专题：与圆有关的最值问题

1、引例引例引例与圆有关的最值（取值范围）问题1:在坐标系中，点A的坐标为（3 ,0）,点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点， tan / BOC=m则m的取值范围是 .2 :如图，在边长为1的等边 OAB中，以边 AB为直径作O D,以0为圆心0A长为半径作O 弧Ab上的一个动点（不与 A、B两点重合），射线AC交O O于点E，BC=a，AC=b，求a 3:如图，/ BAC=60，半径长为1的圆O与/ BAC的两边相切，为半径的圆P交射线AB、且AC=2设O, C为半圆 b的最大值.P为圆O上一动点，以 P为圆心，PA长DE则线段DE长度的最大值为（）.1BCOAxBOCA£

2、AB也是圆中的最值问题,只能凭直观yypAAADAE=60 ）正弦定理主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方一、题目分析：此题是一个圆中的动点问题， 法，注重了初、高中知识的衔接1.引例1:通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C与两个定点 O A构成夹角的变化规律，转化为 特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是 高中“直线斜率”的直接运用；2 .引例2:通过圆的基本性质，寻找动点 C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，结合不等式的性质 进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用；3.弓侧3:本例动点的个数由引例 1、引例

3、2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、 动点关联上增加了题目的难度， 解答中还是注意动点 D、E与一个定点A构成三角形的不变条件 （/ 构造弦DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系，其实质是高中“的直接运用；综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路， 感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透二、解题策略1 .直观感觉，画出图形；2 特殊位置，比较结果；3 理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立 等式，进行转化三、中考展望与题型训练 例一、

4、斜率运用 如图，A点的坐标为（-2 , 1）,以A为圆心的O A切x轴于点B, P（a, b）为O A上的一个动点，请分别探索： b a的最大值；b a的最小值；b a的最大值；b a的最大值；C.6DA . 3AC于D E两点，连接3.3"F【拓展延伸】：b 2a的范围；b 2a的范围；例二、圆外一点与圆的最近点、最远点1 如图，在 Rt ABC中，/ ACB=90 , AC=4, BC=3点D是平面内的一个动点，且 AD=2, M为BD的中点，在 D点运动过程中，线段 CM长度的取值范围是2. 如图，O O的直径为4, C为O O上一个定点，/ ABC=30 ,动点P从A点出发沿

5、半圆弧 Ab向B点运动(点P与点C在直径AB的异侧)，当 长线于D点.(1) 在点P的运动过程中，线段(2) 在点P的运动过程中，线段P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延例三、正弦定理1如图, ABC 中，/ BAC=60 ,别交ABCD长度的取值范围为AD长度的最大值为/ ABC=45 , AB=2j2 , D是线段BC上的一个动点，以 AD为直径作OO分AC于E, F两点，连接EF,则线段A、定长弦 CD在以AB为直径的O O上滑动(点 C D与点2.如图，丄AB于点P,若CD=3 AB=8贝U PM长度的最大值是例四、柯西不等式、配方法1如图，已知半径为

6、 2的OO与直线I相切于点A,点P是直径 线，垂足为C, PC与OO交于点D,连接PA PB,设PC的长为x 大，且最大值是为一C作CPAB左侧半圆上的动点，过点(2v x V 4),则当 x=P作直线I的垂时，PD?CD的值最D2.如图，线段AB=4, C为线段AB上的一个动点，以AC BC为边作等边 ACD和等边 BCE OO外接于 CDE 则O 0半径的最小值为（）.A.4 B.2、3C.3 2""FD. 2E3. 在平面直角坐标系中，以坐标原点0为圆心，2为半径画O O, P是O 0上一动点，且 P在第一象限内，过点P作O 0的切线与x轴相交于点A,与y轴相交于点B

7、,线段AB长度的最小值是.7例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）1.如图，在 Rt ABC中，/ C=90°, AC=6 BC=8D为AB边上一点，过点D作CD的垂线交直线BC于点E,则线段CE长度的最小值是.ACE02.如图，Rt ABC中，/ C=90°,Z A=30°, AB=4,以AC上的一点 0为圆心 0A为半径作O 0,若O 0与边BC始终有交点（包括 B、C两点），则线段A0的取值范围是 _.3.如图，射线 PQ/射线 MN PM1 MN A为PM的中点，0为射线PQ上的一个动点，AC丄AB交MN于点C,当以0为圆心，以0B为半径的圆与线段P

8、M有公共点时（包括P M两点），则线段0P长度的最小值为例五、其他几何知识的运用如图所示，AC丄AB, AB=6, AC=4,点D是以AB为直径的半圆 0上一动点，DEL CD交直线AB于点E,设/ DAB=,(0 ° V V 90 °).若要使点E在线段0A上(包括0、A两点)，则tan 的取值范围为.BB【题型训练】1.如图，已知直线I 长线交直线I于点C, 围为与O 0相离， 若在O 0上存在点OAL l于点A, 0A=5 0A与O 0相交于点P, AB与O 0相切于点B, BP的延 Q使厶QAC是以AC为底边的等腰三角形，则O 0的半径r的取值范2.已知：如图， R

9、t ABC中，/ B=90o,/ A=30o, BC=6cm点0从A点出发，沿 AB以每秒疵cm的速度向B点方向运动，当点 0运动了 t秒(t >0)时，以O点为圆心的圆与边 AC相切于点D,与边AB相交于E、F两点, 过E作EG丄DE交射线BC于 G.(1) 若点G在线段BC上，则t的取值范围是(2) 若点G在线段BC的延长线上，则3.如图，O M O N的半径分别为2cm,直线PQ与连心线I所夹的锐角度数为12t的取值范围是.4cm,圆心距 MN=10cm P为O M上的任意一点, 当P、Q在两圆上任意运动时，3(D)Q为O N上的任意一点,tan 的最大值为().(B)4.如图，在

10、矩形 ABCD中, AB=3, BC=4,个动点，连接 AP OP则厶AOP面积的最大值为(2150为矩形(A)4(B)(C)ABCD勺中心，以).358(D)D为圆心1为半径作O D, P为O D上的一1745.Q6.如图，在等腰 Rt ABC中，/ C=90 , AC=BC=4 D是AB的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合），过A、D E三点作O 0,0 O交AC于另一点F,在此运动变化的过程中,线段EF长度的最小值为7.如图，A B两点的坐标分别为（2 , 0）、（0 , 2） , O C的圆心的坐标为（-1 一个动点，线段 DA与y轴交于点丘，则厶ABE面积的最小值是2返2,0

11、），半径为1,若D是O C上的8.如图，已知 一个动点，射线1 , D是OC上的().().A、B两点的坐标分别为（-2 , 0）、（0, 1）,AD与y轴交于点 丘，则厶ABE面积的最大值是11c1033Rt ABC中，/ ACB=90 , AC=BC=4 O C的半径为1,点P在斜边 AB上, PQ切O O于点 Q 则9.如图，等腰 切线长PQ长度的最小值为（）.A. 7 B.2、2C. 3D.4如图，在Rt ABC中，/ C=90°, AC=8, BC=6经过点C且与边AB相切的动圆与 CA、CB分别相交于点 P、 则线段PQ长度的最小值是（）.1924A.19B .4510.如图/ BAC= 60°，半径长1O P交射线AB AC于D E两点,n的范围的OO与/ BAC的两边相切，P为O O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的 连接 DE则线段DE长度的范围为 .11.在直角坐标系中，点A的坐标为（3, 0），点P （ m, n ）为12 .在坐标系中，点 A的坐标为(3, 0),点B是y轴右侧一点，且 AB=2,点C上直线y=x+1上一动点，且 CB 丄AB于点B,则tan ACB m，则m的取值范围是 .13 .