医学高等数学：4-2-4-3多元函数微分学1

1、4.2偏偏导导数数4.2 .1偏偏导导数数的的概概念念与与计计算算偏偏增增量量：将将其其他他的的自自变变量量看看做做常常数数，一一个个自自变变量量变变化化时时，函函数数的的改改变变量量. .全全增增量量：将将所所有有的的自自变变量量都都改改变变时时，函函数数的的改改变变量量( , )f x yx例例如如：函函数数对对 偏偏增增量量为为( +, )( , )f xx yf x y( , )f x y例例如如：函函数数全全增增量量为为( +, +)( , )f xx yyf x y00( , )(,)zf x yxy 定定义义：设设函函数数在在点点的的邻邻域域内内有有定定义义，若若极极限限0000

2、0(,)(,)limxf xx yf xyx 存存在在，00( , )(,)zf x yxyx 则则该该极极限限为为函函数数在在点点对对 的的偏偏导导数数. .记记作作0,00,00,00,00,01()()()()(),xxxyxyxyxyxyzfzffxx00( , )(,);f x yxyy同同理理，定定义义函函数数在在点点对对 的的偏偏导导数数0000000(,)(,)(,)limyxyf xyyf xyzyy ( , ),zf x yDx y 如如果果函函数数在在区区域域 内内的的每每一一点点都都有有对对( , ),zf x yDx y 的的偏偏导导数数，则则函函数数在在内内有有对对

3、的的偏偏导导函函数数，简简称称偏偏导导数数. .偏偏导导数数的的概概念念可可以以推推广广到到二二元元以以上上的的函函数数，例例如如( , , )( , , )uf x y zx y zx 三三元元函函数数在在点点处处对对 的的偏偏导导数数为为0(, , )( , , )limxuf xx y zf x y zxx , y z同同理理，可可以以定定义义函函数数对对的的偏偏导导数数. .223(1,1).zxxyy 例例：求求在在点点处处的的偏偏导导数数123 ,32zzxyxyxy 解解法法 ：(1,1)(1,1)5,5zzxy 所所以以，21231yzxx 解解法法 ：1(1,1)235xzx

4、x 2113xzyy 1(1,1)325yzyy 222220( , ),(0,0)00 xxyxyxyf x yfxy 例例：设设求求0(0,0)(0,0)(0,0)limxxfxffx 解解：2000()0limxxxx 0 222.rxyz例例：求求函函数数的的偏偏导导数数4.2 .2 偏偏导导数数的的几几何何意意义义0000( ,)xxxxyyfdf x yxdx yxz0 xyToxT0y0M00( , )zf x yMyy 是是曲曲线线在在点点处处的的切切线线0.xM Tx对对 轴轴的的斜斜率率0000(, )xxyyyyfdf xyydy 000( , ).yzf x yMM T

5、yxx 是是曲曲线线在在点点处处的的切切线线对对 轴轴的的斜斜率率：函函数数在在某某点点的的各各个个偏偏导导数数都都注注意意存存在在，函函数数在在该该点点不不一一定定连连续续. .222222,0:( , )0=0 xyxyxyzf x yxy 例例，0(0,0)(0,0)(0,0)limxxfxffx 0(0,0)(0,0)(0,0)limyyfyffy ( , )(0,0).f x y但但函函数数在在点点处处不不连连续续00lim0 xx 00lim0yy 二二元元函函数数的的各各个个偏偏导导数数存存在在，只只是是表表明明函函数数沿沿xy轴轴和和 轴轴方方向向是是连连续续的的，而而二二元元

6、函函数数在在一一点点连连续续，必必然然是是沿沿空空间间的的任任意意方方向向均均连连续续. .4.2.3多多元元复复合合函函数数的的求求导导法法则则( , ),( , ),( , )ux y vx yx y定定理理：如如果果函函数数在在点点( , )xyf u v处处具具有有对对 和和对对 的的偏偏导导数数，函函数数在在对对应应点点( , )u v 具具有有连连续续偏偏导导数数，则则复复合合函函数数 ( , ),( , )( , )zfx yx yx y 在在点点处处的的两两个个偏偏导导数数都都存存在在，且且zzuzvxu xvx zzuzvyuyvy 多多元元复复合合函函数数的的求求导导法法则

7、则推推广广如如下下：(1)中中间间变变量量是是一一元元函函数数，如如：( , ),( ),( )zf u vutvtdzz duz dvdtu dtv dt则则，(2)中中间间变变量量多多于于两两个个，如如：( ,),( ),( ),( )zf u v wutvtwt, ,dzz duz dvz dwdtu dtv dtw dt则则，(3)( , ),( , )zf x vvx y ,zfzvxxvx 则则，zzvyvy zfxx注注意意: :与与不不同同zfyxvxxx表表示示固固定定 对对 求求导导， 固固定定 对对 求求导导. .22ln ,例：设求uzzzevuxyvxyxy=zzuz

8、vxu xvx 解解：=ln2uueevxyv2222=2 ln()xyxyeexxyx =zzuzvyuyvy =ln2uueevyxv2222=2 ln()xyxyeeyxyy 21tan(32),dzztxyxyttdt例例：设设求求=dzz dxdtx dt 解解：2221sec (32) 4 ()txyxt221sec (32)()2txyt223sec (32)txy22341(3)sec (32)2txyttz dyy dt zt (1),yzzzxyxy例例：设设, , 求求1,vuxy vyzu解解：令令则则zzuxu x 1vvuy 21(1)yyxy zzuzvyuyvy

9、 1lnvvvuxuu 1(1)(1) ln(1)yyxyxyxyxy 4.2.4隐隐函函数数的的求求导导法法则则( , )0( ),F x yyf x设设隐隐函函数数确确定定函函数数则则对对( , )0F x yx 两两边边关关于于 求求导导，得得0FF dyxy dx从从而而得得到到一一元元隐隐函函数数的的求求导导法法则则(0)FdyFxFdxyy 这这是是利利用用多多元元函函数数的的偏偏导导数数求求一一元元隐隐函函数数的的导导数数公公式式220,.xydyxydx例例：设设求求( , )22 ,xyF x yxy解解：令令则则2 ln2xFyx 所所以以FdyxFdxy ,2 ln2yF

10、xy 2 ln2(2 ln20)2 ln2xyyyxx 20 xyzeze 例例：求求方方程程所所确确定定的的函函数数( , ).zf x y 的的偏偏导导数数( , , )2,xyzF x y zeze 解解：令令则则xyFyex ,xyFxey ,2zFez FzxFxz 2xyzyee (20)2xyzzyeee 所所以以FzyFyz 2xyzxee (20)2xyzzxeee 4.2.5高高阶阶偏偏导导数数( , )( , ),( , )xyzf x yfx yfx y 设设的的偏偏导导数数仍仍存存在在偏偏导导数数22()( , )xxzzfx yxxx2()( , )xyzzfx y

11、yxx y 2()( , )yxzzfx yxyy x 22()( , )yyzzfx yyyy( , )f x y，则则它它们们是是的的二二阶阶偏偏导导数数，有有四四个个sin.xzey 例例：求求函函数数的的二二阶阶导导数数sinxzeyx 解解：cosxzeyy 22sinxzeyx 2cosxzeyx y 22sinxzeyy 2cosxzeyy x 22zzy xx y 注注意意：不不是是在在任任何何情情况况下下都都成成立立. .( , ),xyyxf x yff定定理理：如如果果函函数数的的两两个个混混合合偏偏导导数数偏偏导导数数混混合合偏偏导导数数与与求求导导的的先先后后次次序序

12、无无关关. .同同理理，二二元元以以上上的的多多元元函函数数也也可可类类似似地地定定义义下下，和和求求偏偏导导的的次次序序无无关关. .( , )x y在在点点处处连连续续=xyyxff，则则在在该该点点处处有有，即即二二阶阶，并并且且高高阶阶混混合合偏偏导导数数在在偏偏导导数数连连续续的的条条件件222222ln,0zzzxyxy例例：证证明明函函数数方方程程22,=zyyxy 22=zxxxy 证证：2222222()2=()zxyxxxxy22222=()yxxy 2222222()2=()zxyyyyxy22222=()xyxy 22220zzxy所所以以，2221,urxyzr例例：

13、证证明明函函数数满满足足2222220uuuuxyz 拉拉普普拉拉斯斯方方程程方方程程21urxrx 证证：2231uxr 21 xrr 3413x xrrr 根根据据对对称称性性，有有2223513uyyrr 2223513,uzzrr 2222222223533()uuuxyzxyzrr 0 3xr 43xrrx 23513xrr 4.3 全全微微分分4.3.1全全微微分分的的概概念念与与计计算算( )yf x 一一元元函函数数的的微微分分：()yA xx ( )( )dyfxxfx dx 应应用用 近近似似计计算算估估计计误误差差一一元元函函数数微微分分定定义义：0( ),yf xxA

14、对对若若存存在在仅仅与与点点有有关关的的实实数数使使()yA xx 00( )( )f xxA xf xx 则则称称在在点点处处可可微微，为为在在处处的的微微分分，且且( )dyfx dx ( ),yf x对对于于一一元元函函数数可可导导可可微微. .( , ),zf x y 对对于于二二元元函函数数(,)( , ),zf xx yyf x y (,)( ,)f xx yyf x yy ( ,)( , )f x yyf x y ()A xB y 为为无无穷穷小小量量()定定义义 二二元元函函数数全全微微分分 ：( , )( , )zf x yx y 设设函函数数在在点点具具有有连连续续的的偏偏

15、导导数数( , )( , ),xyfx yfx yx yxy和和当当自自变变量量分分别别有有增增量量时时，(,)( , )zf xx yyf x y 则则对对应应的的全全增增量量可可以以表表示示为为( , )( , )( )xyzfx yxfx yy 22= ()()xy 其其中中( , )( , )zf x yx y 称称为为函函数数在在点点处处的的全全微微分分，记记作作( , )( , )xydzfx yxfx yy ( , )( , )xydzfx y dxfx y dy通通常常改改写写为为,( , )( , )xyfx yxfx yy 则则如如果果二二元元函函数数在在一一点点处处存存在

16、在全全微微分分，称称函函数数在在该该点点可可微微. .如如果果二二元元函函数数在在一一个个区区域域内内每每一一点点都都存存在在全全微微分分，称称函函数数在在该该区区域域内内可可微微. .对对一一元元函函数数，可可微微分分可可导导函函数数可可导导是是指指两两个个偏偏导导数数存存在在，而而可可微微是是指指存存在在全全微微分分. .条条件件，但但是是对对二二元元函函数数，二二元元函函数数可可导导仅仅仅仅是是可可微微的的必必要要而而非非充充分分00( , )(,)zf x yxy ：若若函函数数在在点点的的某某定定理理领领域域内内有有0000(,)(,)xyfxyfxy的的偏偏导导数数连连和和续续00

17、(,)xy在在点点处处可可微微. .对对多多元元函函数数，可可微微可可导导可可微微连连续续连连续续并并且且可可导导可可微微,( , )zf x y 则则函函数数22.zx yy例例：计计算算函函数数的的全全微微分分2zxyx 解解：22(2 )dzxydxxy dy所所以以sin.2yzyuxe例例：计计算算函函数数+ +的的全全微微分分1dudx 解解：1( cos)22yzyzedyyzye dz 2,2zxyy 连连续续4.3.2 全全微微分分在在近近似似计计算算中中的的应应用用( , )( , )( )xyzfx yxfx yy 根根据据全全微微分分的的定定义义，, z 可可用用函函数数的的全全微微分分近近似似代代替替函函数数的的增增量量即即(,)( , )zf xx yyf x y ( , )( , )xydzfx yxfx