面是曲面球的表面是曲面, ,不是平面不是平面, ,但如果将表面平均分割成但如果将表面平均分割成n n个小块个小块, ,每小块表面可近似看作一个平面每小块表面可近似看作一个平面, ,这这n n小块平面面积之和可近似小块平面面积之和可近似看作球

9、的表面积看作球的表面积. .当当n n趋近于无穷大时趋近于无穷大时, ,这这n n小块平面面积之和接小块平面面积之和接近于甚至等于球的表面积近于甚至等于球的表面积. . 球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢求出，如何求球的表面积公式呢? ?回忆球的体积公式的推导方法回忆球的体积公式的推导方法, ,是否也可借助于这种是否也可借助于这种极限极限思想方法来推导球的表面积公式呢思想方法来推导球的表面积公式呢? ? 下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式球

10、的表面积球的表面积oiS o球的表面积球的表面积第第一一步：步：分分割割球面被分割成球面被分割成n n个网格，表面积分别为：个网格，表面积分别为：nSSSS ,321，则球的表面积：则球的表面积：nSSSSS 321则球的体积为：则球的体积为：iV 设“小锥体”的体积为设“小锥体”的体积为iVnVVVVV 321iSO OO O球的表面积球的表面积第第二二步：步：求求近近似似和和ih由第一步得：由第一步得：nVVVVV 321nnhShShShSV 31313131332211 iiihSV 31 O OiSiVO O球的表面积球的表面积第第三三步：步：化化为为准准确确和和RSVii31 如果

11、网格分的越细如果网格分的越细, ,则则: “: “小小锥体锥体”就越接近小棱锥就越接近小棱锥RSRSRSRSVni 3131313132 RSSSSSRni31).(3132 334RV 又又球球的的体体积积为为：RiS iVihiSO OiV234,3134RSRSR 从从而而球的表面积球的表面积Rhi的的值值就就趋趋向向于于球球的的半半径径 例例1.1.钢球直径是钢球直径是5cm,5cm,求它的体积求它的体积. .3336125)25(3434cmRV (变式变式1 1)一种空心钢球的质量是一种空心钢球的质量是142g,142g,外径是外径是5cm,5cm,求它求它的内径的内径.( .(钢

12、的密度是钢的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2) )例题讲解例题讲解(变式变式1 1)一种空心钢球的质量是一种空心钢球的质量是142g,142g,外径是外径是5cm,5cm,求它求它的内径的内径.( .(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2) )解解:设空心钢球的内径为设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是则钢球的质量是答答:空心钢球的内径约为空心钢球的内径约为4.5cm.14234)25(349.733 x 3.1149.73142)25(33 x由计算器算得由计算器算得:24. 2 x5 . 42 x例题讲解例题讲解理论迁移理论迁移 例例3 3 如图，圆柱的底面

13、直径与高都等如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：于球的直径，求证： （1 1）球的体积等于圆柱体积的）球的体积等于圆柱体积的 ；（2 2）球的表面积等于圆柱的侧面积）球的表面积等于圆柱的侧面积. .23例例2.2.如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a,a,它的各它的各个顶点都在球个顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积。的表面积。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方体内接于球，则由球和正方分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可

14、知，它们中心重体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。合，则正方体对角线与球的直径相等。22222113423,)2()2(:aRSaRaaRDDBRt 得得中中略略解解：A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O例题讲解例题讲解.34R .96491644S2 R,)332()2R(R222 OABCO ,222AOOOOAAOORt 中中解解：在在 ;81256)34(343433 RV例例4.已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距离的距离等于球半径的一半，且等于球半径的一半，且AB=BC=C

15、A=cm，求球的体积，求球的体积，表面积表面积例题讲解例题讲解OABCO 例例4已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距离的距离等于球半径的一半，且等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体，求球的体积，表面积积，表面积解：如图，设球解：如图，设球O半径为半径为R，截面截面 O的半径为的半径为r，r332AB2332AO 是正三角形，是正三角形，ABCROO ,2 例题讲解例题讲解2.一个正方体的顶点都在球面上一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是它的棱长是4cm,这个球的体积为这个球的体积为cm3. 8 3323.有三个球有三个球,一球切于正方体的各

16、面一球切于正方体的各面,一球切于一球切于正方体的各侧棱正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点一球过正方体的各顶点,求这求这三个球的体积之比三个球的体积之比_.1.球的直径伸长为原来的球的直径伸长为原来的2倍倍,体积变为原来的倍体积变为原来的倍.练习一练习一课堂练习课堂练习33:22:1正方体的内切球正方体的内切球直径直径正方体的外接球正方体的外接球直径直径与正方体所有棱相切的球与正方体所有棱相切的球直径直径探究探究 若正方体的棱长为若正方体的棱长为a，则，则aa3a24.4.若两球体积之比是若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是_. .练习二练习二2422:134:11

17、.若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2倍倍,则半径变为原来的则半径变为原来的_倍倍.2.若球半径变为原来的若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的_倍倍.3.若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是，则其体积之比是_.课堂练习课堂练习7.7.将半径为将半径为1 1和和2 2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么的两个铅球，熔成一个大铅球，那么 这个大铅球的表面积是这个大铅球的表面积是_.5.5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ， 则它的外接球的表面积为则它的外接球的表面积为_. .15,5,36.6.若两球表面积之差为若两球表面积之差为4848 , ,它们大圆周长之和为它们大圆周长之和为1212 , , 则两球的直径之差为则两球的直径之差为_. .练习