广东省高考联考文科数学试卷

1、高三数学考试（文科）一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合|321,| (23)0axxbx xx，则ab（）a(1,2b91,4c31,2d(1,)1答案： c 解析：因为3|1,02ax xbxx，所以312abxx2已知复数z满足31iz（i为虚数单位） ，则复数z的模为（）a 2 b2c 5 d52答案： d 解析：因为31i2iz，所以5z3已知71sincos,sincos55，则cos2（）a725b725c1625d16253答案： a 解析：227cos2cossin(cossin)(cossin)2

2、54如图 1 为某省 2018 年 14 月快递义务量统计图，图2 是该省 2018 年 14 月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（）a 2018 年 14 月的业务量， 3 月最高， 2 月最低，差值接近2000 万件b 2018 年 14 月的业务量同比增长率超过50%，在 3 月最高c从两图来看，2018 年 14 月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致d从 14 月来看，该省在2018 年快递业务收入同比增长率逐月增长4答案： d 解析：选项a，b 显然正确；对于选项c，2 月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以 c 是正确的；对于选

3、项d，1， 2，3，4 月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%， 42%，并不是逐月增长， d 错误5在abc中，内角,a b c所对的边分别是, ,a b c，若,4,24abccas，则232sin3sinsinacbacb（）a5b2 5c2 7d2 135答案： b 解析：112,4,sin424222abccasabcb，得2b，又根据余弦定理得：2222cos10cababc，即10c，所以2322 52sin3sinsinsinacbcracbc6已知平面向量,a b满足2,1ab，且432abab，则向量,a b的夹角为（）a6b3c2d236答案： d 解析：因为22

4、4343112,2,1abababa bab，所以1a b，由cos2cos1a bab，得1cos2，所以237为了得到2cos 2yx的图象，只需把函数3sin 2cos2yxx的图象（）a向左平移3个单位长度b向右平移3个单位长度c向左平移6个单位长度d向右平移6个单位长度7答案： d 解析：因为3 sin 2cos 22cos22cos 236yxxxx，要得到函数2cos 2yx，只需将3sin 2cos2yxx的图象向右平移6个单位长度即可8已知函数( )ln(2)ln(6)fxxx，则（）a( )f x在(2,6)上单调递增b( )f x在(2,6)上的最大值为2ln 2c( )

5、f x在(2,6)上单调递减d( )yf x的图象关于点(4,0)对称8答案： b 解析：( )ln(2)ln(6)ln(2)(6)f xxxxx， 定义域为(2,6)， 令(2 ) ( 6)txx， 则lnyt,二次函数(2)(6)txx的对称轴为直线4x，所以( )f x在(2,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，a 错， c 也错， d 显然是错误的；当4x时，t有最大值，所以max( )ln(42)ln(64)2ln 2f x，b 正确9如图，b是ac上一点，分别以,ab bc ac为直径作半圆从b作bdac，与半圆相交于d6,2 2acbd，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中

6、阴影部分的概率是（）a29b13c49d239答案： c 解析：连接,ad cd，可知acd是直角三角形，又bdac，所以2bdab bc，设(06)abxx，则有8(6)xx，得2x，所以2,4abbc，由此可得图中阴影部分的面积等于2223122222，故概率241992p10某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中，最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为（）a5b6c7d2 252110答案： c 解析： 如图， 可知最长的棱为长方体的体对角线2 2ac，最短的棱为1bd，异面直线ac与bd所成的角为ace，由三视图中的线段长度可得，5,1,2,7abbdcecdae，tan7

7、aceabcde11已知双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为2，12,f f分别是双曲线的左、右焦点， 点(,0)ma，(0, )nb， 点p为线段mn上的动点， 当12pfpf取得最小值和最大值时，12pf f的面积分别为12,s s，则12ss（）a 4 b8 c2 3d4 311答案： a 解析：由2cea，得2 ,3ca ba，故线段mn所在直线的方程为3()yxa，又点p在线段mn上，可设( ,33 )p mma，其中,0ma，由于12(,0),( ,0)fcf c，即12( 2 ,0),(2 ,0)fafa，得12( 2,33 ),(2,33 )pfammapfamma

8、，所以221246pfpfmmaa223134()44maa由于,0ma，可知当34ma时，12pfpf取得最小值，此时34pya，当0m时，12pfpf取得最大值，此时3pya，则213434sasa12已知函数cos,02( )1,0 xxxf xex，若( )1f xax恒成立，则实数a的取值范围是（）a0,)b0, ec0,1d ,)e12答案： b 解析：由题意可以作出函数( )yf x与1yax的图象，如图所示若不等式( )1f xax恒成立，必有0ak，其中k是1xye过点(0,1)的切线斜率 设切点为00(,1)xxe，因为xye，所以000(1)( 1)0 xxekex，解得

9、01x，所以ke，故0ae二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上13 已知抛物线2:2(0)c xpy p的焦点为f， 点01( , )2p x在c上，且34pf， 则p13答案：12解析：由焦半径公式，0132224pppfy，解得12p14已知实数, x y满足12,3321,14,2yxyxyx则目标函数3zxy的最大值为14答案： 14 解析：作可行域如图所示，由图可知，当3zxy过点( 4,2)a时，z取得最大值1415已知( ),( )f xg x分别是定义在r上的奇函数和偶函数，且(0)0g，当0 x时，( )( )f xg x222x

10、xxb（b为常数），则( 1)( 1)fg15答案：4解析：由( )f x为定义在r上的奇函数可知(0)0f，所以0(0)(0)20fgb，得1b，所以(1)(1)4fg，于是( 1)( 1)(1)(1)(1)(1)4fgfgfg16已知正六棱柱的高为8，侧面积为14，则它的外接球的表面积为16答案：100解析：设底面正六边形的边长为a， 外接球的半径为r， 则由86144a， 得3a， 又22283252r所以24100sr球三、解答题：共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共6

11、0 分17 （ 12 分）已知数列na的前n项和为ns，满足11s，且对任意正整数n，都有111nnnsnssn（1）求数列na的通项公式；（2）若2nnnab，求数列nb的前n项和nt17解析：（1）由11s，得11a1 分又对任意正整数n，111nnnsnssn都成立，即11(1)(1)(1)nnnsn nnsns，所以1(1)(1)nnnsnsn n，所以111nnssnn，3 分即数列nsn是以 1 为公差， 1 为首项的等差数列4 分所以nsnn，即2nsn，得121(2)nnnassnn，5 分又由11a，所以21()nannn6 分解法 2：由1111nnnnsnssan，可得1

12、1(1)(1)nnsn nna，当2n时，(1)nnsn nna，两式相减，得112(1)nnnannana，整理得12nnaa，在111nnsnan中，令2n，得2212sa，即22122aa，解得23a，212aa，所以数列na是首项为1，公差为2 的等差数列，12(1)21nann（2）由（ 1）可得2122nnnnanb，7 分所以231135232122222nnnnnt，8 分则234111352321222222nnnnnt，9 分，得2341112222212222222nnnnt，10 分整理得1113221323222222nnnnnnt，11 分所以2332nnnt12

13、分18 （ 12 分）2018 年 8月 8 日是我国第十个全民健身日，其主题是： 新时代全民健身动起来某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40 人，将他们的年龄分成7 段：10, 20)，20, 30) ，30, 40) ，40, 50)，50, 60) ，60, 70) ，70, 80 后得到如图所示的频率分布直方图（1）试求这40 人年龄的平均数、中位数的估计值；（2） （i）若从样本中年龄在50, 70)的居民中任取2 人赠送健身卡，求这2 人中至少有1 人年龄不低于60岁的概率；（ii）已知该小区年龄在10, 80内的总人数为2000，若 18 岁以上（含18 岁）为成年

14、人，试估计该小区年龄不超过80 岁的成年人人数18解： （ 1）平均数150.15250.2350.3450.15550.1(6575)0.0537x2 分前三组的频率之和为0.150.20.30.65，故中位数落在第3 组，设为x，则(30)0.030.150.20.5x，解得35x，即中位数为354 分（2） （i） 样本中， 年龄在50,70)的人共有400.156人，其中年龄在50,60)的有 4 人，设为, , ,a b c d，年龄在60,70)的有 2 人，设为, x y6 分则从中选取2 人共有如下15 个基本事件：( , ), ( , ) ( ,), ( , ), ( , )

15、, ( , ) ( ,), ( , ), ( ,)a ba ca da xa yb cb db xb y，( ,), ( , ), ( ,), ( , ), ( ,), ( , )c dc xc yd xd yx y8 分至少有 1 人年龄不低于60 岁的共有如下9 个基本事件：( , ), ( ,), ( , ), ( , ), ( , ), ( ,), ( , ), ( ,), ( , )a xa yb xb yc xc yd xd yx y9 分记“这 2 人中至少有1 人年龄不低于60 岁”为事件a，故所求概率为93()155p a10 分（ii）样本中年龄在18 岁以上的居民所占频率

16、为1(18 10)0.0150.88，故可以估计，该小区年龄不超过80 岁的成年人人数约为20000.88176012 分19 （ 12 分）如图， 在五面体abcdfe中，底面abcd为矩形，/efab，bcfd，过bc的平面交棱fd于p，交棱fa于q（1）证明：/pq平面abcd；（2）若1,1,23cdbe efeccdefbc，求五面体abcdfe的体积abcdefpq19 （ 1）证明：因为底面abcd为矩形，所以/adbc，又因为ad平面adf，bc平面adf，所以/bc平面adf，2 分又因为bc平面bcpq，平面bcpq平面adfpq，所以/bcpq，4 分又因为pq平面abc

17、d，cd平面abcd，所以/pq平面abcd6 分（2）解：,cdbe cdcb becbb，cd平面bce，又因为ce平面bce，所以cdce；7 分因为,bccd bcfd cdfdd，所以bc平面cdfe，所以bcce，即,cd ce cb两两垂直9 分连接,fb fc，则12,3,(23)123fabcdcdbcv，10 分1113 11322fbcev，11 分15222abcdfefabcdfbcevvv12 分abcdefpq20 （ 12 分）已知f为椭圆2222:1(0)xycabab的右焦点，点(2,3)p在c上，且pfx轴（1）求c的方程；（2）过f的直线l交c于,a b

18、两点，交直线8x于点m判定直线,pa pmpb的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由20解：（1）因为点(2,3)p在c上，且pfx轴，所以2c1 分由22224914abab，得221612ab，4 分故椭圆c的方程为2211612xy5 分（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的的方程为(2)yk x，令8x，得m的坐标为(8,6 )k6 分由2211612(2)xyyk x，得2222(43)1616(3)0kxk xk7 分设1122(,),(,)a xyb xy，则有221212221616(3),4343kkxxx xkk8 分设直线,pa pmpb的斜率分别为123,kkk，

19、从而121231233631,22822yykkkkkxx9 分因为直线ab的方程为(2)yk x，所以1122(2),(2)yk xyk x，所以12121212121233113222122yyyykkxxxxxx1212124232()4xxkx xxx10 分把代入，得2212222216443232116(3)3244343kkkkkkkkkk11 分又312kk，所以1232kkk，故直线,pa pmpb的斜率成等差数列12 分21 （ 12 分）设函数22( )xxf xexm（1）求( )f x的单调区间；（2）若对于任意12, (0)xxm mm，都有12()()1f xf

20、xe，求m的取值范围21解：（1）因为22( )xxf xexm，所以2222( )1(1)xxxxfxeemm，2 分所以当(,0)x时，2210,0,( )0 xxefxm；3 分当(0,)x时，2210,0,( )0 xxefxm4 分所以( )fx的单调递减区间是(,0)，单调递增区间是(0,)5 分（2）由（ 1）知，( )f x在,0m上单调递减，在0,m上单调递增，故( )f x在0 x处取得最小值，且(0)1f6 分所以对于任意的12,xxm m，12()()1f xf xe的充要条件为()(0)1()(0)1f mfefmfe，即11mmemeeme7 分设函数( )tg t

21、et，则( )1tg te8 分当0t时，( )0g t；当0t时，( )0g t，故( )g t在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增9 分又(1)1ge，( )mg mem，()mgmem，10 分所以当(0,1m时，1()(1)1,()( 1)11g mgegmgee，即式成立，11 分综上所述，m的取值范围是(0,112 分（二）选考题：共10 分请考生在22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系xoy中，曲线1c的参数方程为5cos55sinxy（为参数）m是曲线1c上的动点， 将线段om绕o点顺时针旋转90得到线段on，设点n的轨迹为曲线2c以坐标原点o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线12,c c的极坐标方程；（ 2）在（ 1）的条件下，若射线(0)3与曲线12,c c分别交于,a b两点（除极点外） ，且有定点(4,0)t，求tab的面积22