《复数的运算复数的加法与减法》教案新人教选修

1、数学： 3.2.1 复数的运算 - 复数的加法与 减法教案（ 1）（新人教选修 2-2 ） 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加减运算及几何意义 教学目标： 知识与技能：掌握复数的加法运算及意义 过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复 数加减法运算的几何意义 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念 （ 复数集、 代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部 ） 理解并掌握复数相 等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过 对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用 教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应 关系 教学难点：复数加法运算的运

2、算率，复数加减法运算的几何 意义。 教具准备：多媒体、实物投影仪 。 教学设想：复数有复平面内惟一的一个点和它对应； 反过来， 复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。复数 z=a+bi（a、b R）与有序实数对（a , b）是一一对应关系这是因 为对于任何一个复数 z=a+bi（a、b R）,由复数相等的定义 可知，可以由一个有序实数对(a , b)惟一确定. 教学过程： 学生探究过程： 1. 虚数单位 :(1) 它的平方等于 -1，即 ; (2) 实数可以与它 进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成 立 2. 与 1 的关系 : 就是 1 的一个平方根， 即方程 x2=

3、1 的 一个根，方程 x2= 1 的另一个根是 3. 的周期性： 4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1 4. 复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的 虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母 C 表示* 3. 复数的代数形式 : 复数通常用字母 z 表示， 即，把复数表 示成 a+bi 的形式，叫做复数的代数形式 4. 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系：对于复数，当且 仅当b=0 时，复数 a+bi(a、b R)是实数 a;当 b0时，复 数 z=a+bi 叫做虚数；当 a=0 且 b0时，z=bi 叫做纯虚数； 当且仅当 a=b=0 时，z 就是实数

4、 0. 5. 复数集与其它数集之间的关系： NZQRC. 6. 两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相 等，那么我们就说这两个复数相等即：如果 a, b, c, d R 那么 a+bi=c+dia=c ， b=d 一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小 如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数 不全是实数时才不能比较大小 7. 复平面、实轴、虚轴： 点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 z=a+bi（a、b R）可用 点Z（a , b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面 叫做复平面，也叫高斯平面， x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴 实轴上的点

5、都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为 （0， 0）， 它所确定的复数是 z=0+0i=0 表示是实数 .故除了原 点外，虚轴上的点都表示纯虚数 复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系， 即 复数复平面内的点 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应； 反过来， 复平面内的每一个点， 有惟一的一个复数和它对应 . 这就是复数的一种几何意义 . 也就是复数的另一种表示方 法，即几何表示方法 8. 若，则 9. 若，则， 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 与差 10. 若，则 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去

6、 始点的坐标 即 =?=( x2, y2) ? (x1,y1)= (x2? x1, y2? y1) 讲解新课： 一复数代数形式的加减运算 1 .复数 z1 与 z2 的和的定义： z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 2. 复数 z1 与 z2 的差的定义： z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 3. 复数的加法运算满足交换律 : z1+z2=z2+z1. 证明：设 Z 仁 a1+b1i , Z2=a2+b2i(a1 , bl, a2, b2 R). v Zl+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i

7、. Z2+Z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i. 又 v a1+a2=a2+a1, b1+b2=b2+b1. 二 z1+z2=z2+z1.即复数的加法运算满足交换律 . 4. 复数的加法运算满足结合律 : (Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3) 证明：设 z1=a1+b1i.z2=a2+b2i ，z3=a3+b3i(a1 ，a2，a3， bl, b2, b3 R). v (z1+z2)+z3= (a1+b1i)+(a2+b2i) +(a3+b3i) =(a1+a2)+(b1+b2)i +(a3+b3)i =(a1+a2)+a3 +(b1+b2)+b3

8、i =(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i. z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+ (a2+b2i)+(a3+b3i) =(a1+b1i)+ (a2+a3)+(b2+b3)i = a1+(a2+a3) + b1+(b2+b3) i =(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i V (a1+a2)+a3=a1+(a2+a3) , (b1+b2)+b3=b1+(b2+b3). (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).即复数的加法运算满足结合律 讲解范例： 例 1 计算： (5-6i)+(-2-i)-(3+4i) 解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i) = (5-2-3)+(

9、-6-1-4) i= - 11 i 例 2 计算： (1 2i)+( 2+3i)+(3 4i)+( 4+5i)+.+( 2002+2003i)+(2003 - 2004i) 解法一：原式 =(1 - 2+3- 4+. - 2002+2003)+( - 2+34+5+.+2003 -2004i)=(2003 -1001)+(1001 -2004)i=1002 - 1003i. 解法二：V (1 - 2i)+( - 2+3i)= - 1+i , (3 -4i)+( -4+5i)= -1+i， (2001 -2002i)+( -2002+2003)i= -1+i. 相加得 (共有 1001 个式子

10、)： 原式=1001( - 1+i)+(2003 - 2004i) =(2003-1001)+(1001 -2004)i=1002 -1003i . 复数代数形式的加减运算的几何意义 复数的加 (减)法 (a+bi) (c+di)=(a c)+(b d)i. 与多项式加 (减) 法是类似的 . 就是把复数的实部与实部，虚 部与虚部分别相加 ( 减). 1. 复平面内的点平面向量 2. 复数平面向量 3. 复数加法的几何意义： 设复数 z1=a+bi ，z2=c+di ，在复平面上所对应的向量为、， 即、的坐标形式为=(a , b), =(c , d)以、为邻边作平行四边 形 0Z1ZZ2则对角

11、线 0Z 对应的向量是， 二=+=(a , b)+(c , d)=(a+c , b+d) = (a+c)+(b+d)i 4. 复数减法的几何意义： 复数减法是加法的逆运算， 设 z=(a -c)+(b - d)i，所以 z -z1=z2, z2+z1=z，由复数加法几何 意义，以为一条对角线，为一条边画平行四边形，那么这个 平行四边形的另一边 0Z2 所表示的向量就与复数 z - z1 的差 (a - c)+(b - d)i 对应由于，所以，两个复数的差 z- z1 与连 接这两个向量终点并指向被减数的向量对应 . 例 3 已知复数 z1=2+i ， z2=1+2i 在复平面内对应的点分别为

12、A、B,求对应的复数 乙 z在平面内所对应的点在第几象限？ 解：z=z2 - z1=(1+2i) - (2+i)= - 1+i , Tz的实部 a=- 1v 0，虚部 b=10, 复数 z在复平面内对应的点在第二象限内. 点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应 的复数减去始点所对应的复数所得的差 . 即所表示的复数 是 zB zA.，而所表示的复数是 zA zB,故切不可把被减 数与减数搞错尽管向量的位置可以不同，只要它们的终点与 始点所对应的复数的差相同，那么向量所对应的复数是惟一 的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其 方向和长度有关，而与位置无关 例 4 复数

13、 z1=1+2i ， z2= 2+i ， z3=12i ，它们在复平面 上的对应点是一个正方形的三个顶点， 求这个正方形的第四 个顶点对应的复数 . 分析一：利用，求点 D的对应复数. 解法一：设复数 z1、z2、z3 所对应的点为 A B、C,正方形 的第四个顶点 D 对应的复数为 x+yi(x , y R),是： =(x+yi) (1+2i)=(x 1)+(y 2)i; =( 1 2i) ( 2+i)=1 3i. ，即(x 1)+(y 2)i=1 3i , 二解得 故点 D 对应的复数为 2 i. 分析二：利用原点 0 正好是正方形 ABCD 勺中心来解. 解法二：因为点 A与点 C 关于

14、原点对称，所以原点 0 为正方 形的中心，于是 (2+i)+ (x+yi)=0，二 x=2, y= 1. 故点 D 对应的复数为 2 i. 点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过 对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用 巩固练习： 1. 已知复数 z1=2+i,z2=1+2i, 则复数 z=z2 z1 在复平面内所 表示的点位于 A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 在复平面上复数 32i, 4+5i,2+i 所对应的点分别是 A、 B、 C,则平行四边形 ABCD 勺对角线 BD 所对应的复数是 A.59i B.53i C. 711i D . 7+

15、11i 3. 已知复平面上 AOB的顶点 A所对应的复数为 1+2i,其重心 G 所对应的复数为 1+i,则以 OA 0B 为邻边的平行四边形的对 角线长为 A. 3 B.2 C.2 D. 4. 复平面上三点 A B、C 分别对应复数 1，2i,5+2i,则由 A、 B. C 所构成的三角形是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C. 锐角三角形 D.钝角三角形 5. 一个实数与一个虚数的差（ ） A. 不可能是纯虚数 B. 可能是实数 C. 不可能是实数 D. 无法确定是实数还是虚数 6. 计算( = _ . 7. 计算： (2x+3yi) (3x 2yi)+(y 2xi) 3xi= _ (x

16、、 y R). 8. 计算( 12i) (2 3i)+(3 4i) . (20022003i). 9. 已知复数 z仁 a2 - 3+(a+5)i,z2=a - 1+(a2+2a - 1)i(a R) 分别对应向量、(0 为原点)，若向量对应的复数为纯虚数， 求 a 的值 . 解：对应的复数为 z2 - z1，贝 V z2-z1=a-1+(a2+2a-1)i -a2-3+(a+5)i =(a- a2+2)+(a2+a - 6)i /z2- z1 是纯虚数 二解得 a=- 1. 10已知复平面上正方形的三个顶点是 A(1， 2)、 B(-2， 1)、C (- 1,- 2),求它的第四个顶点 D

17、对应的复数. 解：设 D(x,y), 贝 对应的复数为 (x+yi) -(1+2i)=(x -1)+(y -2)i 对应的复数为： ( - 1 - 2i) - ( - 2+i)=1 - 3i (x - 1)+(y - 2)i=1 - 3i 二，解得 D 点对应的复数为 2-i。 答案： 1.B 2.C 3.A 4.A 5.C 6. -2i 7.(y -x)+5(y - x)i 8. 解：原式 =(1 2+34+.+2001 2002) +( 2+3 4+. 2002+2003)i =1001+1001i 课后作业：课本第 112 页 习题 3.2 1 , 2 , 3 教学反思： 如果两个复数的实部和虚部分别相等， 那么我们就说这两个 复数相等即： 如果 a, b, c, d R 那么 a+bi=c+dia=c , b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相