王升瑞数项级数及审敛法学习教案

1、会计学1王升瑞数项级数王升瑞数项级数(j sh)及审敛法及审敛法第一页，共60页。2二、交错二、交错(jiocu)级数及其审敛法级数及其审敛法 三、绝对三、绝对(judu)收敛与条件收敛收敛与条件收敛 第二节第二节一、正项级数一、正项级数(j sh)及其审敛及其审敛法法常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 第十二章 第1页/共59页第二页，共60页。3若,0nu1nnu定理定理(dngl) 1. 正项级数正项级数1nnu收敛(shulin)部分和序列 nSnSSSS321,有界 .若1nnu收敛 , ,收敛则nS,0nu部分和数列nSnS有界, 故nS1nnu从而又已知故有界.则称为正项级数

2、.单调递增, 收敛 , 也收敛.证证: “ ”“ ”第2页/共59页第三页，共60页。4 1,1nnu 21nnv且存在(cnzi),ZN对一切(yqi),Nn 有1、 若级数（2)则级数(1)2、 若级数（1）则级数（2）证略证略则有收敛 ,也收敛 ;发散 ,也发散 .nnvku 两个正项级数, (常数 k 0 ),第3页/共59页第四页，共60页。5121. 1nn解解 1：21nun1nnv发散(fsn) ,11. 2nn11nnvn211nnn1112nnn而收敛(shulin)由比较判别法可知原级数收敛解解 2：nun1nvn1nn11而由比较判别发可知原级数发散。11nn第4页/共

3、59页第五页，共60页。6证明(zhngmng)级数1) 1(1nnn发散(fsn) .证证: 因为因为(yn wi)2) 1(1) 1(1nnn),2, 1(11nn而级数111nn21nn发散根据比较审敛法可知,所给级数发散 .第5页/共59页第六页，共60页。7pppn131211(常数(chngsh) p 0)的敛散性. 解解: 1) 若, 1p因为(yn wi)对一切,Zn而调和级数11nn由比较审敛法可知 p 级数11npnn1发散 .发散 ,pn12）若, 1p顺序地把一项、两项、四项、八项括在一起ppppppp1518171514131211NoImagepppppp81814

4、14121211312112121211ppp收敛121pq此式由比较判别法可知 p1 时，p 级数收敛。第6页/共59页第七页，共60页。8发散时当收敛时当级数,1,1ppP重要参考级数重要参考级数(j sh): (j sh): 几何级数几何级数(j sh), P-(j sh), P-级数级数(j sh), (j sh), 调和级数调和级数(j sh).(j sh).调和级数与 p 级数是两个(lin )常用的比较级数.若存在(cnzi),ZN对一切,Nn ,1) 1(nun, ) 1(1)2(pnupn.1收敛则nnu;1发散则nnu11111123Ppppnnn 第7页/共59页第八页，

5、共60页。9.211的敛散性判别级数nnn:解nnnnvnu21211nnv而级数.211收敛级数nnn收敛121nn第8页/共59页第九页，共60页。10的敛散性！判别级数3)!2(! 2! 1nnn:解1! 2!(2 )!nnun)!2(!nnn！)2()!1(nnnnn2) 3(21）（21n收敛而级数121nn收敛！级数3)!2(! 2! 1nnn第9页/共59页第十页，共60页。11证明收敛设正向级数,1nnu收敛12) 1 (nnu收敛11)2(nnnuu:证明)(1收敛，1nnu0nu10, 0nuNnN时，有当,2nnuuNn时，当收敛，而Nnnu收敛Nnnu2收敛即12nnu

6、第10页/共59页第十一页，共60页。121nnuu,)(11111收敛而nnnnnnnuuuu收敛11nnnuu收敛11)2(nnnuu证明收敛设正向级数,1nnu证证1nnuu)(211nnuu第11页/共59页第十二页，共60页。13,1nnu1nnv,limlvunnn则有两个级数同时(tngsh)收敛或发散 ;(2) 当 l = 0 ,1收敛时且nnv;1也收敛nnu(3) 当 l =+ ,1发散时且nnv.1也发散nnu证明证明(zhngmng)略！略！设两正项级数满足(1) 当 0 l 1, 则原级数(j sh)收敛。第24页/共59页第二十五页，共60页。261!. 4nnne

7、n解：解：nnnuu1limnlimnne111比值(bzh)法失效，但的，的增大单调上升趋于是随ennn11, 11nnuun都有对任何故级数(j sh)发散。11)1()1( !limnnnnnen! nennnnnnnne)1 (lim第25页/共59页第二十六页，共60页。27 limn)0(11xxnnn的敛散性 .解解: nnnuu1limnxn) 1( 1nxnx根据定理(dngl)4可知:,10时当 x级数(j sh)收敛 ;,1时当 x级数发散 ;.1发散级数nn,1时当 x第26页/共59页第二十七页，共60页。28nlim 0!2nnn解：考虑解：考虑(kol)以以 2!

8、nnn为通项的级数(j sh) 21!nnnn用比值(bzh)法知级数收敛，nnulim 2!nnnnlim0第27页/共59页第二十八页，共60页。29设 1nnu为正项级,limnnnu则;,1) 1(级数收敛时当 .,1)2(级数发散时当 证明证明(zhngmng): 略！略！数, 且时 , 级数可能收敛(shulin)也可能发散 .1例如 , p 级数 :11pnnpnnnnu1)(1n说明说明 :,1pnnu 但, 1p级数收敛 ;, 1p级数发散 .第28页/共59页第二十九页，共60页。3012. 1nnnnnnu2解：解：nlimnnnulimnnn221由正项级数的根值判别法

9、可知(k zh)原级数发散。1. 2nnnen解：解：nnnenu nnnulimnlimen由正项级数的根值判别(pnbi)法可知原级数收敛。1313. 3nnnnnnnu34313解：解：nvnnnvlimnlimnn3431由正项级数的根值与比较判别法可知原级数收敛。第29页/共59页第三十页，共60页。3111nnn收敛(shulin)于S ,近似代替(dit)和 S 时所产生的误差 . 解解: : nnnnnu1n1)(0n由定理5可知该级数收敛 .令,nnSSr则所求误差为21)2(1) 1(10nnnnnr21) 1(1) 1(1nnnn1) 1(1nnnnn) 1(11111n

10、并估计以部分和 Sn第30页/共59页第三十一页，共60页。32 ( )kff ku xf在), 1 上非负单调(dndio)连续函数，则 1nf n与 1f x d x有相同(xin tn)的敛散性。证明证明 不妨设 xf是单减函数，于是当1kxk有 kfxfkf1从而有 111kkkuf kf x d x以及111nnkkku xdxfkk11nkku即11nSu xdxfn11nS于是，若 xdxf1收敛，表示 xdxf1为常数，1kk第31页/共59页第三十二页，共60页。331nS xdxfun111 11uf x d x可知(k zh)nS有界，根据定理级数(j sh)收敛。 xd

11、xf1发散(fsn)，因为 xf在), 1 上非负， xdxf1故当n .11xdxfn可推得nS无界，级数发散。只能有11nSu xdxfn11nS若第32页/共59页第三十三页，共60页。34的敛散性 .解解: xdxxp2)(ln1xdxpln)(ln1212lnlnpx12)(ln111pxpp所以(suy)，当1p时，反常积分(jfn)发散，原级数发散；时，反常积分收敛，原级数收敛；1p2)(ln1npnn第33页/共59页第三十四页，共60页。35则各项符号正负(zhn f)相间的级数nnuuuu1321) 1(称为(chn wi)交错级数 .定理定理7 . ( Leibnitz

12、判别法 ) 若交错级数满足条件:则级数; ),2, 1() 11nuunn,0lim)2nnunnnu11) 1(收敛 , 且其和 ,1uS 其余项满足.1nnur,2, 1,0nun设定义定义第34页/共59页第三十五页，共60页。36证证: )()()(21243212nnnuuuuuuS)()()(1222543212nnnuuuuuuuS1u是单调递增(dzng)有界数列,nS212limuSSnn又)(limlim12212nnnnnuSSnnS2lim故级数(j sh)收敛于S, 且,1uS :的余项nS0nu2nnSSr)(21nnuu21nnnuur故S第35页/共59页第三十

13、六页，共60页。37收敛(shulin)收敛(shulin)nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)21nnnnn10) 1(104103102101) 31432收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?;1) 11nn;!1)21nn.10) 31nnn发散收敛收敛nnu101第36页/共59页第三十七页，共60页。38) 12() 1(1nnn解解 设 0121xxfx由 02ln2112xxxf知 0 xxf单调(dndio)减少，从而有 , 2, 111nunfnfunnlimlim( 21)0nnnnu所以(suy)，交错级数) 12() 1(1

14、nnn收敛(shulin)。第37页/共59页第三十八页，共60页。39定义定义: 对任意对任意(rny)项级数项级数,1nnu若若原级数收敛(shulin), 但取绝对值以后的级数发散, 111) 1(nnn,!1) 1(11nnn1110) 1(nnnn1nnu收敛 ,1nnu则称原级数1nnu为条件收敛 .均为绝对收敛.例如例如 ：绝对收敛绝对收敛 ；则称原级数条件收敛条件收敛 .nu可正可负可为零。第38页/共59页第三十九页，共60页。40证证: 设1nnunv),2,1(n根据(gnj)比较审敛法显然(xinrn),0nv1nnv收敛,收敛12nnvnnnuvu 2,1nnu1nn

15、u也收敛)(21nnuu 且nv,nu收敛 ,令第39页/共59页第四十页，共60页。41;sin) 1 (14nnn证证: (1),1sin44nnn而141nn收敛(shulin) ,14sinnnn收敛(shulin)因此14sinnnn绝对收敛 .第40页/共59页第四十一页，共60页。42解解,2nnenunnnulim11e因此(ync)12) 1(nnnen12) 1(nnnen收敛(shulin),绝对(judu)收敛.) 1()2(12nnnen第41页/共59页第四十二页，共60页。431111. 1nnnn分析：此为交错级数，是否绝对分析：此为交错级数，是否绝对(judu

16、)收敛用正项级数判别收敛用正项级数判别法，关键是将通项绝对值如何(rh)放大或缩小。nlim又nunnn11lim0nnuu1nunn1nn11121nnv解：解：原级数条件收敛！1而nnv是发散的级数，即原级数非绝对收敛第42页/共59页第四十三页，共60页。441112.( 1)ln(1)nnnnnun0) 1ln(1) 1ln(1nun1)2ln(1nun条件收敛11) 1ln(1) 1(nnn:解) 1ln(1nun11)1ln(1nn即发散1) 1ln(1nn例例2：判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是：判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是(hi shi)发散。发散。即原级数非绝对(

17、judu)收敛第43页/共59页第四十四页，共60页。45)0(1) 1(. 31anannn:解aannauunnnnnn1) 1(limlim11;,1级数发散时当 a;,1级数绝对收敛时当 a.) 1(,11条件收敛级数时当nnna例例2：判断：判断(pndun)下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散。下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散。第44页/共59页第四十五页，共60页。461114.( 1)23nnnn:解021limnnu发散11321) 1(nnnn例例2.判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是(hi shi)发散。发散。第45页/共59页第

18、四十六页，共60页。47证明下列各题.,) 1 (112绝对收敛则收敛若nnnnnuu:证明12122nununn,11212收敛和而nnnnu.1绝对收敛nnnu2122baab第46页/共59页第四十七页，共60页。48收敛则存在若12,lim)2(nnnnuun:证明,lim2存在nnunMunMn2, 0 使存在,2nMun收敛而12nnM收敛1nnu收敛即1nnu第47页/共59页第四十八页，共60页。491. 利用部分和数列的极限(jxin)判别级数的敛散性2. 利用(lyng)正项级数审敛法必要条件0limnnu不满足发 散满足比值审敛法 limn1nunu根值审敛法nnnuli

19、m1收 敛发 散1不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限1第48页/共59页第四十九页，共60页。50为收敛(shulin)级数1nnu设Leibniz判别(pnbi)法:01nnuu0limnnu则交错级数nnnu1) 1(收敛概念:,1收敛若nnu1nnu称绝对收敛,1发散若nnu条件收敛1nnu称第49页/共59页第五十页，共60页。51设正项级数(j sh)1nnu收敛(shulin), 能否推出12nnu收敛 ?提示提示:nnnuu2limnnu lim0由比较判敛法可知12nnu收敛 .注意注意:反之不成立.例如,121nn收敛 ,11nn发散 .第50页/共59页第五十一

20、页，共60页。52 作业作业(zuy) P268 1 (1), (3), (5) ; 2 (2), (3), (4) ; 3 (1), (2) ; 4 (1), (3), (5), (6) ; 5 (2), (3), (5)第51页/共59页第五十二页，共60页。53),3,2, 1(0nun设, 1limnunn且则级数(j sh).() 1(11111nnuunn(A) 发散 ; (B) 绝对(judu)收敛;(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.分析分析:, 1limnunn由,11nun知 (B) 错 ;)(2111uunS又)(3211uuC)(4311uu)(541

21、1uu)() 1(1111nnuun11111) 1(nunu第52页/共59页第五十三页，共60页。54,Zn,nnvku 都有 1,1nnu 21nnv且存在(cnzi),ZN对一切(yqi),Nn 有1、 若级数（2)则级数(1)2、 若级数（1）则级数（2）证证:设对一切和令nSn则有收敛 ,也收敛 ;发散 ,也发散 .分别表示级数（1）和级数（2）的部分和, nnvku 两个正项级数, (常数 k 0 ),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨第53页/共59页第五十四页，共60页。551、 若级数(j sh)1nnv则有nn lim因此(ync)对一切,Zn有nS由定理(dngl) 1 可知,1nnu则有2、 若级数1nnu,limnnS因此,limnn这说明级数1nnv也发散 .knSnk也收敛 .发散,收敛,级数则有第54页/共59页第五十五页，共60页。56,1时当poyx)1(1 pxyp1234由图可知(k zh)nnppxdxn11pppnnS131211nnppxdxxdx1211npxdx11)11 (1111pnp111p,有界即ns.级数收敛则 P第55页/共59页第五十六页，共60页。57, 1p因为(yn wi)当nxn1,11ppxn故nnppxnn1d11nnpxx1