浙江省丽水市2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)

1、丽水市 2019 学年第一学期普通高中教学质量监控高二数学试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页，选择题部分 1至 2 页，非选择题部分 3至 4页.满分 150分，考试时间 120 分钟.注意事项：1答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题卷规定的位置上 .2答题时，请按照答题卷上“ 注意事项 ” 的要求，在答题卷相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效 .选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若直线210 xy的斜率为k，在y轴上的

2、截距为b，则（）a. 2k，12bb. 12k，1bc. 12k，12bd. 2k，1b【答案】 c 【解析】【分析】根据题意，将直线的方程变形为斜截式方程，据此分析,k b的值，即可得答案.【详解】解：根据题意，直线210 xy，其斜截式方程为1122yx，其斜率12k，在y轴上的截距12b，故选： c.【点睛】本题考查直线的一般式方程与斜截式方程的转化，注意直线斜截式方程的形式，属于基础题.2.圆221:2cxy与圆222:118cxy的位置关系是（）a. 相交b. 内切c. 外切d. 相离【答案】 b 【解析】【分析】分别求出两圆的圆心和半径，求得圆心距与半径和或差的关系，即可判断位置关

3、系.【详解】解：圆221:2cxy的圆心1(0,0)c，半径12r，222:118cxy的圆心2( 1,1)c，半径22 2r，则两圆的圆心距21212rcrc，即两圆内切.故选： b.【点睛】本题考查两圆的位置关系的判断，注意运用两点的距离公式，考查运算能力，属于基础题.3.椭圆22123xy的焦点坐标是（）a. 0, 1b. 1,0c. 0,5d. 5,0【答案】 a 【解析】【分析】直接利用椭圆方程，求出,a b，然后求解c即可 .【详解】解：椭圆22123xy，可得3,2ab，可得1c，所以椭圆的焦点0, 1.故选： a.【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题.

4、4.已知m，l是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中不正确的是（）a. 若/ /l，l，则b. 若/lm，l，m，则/ /c. 若/lm，l，/ /m，则/ /d. 若l，m，/ /，则/lm【答案】 c 【解析】【分析】根据空间中的平行与垂直关系，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.【详解】解：对于a，/ /l时，过l作平面ni，则/ /ln；由l知n，所以，故 a正确；对于 b，当/lm，l，m时，得l且l，所以/ /，故 b 正确；对于 c，当/lm，l，/ /m时，则，所以 c 错误；对于 d，当l，/ /时，l，又m，所以/lm，d 正确 .故选： c.【点睛】本题考查了空

5、间中的平行与垂直关系的判断问题，也考查了符号语言应用问题，是基础题.5.双曲线221412xy的左右焦点分别为1f，2f，点在p双曲线上，若15pf，则2pf（）a. 1b. 9c. 1或9d. 7【答案】 b 【解析】【分析】求得双曲线的, ,a b c，判断p的位置，结合双曲线的定义，可得所求值.【详解】解：双曲线221412xy的2,2 3,4124abc，点在p双曲线的右支上，可得16pfac，点在p双曲线的左支上，可得12pfca，由15pf可得p在双曲线的左支上，可得2124pfpfa，即有2549pf.故选： b.【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查定义法解题，以及分类

6、讨论思想，属于基础题.6.“ln2ln10ab” 是“1ab” 成立的（）a. 充分不必要条件b. 必要不充分条件c. 充分必要条件d. 既不充分也不必要条件【答案】 a 【解析】【分析】由对数的运算性质与不等式的基本性质结合充分必要条件的判定方法得答案.【详解】解：由ln2ln10ab，得201021abab，得1ab，1ab；反之，由1ab，不一定有ln2ln10ab，如2,1ab“ln2ln10ab”是“1ab”成立的充分不必要条件.故选： a.【点睛】本题考查对数的运算性质与不等式的基本性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题.7.直线00axbyabab和圆22250 xyx的交点

7、个数（）a. 0b. 1c. 2d. 与a，b有关【答案】 c 【解析】【分析】圆题意可知直线恒过圆内的定点( 1, 1) ，故可得直线与圆相交，即可判断【详解】解：因为直线00axbyabab可化为(1)(1)0a xb y，所以直线恒过定点( 1, 1) ，因为22112150则点 ( 1, 1) 在圆22250 xyx内，故直线0axbyab过圆内的点，与圆相交，即交点个数为2.故选： c.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的判断，解题的关键是发现直线恒过定点( 1, 1) 且定点在圆内.8.我国古代数学名著 九章算术 中记载的 “ 刍甍 ”（chu meng） 是指底面为矩形，

8、顶部只有一条棱的五面体如图，五面体abcdef是一个刍甍，其中bcfv是正三角形，22abbcef，则以下两个结论：/ /abef；bfed， （）a. 和都不成立b. 成立，但不成立c. 不成立，但成立d. 和都成立【答案】 b 【解析】【分析】利用线面平行的性质及勾股定理即可判断.【详解】解：/ /abcd，cd在平面cdef内，ab不在平面cdef内，/ /ab平面cdef，又ef在平面cdef内，由ab在平面abfe内，且平面abfe i平面cdefef，/ /abef，故对；如图，取cd中点g，连接bg，fg，由abcd 2ef，易知/ /degf，且degf，不妨设ef 1，则22

9、2bgbcef，假设bfed， 则222fgbgfb， 即212fg， 即fg1， 但fg的长度不定， 故假设不一定成立，即不一定成立.故选： b.【点睛】本题考查线面平行的判定及性质，考查垂直关系的判定，考查逻辑推理能力，属于中档题.9.已知1,0a，10b,，点,0p x yy在曲线222244442xyxxyx上，若直线pa，pb的斜率分别为1k，2k，则（）a. 1213kkb. 123kkc. 1213kkd. 123kk【答案】 d 【解析】【分析】先根据已知条件得到点p在以( 2,0),(2,0)为焦点，22a的双曲线上，且在右支上；再利用整体代换即可求解 .【详解】解：因为曲线

10、222244442xyxxyx，即2222(2)(2)2xyxy；点p在以( 2,0),(2,0)为焦点，22a的双曲线上，且在右支上，对应的曲线方程为：221,(0)3yxx；22122231113yyyyk kyxxx.故选： d.【点睛】本题主要考查曲线与方程，解决本题的关键点在于根据已知条件得到点p所在曲线，属于基础题目.10. 若实数x，y满足方程cossin1xyr，则（）a. 2xyb. 2xyc. 221xyd. 221xy【答案】 d 【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和函数的性质的应用求出结果.【详解】解：由于22221cossinsin()xyxyxxy，故

11、：221xy.故选： d.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.11. 如图，在三棱锥pabc中，pbbca，paacb ab，设二面角pabc-的平面角为，则（）a. +pcapcb，2pacpbcb+pcapcb，2pacpbcc. +pcapcb，2pacpbcd. +pcapcb，2pacpbc【答案】 c 【解析】【分析】解题的关键是通过构造垂面得出pmc，然后转化到平面中解决即可.【详解】解：如图（1） ，取pc中点d，连接ad，bd，由pbbca，paac易知bdpc，adpc，故可得

12、pc平面abd，作pmab于m，由abpabcvv，可得cmab，pmc，.又pmcmhab，由图（ 2）可得2222pmcpbcpac，2pacpbc，22pbcpacpcapcbpcapcb22pbcpacpcbpca故选： c.【点睛】本题考查空间角的综合问题，考查空间想象能力，逻辑推理能力，属于中档题.12. 已知直线:lykxm与椭圆22143xy交于a，b两点，且直线l与x轴，y轴分别交于点c，d 若点c，d三等分线段ab，则（）a. 214kb. 2916kc. 232md. 235m【答案】 d 【解析】【分析】将直线与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出中点坐标及弦长ab，由

13、题意知cd的坐标及中点与ab的中点相同求出2k的值，再由c，d三等分线段ab，则13cdab ，求出2m的值，选出结果.【详解】解：设( , ),a x yb x y，联立直线与椭圆的方程整理得：2223484120kxkmxm，2222644 344120k mkm，解得2234mk，222284126,2343434kmmmxxxxyyk xxmkkk，所以中点2243 p ,3434kmmkk，由题意得,0,(0,)mcdmk，点c，d三等分线段ab，所以cd的中点也为p，所以2243,234234mkmmmkkk，由题意0m，所以可得：234k；所以弦长2214abkxxxx22222

14、222222163649 12314 1343434mk mkmkkkkk，由题意得2222221,0 ,(0,),mkmmcdmcdmkkk，由题意13cdab，所以22222| 11912341|334mkkmkkk，整理得：2222223341634mkmkk，解得235m，故选： d.【点睛】考查直线与椭圆的值应用，属于中档题.非选择题部分（共90 分）二、填空题：本大题共7 小题，其中多空题每题6 分，单空题每题4 分，共 34分13. 双曲线221412xy的焦距是 _，渐近线方程是_. 【答案】(1). 8(2). 3yx【解析】【分析】由双曲线方程求得a， b，c 的值，则其焦

15、距与渐近线方程可求【详解】由题知，2a4，2b12，故2c22ab16，双曲线的焦距为：28c，渐近线方程为：2 332byxxxa故答案为8；3yx【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题14. 已知直线1:2380lxy和2:6100laxy若12ll/，则实数a_，两直线1l与2l间的距离是 _【答案】(1). 4(2). 13【解析】分析】由 直 线1: 2380lxy和2:6100laxy.12ll/， 利 用 直 线 与 直 线 平 行 的 性 质 能 求 出a， 把2:6100laxy转化为：2350 xy，利用两平行线间的距离公式能求出两直线1l与2l间

16、的距离 .【详解】解：直线1:2380lxy和2:6100laxy，12ll/，623a，解得4a，2:6100laxy转化为：2350 xy，两直线1l与2l间的距离是：|58|1349d.故答案为：4；13.【点睛】本题考查实数值、两平行线间的距离的求法，考查直线与直线平行的性质、两平行线间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.15. 已知实数x，y满足不等式组,22,0.xymxyy若2zxy的最小值为1，则m_，z的最大值是 _【答案】(1). 1(2). 4【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合目标函数2zxy的最小值 .利用数形结【合即可

17、得到结论.【详解】解：先作出实数x，y满足约束条件,22,0.xymxyy的可行域如图，目标函数2zxy的最小值为： - 1，由图象知2zxy经过平面区域的a时目标函数取得最小值- 1.由2122xyxy，解得a（0，1） ，同时a（0，1）也在直线0 xym上，10m，则1m，2zxy过点c（ 2，0）时取最大值；所以其最大值为2 204z.故答案为： 1；4.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.16. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的表面积是_2cm【答案】352 22【解析】【分析】首先画出直观

18、图，再进一步利用公式求出结果【详解】解：根据几何体的三视图，可得直观图如下：该几何体为一个14圆柱，加一个三棱柱，底面为一个等腰直角三角形和一个半径为1 的14个圆 .所以2131222252242211 12s.故答案为：352 22.【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.17. 已知抛物线2:20c ypx p的焦点为f，p是抛物线c上的点 若线段pf被直线2x平分， 则pf_【答案】4【解析】【分析】由题意求出抛物线的焦点坐标及准线方程，由线段pf被直线2x平分，则 2 是

19、中点的横坐标，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，进而求出pf的值 .【详解】解：由题意知焦点,02pf，准线方程：2px，设p的横坐标0 x，由题意02 22px，由抛物线的性质知042ppfx，.故答案为： 4.【点睛】考查抛物线的性质，属于基础题.18. 如图，在三棱锥abcd中，底面是边长为2的正三角形，4abacad， 且e，f分别是bc，ad中点，则异面直线ae与cf所成角的余弦值为_【答案】4 1015【解析】【分析】连结de，到de中点p，连结pf、pc，则pfae，从而pfc是异面直线ae和cf所成角的余弦值，由此能求出异面直线ae和cf所成角的余弦值.【详解】解：因

20、为三棱锥a-bcd中，底面是边长为2 的正三角形，abacad4，所以三棱锥a-bcd为正三棱锥；连结de，取de中点p，连结pf、pc，正三棱锥a-bcd的侧棱长都等于4，底面正三角形的边长2，点e、f分别是棱bc、ad的中点，pfae，pfc是异面直线ae和cf所成角的余弦值，2222=4115,213aede，222161647cos22448acadcdcafacad，2274224268cf，2211537,12222pfaepc，15764 1044cos1515262pfc.异面直线ae和cf所成角的余弦值为4 1015.故答案为：4 1015.【点睛】本题考查异面直线所成角的余

21、弦值的求法，关键是利用线线平行将异面直线所成的角转化为两相交直线所成的角，是中档题.19. 已知椭圆22162xy的右焦点为f，上顶点为a，点p在圆228xy上，点q在椭圆上，则2 papqqf的最小值是 _【答案】62 6【解析】【分析】求得椭圆, ,a b c，可得焦点坐标和顶点坐标，可(22 cos ,22 sin)p，由两点的距离公式可得2| |papb，即点p与(0,42)b的距离，再由椭圆的定义，可得22| |2 6papqqfpbpqqf，再由四点共线取得最值，可得所求.【详解】解：椭圆22162xy的26,2abc，右焦点为(2,0)f，右焦点为2( 2,0) f，上顶点为(0

22、,2)a，点p在圆228xy上，可设(22 cos ,22sin)p，222| 2 (2 2cos )(2 2sin2)2 108sin4032sinpa22(2 2 cos )(2 2sin4 2)，表示点p与(0, 4 2)b的距离，由椭圆的定义可得22|22 6qfqfaqf，222| |2 62 6papqqfpbpqqfbf22(02)(4 2)2 662 6，当且仅当2,b p q f三点共线上式取得等号，故2 papqqf的最小值是62 6，故答案为：62 6.【点睛】本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查圆的参数方程的运用和两点的距离公式，注意转化思想和数形结合思想，考查化简运算

23、能力，属于难题.三、解答题：本大题共4 小题，共 56分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤20. 已知222422210 xyxmymmmr表示圆c的方程（1）求实数m的取值范围；（2）若直线:20lxy被圆c截得的弦长为4，求实数m的值【答案】（ 1）13m（ 2）1m【解析】【分析】（1）根据题意，将圆的方程变形为标准方程，分析可得2230mm，解可得m的取值范围；（ 2 ） 根 据 题 意 ， 分 析 圆c的 圆 心 以 及 半 径 ， 结 合 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 分 析 可 得22|22|4235mmm，解可得m的值，即可得答案.【详解】解： （1）配方得：2222

24、23xymmm由2230mm，解得：13m；（2）由题意可得：圆心为(2,)cm，半径223rmm则22224235mmm，解得1m.【点睛】本题考查圆的一般方程以及直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于基础题.21. 如图，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，adbc，90abc，1abbc，2paad（1）求证：cd平面pac；（2）在棱pc上是否存在点h，使得ah平面pcd？若存在， 确定点h的位置； 若不存在， 说明理由【答案】（ 1）见解析（ 2）在棱pc上存在点h，23phpc，使得ah平面pcd【解析】【分析】（1）由题意，利用勾股定理可得2dcac，可得222acdcad

25、，可得acdc，利用线面垂直的性质可得pacd，利用线面垂直的判定定理即可证明dc平面pac；（2）过点a作ahpc，垂足为h，由（1） 利用线面垂直的判定定理可证明ah平面pcd， 在rtpac中，由pa2，2ac，可求23phpc，即在棱pc上存在点h，且23phpc，使得ah平面pcd.【详解】解（ 1）由题意，可得2dcac，222acdcad，即acdc，又pa底面abcd，pacd，且paacai，dc平面pac；（2）过点a作ahpc，垂足为h，由（ 1）可得cdah，又pccdci，ah平面pcd.在rtpac中，2pa，2ac，phpapapc23phpc即在棱pc上存在点h

26、，且23phpc，使得ah平面pcd.【点睛】本题主要考查了勾股定理，线面垂直的性质，线面垂直的判定，考查了数形结合思想和推理论证能力，属于中档题.22.如图， 在三棱台111abca b c中， 底面abc是边长为4的正三角形，111a baa12cc，13bb，e是棱11ac的中点，点f在棱ab上，且3affb.（1）求证：/ /ef平面11bcc b；（2）求直线ef和平面abc所成角的正弦值【答案】（ 1）见解析（ 2）3 5858【解析】【分析】（1）取bc上一点g，满足cg 3gb，连接1c g，fg，推导出四边形1efgc为平行四边形，从而ef/1c g，由此能证明ef/平面11

27、bcc b.（2）延长111,aa bb cc交于一点p，取ac的中点为o，连接po，ob，则poac，boac，过o作od平面abc，如图，以oa为x轴，ob为y轴，od为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线ef和平面abc所成角的正弦值.【详解】解： （1）取bc上一点g，满足3cggb，连1c g，fg，在abcv中，由3cgafgbfb/fg ac，113fgac又1/ecac，11ec1/ecfg，1ecfg四边形1efgc为平行四边形1/efc g又1c g平面11bcc b，ef平面11bcc b/ef平面11bcc b.（2）延长1aa，1bb，1cc交于一点p，且111a b c为边长为2的正三角形，取ac的中点为o，连接po，ob，则poac，boac，且2 3po，2 3bo，6pb，120pob，过o作od平面abc，如图，以oa为x轴，ob为y轴， od 为 z 轴建立空间直角坐标系，则2,0,0a，0,2 3,0b，0,3,3p，3 30,22e，1 3 33,