2020届江苏省高三上学期八校联考数学(理)试题

1、页1第江苏省 20192020 学年高三上学期八校联考数学理试卷201910 一、填空题 （本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1已知集合a1 ，b1 ，5，则 aub答案： 1，5 2i 是虚数单位，复数1 5i1 i答案：2i33如图伪代码的输出结果为答案： 11 4为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在50，150中，其频率分布直方图如图所示已知在50，75)中的频数为100，则 n 的值为答案： 1000 5某校有 a，b 两个学生食堂，若a，b，c 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人在同一个

2、食堂用餐的概率为答案：146已知是第二象限角，其终边上一点p(x，5)，且2cos3，则 x 的值为答案： 2 7将函数sin()3yx的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变） ，再将所得的图像向左平移3个单位，得到的图像对应的解析式是答案：1sin()26yxs1for i from 1 to 4 s s+iend for print s 页2第8已知函数23log (1)3( )213xxxf xx，满足( )3f a，则a答案： 7 9已知实数a，b 满足224549aabb，则 ab 最大值为答案：2 310已知0，4，且1cos43，则44sin ()sin ()44答

3、案：6311直角 abc 中，点 d 为斜边 bc 中点， ab6 3，ac 6，1aeed2u uu ruuu r，则ae ebu u u r u uu rbacde答案： 14 12已知奇函数( )f x满足(1)(1)fxfx，若当x(1， 1)时，1( )lg1xf xx且(2019)1fa(0a1)，则实数a答案：21113已知 a0，函数( )xf xae ，( )lng xeaxb(e 为自然对数的底数） ，若存在一条直线与曲线( )yf x和( )yg x均相切，则ba最大值是答案： e14若关于x的方程222(2)xxa xaexe 有且仅有3 个不同实数解，则实数a的取值范

4、围是答案：0a或1a二、解答题 （本大题共6 小题，共计90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）15 （本小题满分14 分）已知集合a22log ( 4159)x yxxxr，b1x xmxr，（1）求集合a；（2）若 p：xa，q：xb，且 p 是 q的充分不必要条件，求实数m 的取值范围解： （1） 集合a即为函数22log ( 4159)yxx定义域，即需241590 xx-2 分，即241590,xx页3第即 (3)(43)0 xx-5 分，得3( ,3)4a-7 分（2）由111,11xmxmxmxmxm或即或，-9 分则1,)(,1bmm-1

5、0 分因为 p 是 q的充分不必要条件，所以a是b的真子集 -11 分即需31314mm或得144mm或-13 分所以实数m 的取值范围是1(,4,)4-14 分16 （本小题满分14 分）如图，在四棱锥pabcd 中， pd底面 abcd ，底面 abcd 是直角梯形， dcab， bad 90 ，且 ab 2ad 2dc 2pd，e 为 pa 的中点（1）证明： de平面 pbc；（2）证明： de平面 pab证明：（1）设 pb 的中点为f，连结 ef、cf，ef ab，dcab，所以 efdc，-2 分 ，且 efdc12ab故四边形cdef 为平行四边形，-4 分可得 edcf-5分

6、又 ed平面 pbc， cf平面 pbc，-6 分故 de平面 pbc-7分注： （证面面平行也同样给分）（2）因 为 pd底面 abcd，ab平面 abcd ，所以 ab pd又因为 abad，pdiadd，ad平面 pad，pd平面 pad，所以 ab平面 pad-11 分ed平面 pad，故 edab-12 分又 pdad，e 为 pa 的中点，故edpa；-13 分paiaba，pa平面 p ab，ab平面 pab，所以 ed平面 pab-14 分17 （本小题满分14 分）在 abc 中，角 a、 b、c 的对边分别为a，b，c已知 cosc35（1）若9cb ca2uu u r u

7、u u r，求 abc 的面积；（2）设向量xr (b2sin2，3)，yu r(cosb，bcos2)，且xryu r，b5 3，求 a 的值页4第解（ 1）由 cb ca92，得 abcosc92 2 分又因为 cosc35，所以 ab92cos c152 4分又 c 为 abc 的内角，所以sinc45 所以 abc 的面积 s12absinc3 6 分（2）因为 x/y，所以 2sinb2cosb23cosb，即 sinb3cosb8 分因为 cosb0 ，所以 tanb3因为 b 为三角形的内角，0b，-9 分所以 b3 10 分所以331443 3sinsin()sincoscos

8、sin252510abcbcbc-12 分由正弦定理，5 343 3sinsin43 33102abaaab-14 分18 （本小题满分16 分）已知梯形abcd 顶点 b，c 在以 ad 为直径的圆上，ad 4 米（1）如图 1，若电热丝由三线段ab，bc，cd 组成，在ab ，cd 上每米可辐射1 单位热量，在bc上每米可辐射2 单位热量，请设计bc 的长度，使得电热丝的总热量最大，并求总热量的最大值；（2）如图 2，若电热丝由弧?ab ，?cd 和弦 bc 这三部分组成，在弧?ab ，?cd 上每米可辐射1 单位热量，在弦 bc 上每米可辐射2 单位热量，请设计bc 的长度，使得电热丝辐

9、射的总热量最大图 1 图 2 【解】设，-1 分（1），-2 分，-3 分总热量单位-5 分当时，取最大值，此时米，总热量最大9（单位） .-6 分答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为9 单位 .-7 分（2）总热量单位，-10 分( )48sing-11 分页5第令，即，因，所以，-12 分当时，为增函数，当时，为减函数， -14 分当时，取最大值，此时米.-15 分答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大.-16 分19 （本小题满分16 分）设常数ar，函数2( )2xxaf xa（1）当 a1 时，判断( )f x在 (0，)上单调性，并加以证明；（2）当 a0 时，研究

10、( )f x的奇偶性，并说明理由；（3）当 a0 时，若存在区间m，n(mn)使得( )f x在m，n上的值域为 2m，2n，求实数a 的取值范围解(1)1a时，12212( )1,(0,),2121xxxf xx x且12xx21121212222(22 )()()02121(21)(21)xxxxxxf xf x所以( )yf x 在 (0,) 上递减。-3 分法二：(0,)x，22( )2 ln 20(21)xxfx，所以( )yf x 在 (0,) 上递减。（2）0a时( )1f x满足()( )1fxf x，( )yf x 为偶函数。 -4 分1a时21( ),21xxf x定义域0

11、 x x， 且2112()( )2112xxxxfxf x，( )yf x 为奇函数。 -6分01aa且时，定义域为2logx xa 因21,log0aa，定义域不关于原点对称-7 分，因此( )yf x 既不是奇函数也不是偶函数。-8 分（3）22( )122xxxaaf xaa当0a时，( )yf x 在2(log,)a和2(,log)a 上递减则2122(*)2122nmmnaaaa两式相减得222 (22 )22222(2)(2)222(2)(2)2nmnmnmmnnmnmnmaaaaaaaaaaaaa即得2再代入得（*）1(2)2 ,1(21)(21)2nnmnaa此方程有解，如21

12、,log 3mn因此1a满足题意。 -11 分页6第当0a时，( )yf x 在 (,) 递增，有题意( )yf x 在 , m n 上的值域为 2 ,2 mn知2122(*)2122mmnnaaaa即,m n 是方程2122xxaa的两根即方程2(2 )(1)20 xxaa有两不等实根，令 20,xt即2(1)0tata有两不等正根。-13 分即需2121 2(1)4032 232 210132 2000aaaattaaaat ta或-15 分综上1( 32 2,0)a-16分20 （本小题满分16 分）设函数( )lnbf xaxxx(x0，a，br)（1）当 b0 时，( )f x在1，

13、)上是单调递增函数，求a 的取值范围；（2）当 ab1 时，讨论函数( )f x的单调区间；（3）对于任意给定的正实数a，证明：存在实数0 x，使得0()0f x解： (1) 当0b=时，( )lnf xaxx ；因( )f x 在 1,) 上是单调递增函数，则1( )0fxax ，即1ax对1,)x恒成立，则max1()ax 1 分而当1,)x，11x,，故1a故 a的取值范围为1,) 3 分(2) 当1ab时，1lnafxaxxx，2222111(1)(1)( )aaxxaxaxafxaxxxx当a0时，令( )0fx，得(0,1)x，令( )0fx，得(1,)x，则( )fx 的单调递增

14、区间为(0,1) ，递减区间为(1,) ； 5 分当102a时，21(1)()( )aa xxafxx. 令( )0fx得，01x，或1axa，令( )0fx得，11axa，则( )fx的单调递增区间为(0,1)，1(,)aa，递减区间为1(1,)aa； 7 分当12a时，22(1)( )02xfxx ，当且仅当1x取“ =”.页7第则( )f x 的单调递增区间为(0,) ，无减区间 . 8 分当112a时，21(1)()( )aa xxafxx.令( )0fx得，10axa，或1x，令( )0fx得，11axa，则( )fx 的单调递增区间为(0,1)aa， (1,) ，递减区间为1(,1

15、)aa； 9 分 5 当1a时，21(1)()( )aa xxafxx，令( )0fx得，1x，令( )0fx得，01x，综上所述，当a0时，单调递增区间为(0,1)，递减区间为(1,)；当102a时，单调递增区间为(0,1) ，1(,)aa，递减区间为1(1,)aa；当12a时，单调递增区间为(0,) ，无减区间；当112a时，单调递增区间为(0,1)aa， (1,) ，递减区间为1(,1)aa；当1a时，单调递增区间为(1,) ，递减区间为(0,1) ， 10 分(3)先证 ln2xx . 设( )ln2p xxx ,0 x,则111( )xp xxxx，(0,1)x，0y，则( )p x

16、 在(0,1)x单调递增；(1,)x，0y，则( )p x 在(0,1)x单调递减；则( )(1)20p xp,，故 ln2xx . 12 分取法 1：取0 x =11x，其中2111|()a bxa为方程2|0axxb的较大根 . 因0 x =111x，则00|bbbxx，因0 x =111xx ，则00112|2|0axxbaxxb，故000000()ln| 20bf xaxxaxbxx所以对于任意给定的正实数a，存在实数0 x ，使得0()0f x 16 分取法 2：取0 x =2| 2()1ba，则20| 22()2 |baxaba，则00000000000000(2)| (1)()l

17、n20 xxaxbbxxbbf xaxxaxxxxxx.对于任意给定的正实数a，所以存在实数0 x ，使得0()0f x 16 分附加题21 【选做题】本题包括,a b c三小题，每小题10 分. 请选定其中两题（将所选题空白框涂黑），并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤a.选修 4 - 2：矩阵与变换 已知矩阵m121a，其中ra，若点(1,7)p在矩阵m的变换下得到点(15,9)p， （1）求实数a的值；页8第（2）求矩阵m的特征值及其对应的特征向量. 解： （ 1）由121a17=159，1715a，解得2a. 4 分（ 2

18、）由（ 1）知m1221，则矩阵m的特征多项式为212( )(1)(1)42321f令0)(f，得矩阵m的特征值为1与 3. 6 分当1时，220220 xyxy，解得0 xy矩阵m的属于特征值1的一个特征向量为11; 8 分当3时，220220 xyxy，解得xy矩阵m的属于特征值3 的一个特征向量为11. 10分b.选修 4 - 4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线12:12xtlyt（t为参数）与圆2:2cos2 sin0c的位置关系解：把直线方程12:12xtlyt化为普通方程为2xy3分将圆:c22cos

19、2 sin0化为普通方程为22220 xxyy，即22(1)(1)2xy6分圆心c到直线l的距离222d-8 分所以直线l与圆c相切 . 10分c.选修 4 - 5：不等式选讲 已知 a、 b、c 是正实数，求证：a2b2b2c2c2a2bacbac. 法一：因为, ,a b c均为正数，则22222222222222222222222222222222222222222()2()22abababcbccbcbcbabcabcabcbcacacaabcacabbcaabccacacababbggg同理页9第法二：由abbc2bcca2caab20 ，得 2a2b2b2c2c2a22abbcca

20、0 ，a2b2b2c2c2a2bacbac.(10 分) 【必做题】第22，23 题，每小题10 分，计 20 分. 请把答案写在答题纸的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p，且乙投球2 次均未命中的概率为161. （）求乙投球的命中率p；（）若甲投球1 次，乙投球2 次，两人共命中的次数记为，求的分布表和数学期望. 解： （）设 “ 甲投球一次命中” 为事件 a，“ 乙投球一次命中” 为事件 b 由题意得1611122pbp解得43p或45（舍去），所以乙投球的命中率为43-3 分（）由题设和（）知41,43,21,21bpbpapap可能的取值为0， 1，2，3，-4分故321412102bbpapp-5分3272141432412132