四川省阆中中学2019-2020学年高二4月月考数学(理)试题(解析版)

1、阆中中学新城校区2020 年春高 2018 级四月教学质量检测数学试题（理科）第 i 卷（选择题 ) 一、单选题（第小题5 分，共计 60分）1.抛物线28yx的焦点坐标是（）a. 0, 2b. 2,0c. 10,32d. 1,032【答案】 c 【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准方程，进而可得出焦点坐标.【详解】因为28yx可化为218xy，所以128p，且焦点在y轴负半轴，因此焦点坐标为10,32故选 c【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点问题，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型.2.已知方程22112xymm表示双曲线，则m的取值范围是（）a. 1mb. 2mc. 1m或2m

2、d. 12m【答案】 c 【解析】【分析】双曲线焦点可能在x 轴，也可能在y 轴上，分别写出两种情况下的双曲线的标准方程，22112xymm或22121yxmm，可得10,20,mm或20,10,mm，解不等式可得答案.【详解】当双曲线的焦点在x 轴上，双曲线方程22112xymm，则10,20,mm解得：2m；当双曲线的焦点在y 轴上，双曲线方程22112xymm22121yxmm，所以20,10,mm解得：1m；故选 c.【点睛】本题考查双曲线标准方程，求解的关键在于双曲线方程标准形式的认识.3.若双曲线22221xyab的离心率2e，则其渐近线方程为（）a. 2yxb. 32yxc. 3

3、yxd. 22yx【答案】 c 【解析】【分析】通过双曲线的离心率，推出a、b关系，然后直接求出双曲线的渐近线方程【详解】解：由双曲线的离心率2e，可知2ca，又222abc，所以3ba，所以双曲线22221xyab的渐近线方程为：3byxxa故选：c【点睛】本题考查双曲线的基本性质，渐近线方程的求法，考查计算能力，属于基础题4.曲线方程2222+4)+4)10 xyxy（的化简结果为（）a. 2212516xyb. 2212516yxc. 221259xyd. 221259yx【答案】 d 【解析】【分析】根据题意得到给出的曲线方程的几何意义，是动点, x y到两定点的距离之和等于定值，符合

4、椭圆定义， 然后计算出相应的, ,a b c得到结果 .【详解】曲线方程2222+4+410 xyxy，所以其几何意义是动点, x y到点0, 4和点0,4的距离之和等于10，符合椭圆的定义. 点0, 4和点0,4是椭圆的两个焦点.因此可得椭圆标准方程222210yxabab，其中210a，所以5a4c，所以223bac所以曲线方程的化简结果为221259yx.故选 d 项.【点睛】本题考查曲线方程的几何意义，椭圆的定义，求椭圆标准方程，属于简单题.5.若双曲线22221xyab的离心率为43，且过点3 2,7，则该双曲线的实轴长为（）a4b. 2 5c. 4 2d. 6【答案】 d 【解析】

5、【分析】利用双曲线的离心率与双曲线经过的点，列出方程求出a，即可得到结果【详解】解：双曲线22221xyab的离心率为43，且过点3 2,7，可得43ca，221871ab，222cab，解得3a，所以 26a故选：d【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题6.（ 2016 新课标全国理科）已知f1（f2是双曲线e（22221xyab的左，右焦点，点m 在 e 上， m f1与x轴垂直， sin2113mf f,则 e 的离心率为.a. 2b. 32c. 3d. 2【答案】 a 【解析】试题分析：由已知可得，故选 a. 考点： 1、双曲线及其方程；2、双曲线的离心率. 【方法点晴】

6、本题考查双曲线及其方程、双曲线的离心率.，涉及方程思想、 数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 由已知可得，利用双曲线的定义和双曲线的通径公式，可以降低计算量，提高解题速度. 7.已知向量( ,3, 4),(6,12)axbyrr，且/ /abrr，则xy的值为（）a. 11b. 6c. 7d. 15【答案】 a 【解析】【分析】利用向量共线定理即可求出.【详解】q向量( ,3,4),(6, ,12)axbyrr，且/ /abrr，存在实数使得barr，63124xy，解得29xy，11xy故选：a.【点睛】本题追要考查是向量共线

7、定理的应用，考查了计算能力，及空间向量的应用，是基础题.8.在平行六面体1111abcda b c d中，m 为11ac与11b d的交点，若,aba adbuuu rr uu u rr,1aacu uu rr， 则与bmuuuu r相等的向量是（）a. 1122abcrrrb. 1122abcrrrc. 1122abcrrrd. 1122rrrabc【答案】 d 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，用, ,a b cr r r作基底表示bmuuuu r即可得解 .【详解】根据空间向量的线性运算可知11bmbbb mu uu u ruu u ruu uu r11112aab du uu r

8、u uu ur1111112aab aadu uu ruu uu ruuu u r112aaabadu uu ruu u ruuu r因为,aba adbuuu rr uu u rr,1aacuuu rr，则112aaabaduuu ruu u ruu u r1122abcrrr即1122bmabcuuu u rrrr，故选： d.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.9.已知abcd为平行四边形，且(4 1 3)(251)(3 75)abc， ， ， ，则顶点d的坐标（）a. 7412，b. (2 41)，c. ( 2141)， ，d. (5133)，【答案】 d

9、 【解析】【分析】设出d的坐标，利用abdcuu u ruuu r列方程，由此求得d的坐标 .【 详 解 】 设, ,d a b c， 由 于 四 边 形abcd是 平 行 四 边 形 ， 所 以abdcuuu ruu u r， 即2, 6, 23,7, 5abc，即236725abc，解得5,13,3abc，即5,13, 3d，故选d.【点睛】本小题主要考查空间向量的坐标运算，考查空间向量相等的条件，属于基础题.10.o为空间任意一点,a b c三点不共线 ,若opuuu v=111326oaobocu uu vuuu vuuu v,则,a b c p四点a一定不共面b. 不一定共面c. 一

10、定共面d. 无法判断【答案】 c 【解析】【分析】点 p在平面 abc 内， o 是平面 abc 外的任意一点，则opxoayobzocu uu vuu u vu uu vu uu v且1xyz利用此推论可直接证明一定共面【详解】因为opuuu v=111326oaobocuu u vuu u vuu u v（且1111326（所以,a b c p四点共面 .【点睛】四点共面问题，在空间向量中经常涉及，要熟练掌握共面向量定理11.o为坐标原点，f为抛物线2:4cyx的焦点，p为c上一点，若4pf，则pofv的面积为a. 2b. 3c. 2d. 3【答案】 b 【解析】.【分析】由抛物线的标准方

11、程24yx可得抛物线的焦点坐标和准线方程,设出( ,)p x y,由 pf=4 以及抛物线的定义列 式 可 得( 1)4x,即3x,再 代 入 抛 物 线 方 程 可 得 点p 的 纵 坐 标 ,再 由 三 角 形 的 面 积 公 式1|2sy of可得 .【详解】由24yx可得抛物线的焦点f(1,0),准线方程为1x,如图 :过点 p 作准线1x的垂线 ,垂足为m,根据抛物线的定义可知pm=pf=4,设( , )p x y,则( 1)4x,解得3x,将3x代入24yx可得2 3y,所以pof的面积为1|2yof=12 3132.故选 b.【点睛】 本题考查了抛物线的几何性质,定义以及三角形的

12、面积公式,关键是利用抛物线的定义求p 点的坐标;利用 of 为三角形的底,点 p 的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.属中档题 .12. 如图，正方体abcd -a1b1c1d1的棱长为2，e 是棱 ab 的中点， f 是侧面 aa1d1d 内一点，若ef平面bb1d1d，则 ef 长度的范围为（）a. 2,3b. 2,5c. 2,6d. 2,7【答案】 c 【解析】【分析】过f作1/ /fgdd， 交ad于点g， 交11a d于h， 根据线面垂直关系和勾股定理可知222efaeaf；由,/ /ef fg平面11bdd b可证得面面平行关系， 利用面面平行性质可证得g为ad中点，从而得到af

13、最小值为,f g重合，最大值为,f h重合，计算可得结果.【详解】过f作1/ /fgdd，交ad于点g，交11a d于h，则fg底面abcd2222222221efegfgaeagfgaeafaf/ /efq平面11bdd b，/ /fg平面11bdd b，effgf平面/ /efg平面11bdd b，又ge 平面efg/ /ge平面11bdd b又平面abcd i平面11bdd bbd，ge 平面abcd/ /gebdeq为ab中点g 为ad中点，则h为11a d中点即f在线段gh上min1afag，max145afahmin1 12ef，max156ef则线段ef长度的取值范围为：2,6本

14、题正确选项：c【点睛】本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解，关键是能够确定动点的具体位置，从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判定与性质等定理的应用.第 ii 卷（非选择题 ) 二、填空题（每小题5 分，共计 20分）13.已知抛物线22(0)ypx p的过焦点的弦为ab，且9ab，6abxx，则p_. 【答案】 3 【解析】由题意知 |ab|=abxx+p,即 p=|ab|-(abxx)=9-6=3.故答案为3.14. 设正方体1111abcda b c d的棱长为2，则点1d到平面1a bd的距离是 _.【答案】2 33【解析】【分析】如图建立空间直角坐标系

15、，利用向量法求点1d到平面1a bd的距离 . 【详解】如图建立空间直角坐标系，则1(0,0,2)d，1(2,0, 2)a，(0,0,0)d，2,2 0b （， ），11(2,0,0)uuuu rd a，1(2,0,2)dauuu u r，(2,2,0)dbuuu r，设平面1a bd的一个法向量为( , , )nx y zr，1220220n daxzn dbxyu uu u vru uu vr，令1x，则(1, 1, 1)nr，点1d到平面1a bd的距离11|22 3|33d a ndnuuuu rrr.故答案为：2 33.【点睛】本题主要考查点到平面的距离的求法，意在考查学生对这些知识

16、的理解掌握水平.15. 已知3, 2, 3av，1,1,1bxv，且av与bv的夹角为钝角，则x的取值范围是_.【答案】552,33u【解析】【分析】由题意可知0a br r且ar与br不共线，由此可得出实数x的取值范围 .【详解】由题意可知0a br r且ar与br不共线，则31213 1240a bxxr r，解得2x.若ar与br共线，则111323x，得53x，arq与br不共线，则53x，因此，实数x取值范围是552,33u.故答案为：552,33u.【点睛】本题考查利用空间向量的夹角为钝角求参数的取值范围，一般转化为两向量数量积为负，且两向量不共线，结合空间向量的坐标运算得出不等式

17、组求解，考查运算求解能力，属于中等题.16. 设 e，f分别是正方体abcd a1b1c1d1的棱 dc上两点，且ab2， ef 1，给出下列四个命题： 三棱锥 d1b1ef的体积为定值； 异面直线d1b1与 ef所成的角为45； d1b1平面 b1ef ； 直线 d1b1与平面 b1ef所成的角为60其中正确的命题为_【答案】 【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形求出三棱锥d1b1ef的体积为定值；求得异面直线d1b1与 ef所成的角为45；判断 d1b1与平面 b1ef不垂直；直线 d1b1与平面 b1ef所成的角不一定是为60【详解】由题意，如图所示，三棱锥d1b1ef的体积为11

18、1111222 13323d efvsb c为定值，正确；ef d1c1，b1d1c1是异面直线d1b1与 ef所成的角，为45，正确；d1b1与 ef不垂直，由此知d1b1与平面 b1ef不垂直，错误；直线 d1b1与平面 b1ef所成的角不一定是为60，错误综上，正确的命题序号是故答案为【点睛】本题主要考查了空间中的直线与平面之间的位置关系应用问题，其中解答中熟记线面位置关系的判定与性质定理，以及几何体的体积的计算公式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题 . 三、解答题（ 17 小题 10分， 1822每小题 12分，共计 70分）17. 已知空间三点2,0,2 ,

19、1,1,2 ,3,0,4abc，设,aab bacruu u r ruuu r.（1）求ar和br的夹角的余弦值；（2）若向量,2kkababrrrr互相垂直，求k的值 .【答案】（ 1）1010； （2）52k或 2【解析】【分析】（1）结合空间向量夹角的余弦公式求解即可；（2）分别结合向量的坐标公式表示出,2kkababrrrr，由20kababkrrrr即可求解【详解】（ 1）由题可知1,1,0 ,1,0,2aabbacruuu rruu u r，则110cos1025a babr rrr；（2）由220kababkbbkakarrrrrrrr，1,1,01,0,21, ,2kabkkk

20、rr，1,1,021,0,222, , 4abkkkkrr则221280kabakkbkkrrrr，即2520kk，解得125,22kk【点睛】本题考查空间向量的夹角求法，由两向量垂直求参数，属于基础题18. 如图，在正方体1111abcda b c d中，点e为ab的中点，f为1d c的中点 .（1）证明：/ef平面11add a；（2）若2ae，求二面角defc的余弦值 .【答案】（ 1）证明见解析（2）19【解析】【分析】（1）以d为原点，da为x轴，dc为y轴，1dd为z轴，建立空间直角坐标系，4,0,2efuuu r，平面11add a的法向量10,1,0nu r，10ef nuu

21、u r ur，得到证明 .（2）计算平面def的法向量1, 2,2nr，平面cef的法向量1,2,2mu r，计算夹角得到答案.【详解】（ 1）以d为原点，da为x轴，dc为y轴，1dd为z 轴，建立空间直角坐标系，设4ab，则4,2,0e，0,2,2f，4,0,2efu uu r，平面11add a的法向量10,1,0nur，10ef nuuu r u r，ef平面11add a，/ef平面11add a.（2）2ae，0,0,0d，4,2,0e，0,2,2f，0,4,0c，4,2,0deu uu r，0,2,2dfuuu r，4, 2,0ceu uu r，0, 2,2cfuu u r，设平

22、面def的法向量, ,nx y zr，则420220n dexyn dfyzuuu vvuuu vv，取1x，得1, 2,2nr，设平面cef的法向量, ,ma b cu r，则420220m ceabm cfbcu uu vvu uu vv，取得1a，得1,2,2mu r，设二面角defc的平面角为，则二面角defc的余弦值为11cos339m nmnu rru rr.、【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.19.在如图所示的四棱锥pabcd中，已知pa平面abcd，/ /abdc，90dab，1paaddc，2ab，m为pb的中点 .（1）求异面直线pb

23、与ac所成角的余弦值；（2）求直线mc与平面pac所成角的余弦值；【答案】（ 1）105； （2）155【解析】【分析】（ 1 ） 利 用 向 量 的 几 何 运 算 计 算=2pb acpaabacpa acab acuu u r u uu ruu u ruuu ru uu ruu u r uu u ruu u r u uu r， 利 用 公 式cos,pb ppb acpbaccuu u r uuu ruu uu uu rruuu ruuu r可求异面直线pb与ac所成角的余弦值；（2）取pc中点n，则可得mcn为直线mc与平面pac所成角，从而可求直线mc与平面pac所成角的余弦值 .【

24、详解】解： （1）由图可知pb acpaabacpa acab acuuu r uuu ruu u ruuu ruuu ruu u r uuu ruu u ru uu r，paq平面abcd，又ac平面abcd，paac，即0pa acuu u r uuu r，又2 12ab acabaddcab adab dcuuu r uu u ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu ruuu r uuu r，2pb acu uu r u uu r，2222210cos,51211ppb pcb acpbacuu u r uuu ruu u r uuuuu u ruru ur，所以异面直线pb

25、与ac所成角的余弦值为105；（2）取pc中点n，则/ / bcmn，22222acbcabq，acbc，又paq平面abcd，又bc平面abcd，pabc，bc平面pac，则mn平面pac，所以mcn为直线mc与平面pac所成角，2112+1=,=2222131+5222ncpcmcpbq，15cos5ncmcnmc.【点睛】本题考查异面直线所成的角以及线面角的求解，难度不大.20. 已知直线: 400lxymm与抛物线2:20c ypx p交于a，b两点，已知弦ab的中点的纵坐标为2（1）求p；（2）直线:4lym x与抛物线c交于m，n两点，求mn的取值范围【答案】（ 1）8p（ 2）3

26、2,【解析】【分析】（1）联立l与c的方程，得出122yy即可（2）联立l与c的方程得出m，n两点的横坐标之和，然后用m表示出mn，运用函数的知识求出范围即可【详解】解： （1）设11,a x y，22,b xy，联立l与c的方程得220ypypm，则12224yyp，即8p（2）直线l经过c的焦点（ 4， 0） ，设33,mxy，11,n x y，则31mnxxp联立2416ym xyx，得2222816160m xmxm，则342168xxm因为2864640ppmm，且0m，所以01m所以342161632mnxxpm从而mn的取值范围为32,【点睛】要注意31mnxxp，比用弦长公式求

27、mn计算量要小些.21. 已知椭圆2222:10 xycabab的离心率为22，1f，2f分别是椭圆的左、右焦点， 直线l过点2f与椭圆交于a、b两点，且1f abv的周长为4 2.（1）求椭圆c的标准方程；（2）是否存在直线l使1f abv的面积为43？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（ 1）2212xy（2）存在，直线l的方程为1yx或1yx.【解析】【分析】（1）根据离心率公式、椭圆定义，结合椭圆性质，解方程组即可求出椭圆方程；（2）分两种情况讨论，当斜率不存在时，其面积为12f abs，不符题意，当斜率存在时，可设出直线方程，代入椭圆方程可得2222120kykyk，结合韦达定理代入三角形面积公式1121212121122f absf fyyf fyy，即可得解 .【详解】解： （1）由题意得2222,244 2,ceaaabc2,1,1,abc故椭圆c的标准方程为2212xy.（2）存在直线l满足题意，由（1