[工学]第5章_常微分方程ppt课件

1、第一节第一节 微分方程的概念微分方程的概念第二节第二节 常见的一阶微分方程常见的一阶微分方程第三节第三节 高阶微分方程高阶微分方程第四节第四节 欧拉方程欧拉方程第五节第五节 微分方程的运用微分方程的运用第六节第六节 差分方程简介差分方程简介微分方程简介 方程：线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等。用微积分描画运动，便得到微分方程。例如描画物质在一定条件下的运动变化规律；某个物体在重力作用下自在下落时间隔随时间变化的规律；火箭在发动机推进下在空间飞行的轨道等。微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创建对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在

2、建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研讨和丰富了微分方程的实际。微分方程简介常微分方程的构成与开展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的开展亲密相关的。数学的其他分支的新开展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的开展产生了深化的影响，当前计算机的开展更是为常微分方程的运用及实际研讨提供了非常有力的工具。牛顿研讨天膂力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从实际上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯运用微分方程各自计算出那时髦未发现的海王星的位置。微分

3、方程简介利用微分方程可以准确地表述事物变化所遵照的根本规律，有了解方程的方法。它也就成了最有生命力的数学分支。常微分方程的特点：求通解 与特解 常微分方程的运用：自动控制、各种电子学安装的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研讨、化学反响过程稳定性的研 究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研讨解的性质的问题。应该说，运用常微分方程实际曾经获得了很大的成就。第一节第一节 微分方程的概念微分方程的概念一一.实例实例例1. 曲线过(0,1),且曲线上每个点处的切线斜率等于该点的横坐 标,求此曲线方程.设曲线方程为 y = y(x),那么1|,0 xyxycxxdxy221c122

4、xy例2. 质量为m的物体垂直上抛, t =0 时,初始位移和初速度分别为,00vS求物体的运动规律.设运动方程为S=S(t), 那么,m)(mgtS 0000|,|vSSStt两次积分分别得出:,)(1cgttS ,21)(212ctcgttS 条件代入:,0201Scvc,21)(002StvgttS 二二. 概念概念1. 微分方程:含有未知函数的导数或微分的方程.未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程.(前例)未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程.本章内容2. 阶:未知函数的最高阶导数的阶数.例1是一阶微分方程,例2是二阶微分方程.n阶方程普通方式:0),()( nyyyyxF

5、必需出现3. 解:假设将函数 y=y(x) 代入方程后恒等,那么称其为方程的解.假设解中含有恣意常数,且个数与阶数一样通解不含恣意常数的解特解必需独立n阶方程通解普通方式:),(21ncccxyy 4. 定解条件或初值条件:确定通解中恣意常数值的条件.定解条件的个数要和阶数一样,才干确定独一特解！.5. 几何意义:通解积分曲线族特解积分曲线例:验证 是 的通解cyx22yxy对 用隐函数求导法得:cyx22yxy故 是方程的解,cyx22且含有一个恣意常数.通解第二节第二节 几种常见的一阶微分方程几种常见的一阶微分方程本节引见一阶微分方程的根本类型和常见类型.一阶微分方程的普通方式我们研讨的方

6、式0),( yyxF),(yxfdxdy一、可分别变量的微分方程一、可分别变量的微分方程dyygdxxf)()(1)解法: 1.分别变量:dyygdxxf)()(2.两边积分:dyygdxxf)()(3.得出通解:CxFyG)()(只写一个恣意常数例:xydxdy2).1 (xdxdyy21xdxdyy21,|ln12Cxy2112xCCxeeey恣意常数,记为C2xCey 绝对值号可省略1|,).2(022xyyxyxyxydxxxdyyy2211dxxxdyyy2211122)1ln()1ln(Cxy)(),1 (1222CeCxCy定解条件代入:C=2故特解为:).1 (2122xy二二

7、.齐次方程齐次方程假设方程(1)可化成:)(xydxdy齐次方程解法:令 化成可分别变量方程.xyu xuy dxduxudxdy)(udxduxudxxuudu1)(例:22xxyydxdy1)(2xyxydxdy12uudxduxudxxduu1)11 (xCuulnln1xyu xyu xyCey *可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程 001111cccybxacbyaxdxdy或，方程解法：假设解法：假设011baba 那么先令那么先令, 0, 0111cybxacbyax 求出解求出解,00yx 再作变量代换再作变量代换,00yYyxXx 于是原方程化为齐次方程于是原方程化为齐

8、次方程.假设假设，011baba作变量代换，作变量代换，byaxv原方程化为可分别变量的方程原方程化为可分别变量的方程. 例例 解方程解方程(2x-5y+3)dx-(2x+4y-6)dy=0.045-2211baba解：, 06-42, 035-2yxyx令, 1, 1YyXx令解得解得x0=1, y0=1XYXYYXYXdxdy42524252则dXduXudXdYXYu有令,dXXduuuuuudXduXu127424,42522即方程变为22| ) 14()2( |ln31)141342132(27424cuuduuuduuuu.) 14()2( 32cXuu故CxyyxxyXYu)34

9、()32( ,112代入得将三三.一阶线性方程一阶线性方程普通方式:)()(xQyxPdxdy(2):0)(xQ0)(yxPdxdy(3)一阶线性齐次方程一阶线性非齐次方程:0)(xQ自在项方程(3)是可分别变量方程,其通解为:dxxPCey)(方程(2)的通解常数变易法设(2)的通解:dxxPexCy)()(代入方程(2):dxxPdxxPexPxCexCy)()()()()(dxxPexQxC)()()(CdxexQxCdxxP)()()(那么方程(2)的通解:)()()(CdxexQeydxxPdxxP(4)注:1. 一阶线性非齐次方程的通解可用常数变易法或公式(4) 计算皆可;.2.

10、公式(4)中不定积分只求一个原函数即可;3.dxexQeCeydxxPdxxPdxxP)()()()(非齐次方程的特解齐次方程的通解非齐次方程解的构造例:xexydxdyxcos22cos222Cdxexeeyxdxxxdxcos2Cxdxex)(sin2Cxex例: 求方程 满足初始条件 的特解.ydxdyyx)(21|3xy将 y 视为自变量,可以变成关于 x 的线性方程:yxydydx1yyQyyP)(,1)(11Cdyyeexdyydyy)(Cyy由 得:1|3xy2C故所求特解为:)2( yyx四四.伯努利方程伯努利方程普通方式:) 1 , 0( ,)()(nyxQyxPdxdyn当

11、 n= 0 或1时,这是线性方程.当 时,可以化成线性方程:1 , 0n两端同除以,ny),()(1xQyxPdxdyynn),()()(1111xQyxPdxydnnn令,1 nyz那么).()1 ()()1 (xQnzxPndxdz关于 z 的线性方程求出通解后再复原回 y例:2yyxy211yxyxy两端同除以,2yxyxyy1112令,1 yz,11xzxz111Cdxexezdxxdxx)(1Cxx代入,1 yz通解为.cxxy五五.全微分方程全微分方程0),(),(dyyxQdxyxP对于微分方程),(yxdUCyxU),(那么通解为全微分方程注: (1).当P(x,y),Q(x,

12、y)在单连域D内具有一阶延续偏导数,且xQyP时,上述方程为全微分方程.(2).DyxCdyyxQdxyxPyxUyyxx),( ,),(),(),(00000(3). 对于非全微分方程,有时可以找到函数 , 使得),(yx0),(),(),(),(dyyxQyxdxyxPyx全微分方程积分因子(4). 察看法往往很适用.例:0)(2)(2dyyxydxxyxQyyP2由于全微分方程取, 0, 000yxCdyyxydxxyxUyx00)(2)(),(Cyxyx3223221解法一:解法二:02)2(22dyyxdxxydydxy0)32()2()(322ydxdxyd0)322(322yxx

13、ydCyxyx3223221例:0 xdyydx非全微分方程由于2)(yxdyydxyxd那么 是积分因子,21yCyx同乘以积分因子并积分得通解:xyx1,12易知 也是积分因子例:0)1 ()1 (xdyxyydxxy非全微分方程变形0)()(xdyydxxyydxxdy0)()(22ydyxdxyxxyd那么 是积分因子,221yx0)(22ydyxdxyxxyd.|ln1Cyxxy留意留意:其他类型的微分方程往往可以化成上述类型其他类型的微分方程往往可以化成上述类型例:yyxy2sincos1视 x 为 y 函数,可化成线性方程yxydydx2sincos通解为:2sincoscosC

14、dyeyexydyydy)sin1 (2sinycey思索)(, 1) 1 (,)() 1()(), 1 )(. 111xyydtttyxdttyxxyxx求内有连续导数且满足在设.e)(, e,e, 0)() 13()( ),(d)(d)(),() 1(d)()(d)(31131221111xxyCxCyxyxxyxxyxtttyttyxxyxtttyxxyttyxxxxxxx故把初始条件代入得：分离变量并求解得：再求导并整理得：整理得：求导得：等式两端同时关于)(,)21()(), 0)(. 222224224tfdxdyyxfetftftyxt求上连续且满足在设.e ) 14()(. 1

15、, 1)0() 1 (.4edtete8e)(,e8)(8)( ) 1 (d)21(2ed)21(de)(2222224224d8t4d8420420204tttttttttttttfCfCtCtftttftftrrrfrrrftf故代入上式得：式知：由得：解此一阶线性微分方程求导并整理得：等式两端同时关于，.)arctan(,) 1arctan(,dd111dd)(1dd22222CyxyCxuuxuuuuxuyxuyxxy：故该微分方程的通解为等式两端同时积分得：分离变量得：，得：令，把原式整理得：xyyxxy21dd. 322第三节第三节 高阶微分方程高阶微分方程一、可降阶的微分方程-变

16、量代换法两边积分:延续积分n次得出含有n个恣意常数的通解.1. 型方程型方程)()(xfyn)()(xfyn1)1()(Cdxxfyn再积分:21)2()(CdxCdxxfyn例:xxy sin)3(逐次积分得:122cosCxxy ,6sin213CxCxxy32214224cosCxCxCxxy),(pxfp 2. 型方程型方程),(yxfy 令 ,那么py pdxdpy 方程变为:解出这个一阶方程的通解:),(1Cxp那么原方程的通解为:21),(CdxCxy例:yyyx ln令 ,那么py dxdpy ppdxdpxln方程变为:dxxppdp1ln解得:xCep1xCey12111C

17、eCyxC例:3|, 1|,2)1 (002 xxyyyxyx令 ,那么py dxdpy xpdxdpx2)1 (2dxxxpdp212)1 (21xCpy, 3|0 xy由于31C)1 (32xy那么233Cxxy, 1|0 xy由于12C所求特解为:133xxy),(pyfdydpp3. 型方程型方程),(yyfy 令 ,py 方程变为:解出这个以 y 为自变量的一阶方程的通解:),(1Cyyp那么原方程的通解为:21),(CxCydy例:02 yyy,dydppdxdydydpdxdpy 那么令 ,py ,dydppy 那么02 pdydpyp方程变为:即:0 pdydpy或者0p0 p

18、dydpy的通解为:yCp1yCy1其通解为:xCeCy120p即0 y其通解为:Cy xCeCy12例:12 yy令 ,py ,dxdpy 那么12 pdxdp方程变为:即:dxpdp12此题看作类型二和类型三皆可,经过尝试用前者简单)tan(1cxp)tan(1cxy21| )cos(|lnccxy练习的特解满足求2)0(, 1)0()(2. 12 yyyyyy.4tan,4)tan(arctan,d1d1dd. 121, 11,d2d11).0() 1(2dd),(2dddd 21)0(2222121212xyCCxyCxyxyyyxyCyyyCyyCpyyppppypyppypypyp

19、pypyy故微分方程的特解为：积分得：分离变量得：，则方程化为：代入上式得：时，把初始条件，即：两端积分并化简得：分离变量得：，否则与已知条件矛盾即：，原方程可化为：，则令的通解求1)(2. 22 yyyx.132, 11,d1d12, 1dd2dd 223111122CxCCyxCyxCpxxppppxpxpxpypy：积分得微分方程通解为，即：简得：等式两端同时积分并化分离变量得：原方程可化为：，则令二、二、 高阶线性微分方程解的构造高阶线性微分方程解的构造普通方式:) 1 (),()()()()2(2)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 当 时,0)(xf当 时,0)(xfn阶线

20、性非奇次方程0)()()()2(2)1(1)( yxPyxPyxPynnnnn阶线性奇次方程下面以二阶方程为例,讨论高阶线性微分方程解的构造.1. 二阶线性奇次方程解的构造二阶线性奇次方程解的构造普通方式:)2(, 0)()( yxQyxPy显然, y = 0 是(2)的解.平凡解讨论非平凡解:定理. 假设 是(2)的两个解,那么 也是(2)的解,其中 为恣意常数.)(),(21xyxy)()(2211xyCxyCy21,CC证明:)(),(21xyxy由于 是(2)的两个解,所以0)()(111 yxQyxPy0)()(222 yxQyxPy)()(2211xyCxyCy将 代入(2)的左端

21、:)()(221122112211yCyCxQyCyCxPyCyC 21111)()(CyxQyxPyC )()(222yxQyxPy 000那么 也是(2)的解.)()(2211xyCxyCy11212211)2(CyyCCyCyCy留意: 不一定是通解.2211yCyCy例如:1y是(2)的解, 那么 也是(2)的解.12y此时不是通解函数的线性相关和线性无关设 为定义在 I 上的 n 个函数,nyyy,21 02211 nnykykyknkkk,21 假设存在n个不全为零的常数 ,使得线性相关否那么,线性无关例如:线性相关在恣意区间I上:xx22sin,cos, 1取, 1, 1321k

22、kk0sincos122xx2, 1xx线性无关要使 ,必需02321xkxkk. 0321kkk对于两个函数:假设它们之比为常数,那么线性相关;否那么,线性无关定理5.3.1 假设 是(2)的两个线性无关的特解,那么 )(),(21xyxy2211yCyCy21,CC是(2)的通解, 为恣意常数.例如:0 yyxyxysin,cos21是它的特解,xCxCysincos21线性无关通解2. 二阶线性非奇次方程解的构造二阶线性非奇次方程解的构造普通方式:)3(),()()(xfyxQyxPy 定理5.3.2 假设 是(3)的一个特解, 是(3)对应的奇 次方程(2)的通解,那么 y2211yC

23、yCYyYy是(3)的通解.yYy那么 是(2)的通解.而 是(3)的一个特解y证明: 由于Y是(2)的的通解,所以0)()( YxQYxPY)()()(xfyxQyxPy)()( yYxQyYxPyY)()(0 xfxf将 代入(3)的左端:yYy )()(YxQYxPY)()(yxQyxPy留意: Y 中含有两个恣意 常数,因此 y 是通解.注:当(3)式的自在项为几项之和时,特解如何求出?证明:定理5.3.3 假设 分别是 )(),(21xyxy的特解,那么 是方程)()()(2xfyxQyxPy )()()(1xfyxQyxPy )4()()()()(21xfxfyxQyxPy 的特解

24、.)()(21xyxy将 代入(4)的左端:)()(21xyxy)()(212121yyxQyyxPyy )()(111yxQyxPy)()(222yxQyxPy )()(21xfxf)()(21xyxy那么 是(4)的解.3212211321221132122113221121321)1 ()()1 ()()()()(,)()()( )(),(),(.yCCyCyCDyCCyCyCCyCCyCyCByyCyCACCxfyxQyxPyxyxyxy次方程的通解是是任意常数，则该非齐的解，程都是二阶非齐次线性方设线性无关函数例3. 二阶常系数线性奇次方程二阶常系数线性奇次方程普通方式:) 1 (,

25、 0 qyypyp,q为常数分析由方程特点假设rxey rxey 将 代入(1)得:, 0)(2rxeqprr)2(, 02qprr当 满足(2)时, 是(1)的一个特解.rrxe特征方程特征根根据特征根的三种不同情形,方程(1)的通解有三种情形.0 u0)()2(1211 uqprrupru21rr 1.特征根为相异实根 :xrxreyey2121,是(1)的两个线性无关的特解,xrxreCeCy2121那么(1)的通解为21rr 2.特征根为二重根 :xrey11是(1)的一个特解, 求另一个线性无关的特解.xrexuy1)(2设 代入方程(1):取, xu xrxey12得到另一个线性无

26、关的特解xrxrxrexCCxeCeCy111)(2121那么(1)的通解为线性无关特解)0(,21irir3.特征根为共轭复根:xixieyey)(2)(1,是(1)的两个特解,)sin(cos)(1xixeeyxxi)sin(cos)(2xixeeyxxixeyyyxcos)(21211xeyyiyxsin)(21212)sincos(21xCxCeyx那么(1)的通解为例:023 yyy, 0232 rr, 2, 121rr那么通解为xxeCeCy221xixeixsincos欧拉公式：例:2|, 4|, 0200 xxyyyyy, 0122 rr, 121 rr那么通解为xexCCy)

27、(2144|10CyxxexCCCy)(21222|20Cyx那么特解为xexy)24(例:032 yyy, 0322 rr,212, 1ir那么通解为)2sin2cos(21xCxCeyx)3(, 0)2(2)1(1)( ypypypynnnn02211 nnnnprprpr注:上述解法可推行到 n 阶常系数线性奇次方程:特征方程 特征根 通解中的对应项单实根 r一项一对单复根 ir2 , 1两项k 重实根 rk 项一对 k 重复根ir2, 12k 项rxCe)(121 kkrxxCxCCe)sincos(21xCxCexsin)(cos)(121121xxDxDDxxCxCCekkkkx

28、例:0)3()4()5( yyyy, 02345rrrr, 1 ,0 ,0iir那么通解为xCxCeCxCCyxsincos543214. 二阶常系数线性非奇次方程二阶常系数线性非奇次方程普通方式:)4(),(xfqyypy p,q为常数yYy由解的构造可知, (4)的通解是:故只需求出(4)的一个特解 .y待定系数法n 次多项式与指数函数乘积待定多项式x*e )x(Qy 设设xme )x(P)x( f 1. (1).当 不是特征根时:因此取m1m1m1m0m)()(bxbxbxbxQxQ (2).当 是特征单根时:因此 是 m次多项式,)(xQ 是m+1次多项式,)(xQ）代入（代入（将将4

29、e )x(Qy x* )5()()()2(2xPQqpQpQm , 02 qp xm*e )x(Qy 则则 , 02 , 02 pqp xm*e )x(xQy 设设例:求 的一个特解. 1332 xyyy, 0322 rr由于 不是特征根,baxy那么设将 代入方程得:y13323xbaax13233baa311ba31xy那么一个特解为(3).当 是特征重根时:因此 是 m次多项式,)(xQ 是 m+2 次多项式,)(xQ , 02 , 02 pqp xm2*e )x(Qxy 设设0 由于 是特征单根,xebaxxy2)(那么设将 代入方程得:yxbaax220212baa121baxexx

30、y2) 121(那么一个特解为因此通解为:xxeCeCy3221xexx22)2(例:求 的通解. xxeyyy265 , 0652 rr, 3, 221rr那么对应的奇次方程的通解为xxeCeCY32212 2. 型此时设特解为:不是特征根是特征根证明略m 次多项式n,maxml sin)(cos)()(nxxPxxPexflx sin)(Rcos)(R)2(m)1(mxxxxexyxk iik10例:求 的一个特解. xeyyyxcos22 )sincos(xbxaxeyx那么设将 代入方程得:yxxaxbcos)sincos(221, 0baxexyxsin2那么一个特解为, 0222

31、rr是是特特征征根根由由于于i 1例: 求 的通解. xxyy2sin4 , 042r那么对应的奇次方程的通解为xCxCY2sin2cos21,22, 1ir,12, 1ir由于 是特征根,2sin)(2cos)(xdcxxbaxxy那么设将 代入方程得:yxxxbcaxxdacx2sin2sin)428(2cos)428(xxxxy2sin162cos82那么一个特解为042180420bcadac1610081dcba因此通解为:xCxCy2sin2cos21xxxx2sin162cos82ii2 题型解析通解求xeyyxyx36)1 (241. .e51ee.e51eee6dddddd4

32、1dd41dddddddddd21dddddd,322313u2u231322322222xxxuuxCCyxuuCCyyuyuyuyuuyuxuxyuxyuyuxuuyxyux带回，得：将其通解为：，代入原方程可得：，则令.e ) 12(ee)(. 1,21:,e )()(*.ee)(:. 2, 1:,e)(2)( 3)( :22212221212xxxxxxxxxCCxbabaxxxCCxrrxxxxxQyP故微分方程的通解为：解得设一个特解为的通解为从而对应齐次微分方程程的特征根为其所对应的齐次微分方非齐次微分方程，该微分方程为二阶线性得由)(,)(,)()(2)(3. 22xxdyxy

33、dxxexxLx求有连续二阶导数其中与路径无关设的特解满足求0)0()0(2sin4. 3 yyxexyyx;cos2*,02,0242,sin4cos2sin2sin4 cos)2(sin)2(*),sincos(*.sincos, 01111212, 12xxyBABAxxBxAxyyxAxBxBxAyxBxAxyxCxCYirr：即此微分方程的特解为，并整理得：代入微分方程，则个特解为：设非齐次微分方程的一通解为：故对应齐次微分方程的解得特征根为：征方程为：对应齐次微分方程的特1102222,e2e )222(e2 ,e )(*2DCDCCxDCCxxyyDCxyxxxx，并整理得：代入微分方程一个特解为：设非齐次微分方程的另.e ) 1(cos2