2020届四川省宜宾市第四中学高三三诊模拟考试数学(文)试题(解析版)

1、2020 年春四川省宜宾市第四中学高三三诊模拟考试文科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第 i 卷 选择题（ 60 分）一、选择题：本题共12小题，每小题 5 分，共 60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1.已知集合0,2 ,1,1,0,1,2ab，则ab（）a. 0,2b. 1,2c. 0d. 2, 1,0,1,2【答案】

2、a 【解析】【分析】直接利用集合的交集运算，找出公共元素，即可得到结果.【详解】0,2 ,1,1,0,1,2abq0,2abi.故选： a.【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.在复平面内，已知复数z 对应的点与复数1 i对应的点关于实轴对称，则zi（）a. 1ib. 1ic. 1id. 1i【答案】 c 【解析】【分析】先求出复数z,再求zi得解.【详解】由题得z=1-i ,所以1iii11i1iz.故选 c【点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数除法的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力 .3.若干年前， 某教师刚退休的月退休金为6000 元，月退休金各种用

3、途占比统计图如下面的条形图. 该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图. 已知目前的月就医费比刚退休时少 100 元，则目前该教师的月退休金为（）. a. 6500 元b. 7000 元c. 7500 元d. 8000 元【答案】 d 【解析】【分析】设目前该教师的退休金为x 元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可【详解】 设目前该教师的退休金为x 元，则由题意得：600015% x10% 100解得 x8000故选 d【点睛】 本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题4.等差数列na的前 9 项的和等于前4 项的和，若141,0kaa

4、a，则 k=（）a. 10b. 7c. 4d. 3 【答案】 a 【解析】【分析】由等差数列的性质可得70a，然后再次利用等差数列的性质确定k 的值即可 .【详解】由等差数列的性质可知：9579468750ssaaaaaa,故70a，则410720aaa，结合题意可知：10k.本题选择 a 选项 .【点睛】本题主要考查等差数列的性质及其应用，属于中等题.5.将三个数0.37，70.3，ln 0.3从小到大排列得( ) a. 0.37ln 0.370.3b. 70.3ln 0.30.37c. 70.30.3ln 0.37d. 0.377ln 0.30.3【答案】 b 【解析】【分析】分别与中间值

5、0和 1 比较【详解】由指数函数性质得700.31，0.371，ln0.30，70.3ln 0.30.37故选： b.【点睛】本题考查幂与对数的大小比较，解题时不同类型的数一般借助于中间值如0，1 等比较6.函数( )sin(2)2f xx的图象以下说法正确的是（）a. 最大值为1，图象关于直线2x对称b. 在0,4上单调递减，为偶函数c. 在3,88上单调递增，为偶函数d. 周期为，图象关于点( ,0)对称【答案】 a 【解析】【分析】根据诱导公式，将该函数化简为( )cos2f xx，分析其性质，即可选出正确答案.【详解】( )sin(2)cos22f xxx，其最大值1，为偶函数，周期为

6、.令2,()xkkz，得,2kxkz则该函数的对称轴为,2kxkz，选项 a 正确；由222kxk得,2kxkkz，则该函数的单调递增区间为, ,2kkkz，选项 b 错误；单调递减区间为, ,2kkkz，选项 c 错误；令2,()2xkkz，得,24kxkz，则该函数的对称中心为(,0),24kkz，选项 d 错误 .故选： a.【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式，由三角函数的解析式判断其性质，属于中档题.7.已知sinyx ，在区间,上任取一个实数x，则y12的概率为（）a. 712b. 23c. 34d. 56【答案】 b 【解析】【分析】求出满足12y的角x的范围，由长度比，即可得到

7、该几何概型的概率.【详解】1sin,2yxxq，5,66x，则满足12y的概率为：5()()266()3p.故选： b.【点睛】本题考查了三角不等式的求解，几何概型的计算，属于中档题.8.若3sin()25，则 cos2 =（）a. 725b. 2425c. 725d. 2425【答案】 c 【解析】【分析】根据题意先求出3cos5然后再用倍角公式求解即可得到结果【详解】由条件得3sincos252237cos22cos121525故选 c【点睛】 本题考查诱导公式和倍角公式的应用，考查变形和计算能力，解题的关键是正确进行公式的变形，属于基础题 9.某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体积为43

8、，则图中x的值为（）a. 2b. 2c. 1d. 12【答案】 c 【解析】【分析】画出该三视图对应的直观图，再由棱锥的体积公式得出x的值 . 【详解】该三视图对应的直观图是三棱锥sabc，如下图所示由棱锥的体积公式得：311442223233s abcvxxxx，解得：1x故选： c【点睛】本题主要考查了已知三视图求体积，属于中档题. 10. 对于函数21xfxe的图象，下列说法正确的是（）a. 关于直线1x对称b. 关于直线yx对称c. 关于点1,0对称d. 关于点0,1对称【答案】 d 【解析】【分析】由21111xxxefxee，设11xxeg xxre,可得g x为奇函数 ,由图像平

9、移可得答案.【详解】211 1111xxxefxee，令11xxeg xxre，则1111xxxxeegxg xee，g x为奇函数，其图象关于原点对称，将g x图象向上平移1个单位长度可得fx图象，所以fx图象关于0,1对称 .故选： d【点睛】本题考查函数图像的平移和函数的奇函数的图像的对称性，属于基础题.11.已知函数2( )(0)xf xxex与2( )ln()g xxxa的图象上存在关于y轴对称的点， 则实数a的取值范围是（）a. (, )eb. 1(, )ec. 1(, )eed. 1(, )ee【答案】 a 【解析】分析：函数2(0)xfxxex与2lng xxxa的图象上存在关

10、于y轴对称的点 等价于存在0 x 使0fxgx 即ln0 xexa在,0上 有 解 ， 从 而 化 为 函 数lnxm xexa,0上有零点 进而可得结果 .详解 若函数20 xfxxex与2lng xxxa图象上存在关于y轴对称的点 则等价为fxgx在0 x时方程有解，即ln0 xexa在,0上有解，令lnxm xexa则lnxm xexa在其定义域上是增函数且 x时0m x若0a时xa时，0m x故ln0 xexa在,0上有解 当0a时则ln0 xexa在,0上有解可化为，0ln0ea即ln1a 故0ae综上所述 ,ae故选 a.点睛 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中

11、学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，函数2(0)xfxxex与2lng xxxa的图象上存在关于y轴对称的点，转化为存在0 x使0fxgx是解题的关键 .12. 已知直线1xy与椭圆22221(0)xyabab交于,p q两点，且opoq（其中o为坐标原点） ，若椭圆的离心率e满足3232e，则椭圆长轴的取值范围是（）a. 5,6b. 56,22c. 5 3

12、,4 2d. 5,32【答案】 a 【解析】【分析】联立直线方程与椭圆方程得（a2+b2） x22a2x+a2a2b20， 设 p （x1， y1） ， q （x2， y2） ， 由 opoq， 得?opoquuu v u uu v0，由根与系数的关系可得：a2+b22a2b2由椭圆的离心率e满足33e22，化为2221132aba，即可得出【详解】 联立222211xyxyab得： （ a2+b2）x22a2x+a2a2b20，设 p（x1，y1） ，q（x2，y2） 4a44（a2+b2） （a2a2b2） 0，化为： a2+b21x1+x22222aab，x1x222222aa bab

13、opoq，?op oquuu v uu u v x1x2+y1y2x1x2+（x11） （x21） 2x1x2（ x1+x2）+10，222222aa bab2222aab+10化为 a2+b22a2b2 b22221aa椭圆的离心率e满足33e22，21132e，2221132aba，211113212a，化为54a26解得：52a6满足 0椭圆长轴的取值范围是5，6故选 a【点睛】 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系、一元二次方程的根与系数的关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题第 ii 卷 非选择题（ 90分）二、填空题：本题共4 小题，每小题 5

14、分，共 20分.13.若实数, x y满足约束条件103030 xyxyx，则 23xy最大值为 _.【答案】6【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，23zxy表示直线在y轴上截距的13，只需求出直线在y轴上的截距最小值即可.【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线23zxy过点a时，在y轴上截距最小，又3,0a，此时max236z.故答案为：6.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题.14. 已知函数( )xf xeax 的图象在点(0,(0)f处的切线为21yx，a_【答案】 1【解析】【分析】对函数求导，得( )xfx

15、ea.根据导数的几何意义，列出方程，即可解得a的值 .【详解】由( )xf xeax 得( )xfxea，( )f xq的图象在点点(0,(0)f处的切线为21yx，(0)12fa，则1a.故答案为： 1.【点睛】本题考查了导数的几何意义，函数的求导公式，属于基础题.15. 已知4sin3cos0，则2sin 23cos的值为 _.【答案】2425【解析】【分析】由已知式求出3tan4，利用同角三角函数间的平方关系和商数关系，将2sin 23cos化为22tan3tan1，代入即可求值.【详解】4sin3cos0q，3tan4，则22222sincos3cossin23cossincos22t

16、an3tan1232 ()343()142425.故答案为：2425.【点睛】 本题考查了同角三角函数间的平方关系和商数关系，正、余弦其次式的计算，二倍角的正弦公式，属于中档题 .16. 在边长为2 3的菱形abcd中，60a，沿对角线bd折起，使二面角abdc的大小为120，这时点,a b c d在同一个球面上，则该球的表面积为_.【答案】28【解析】【分析】取bd的中点e,连接ae、ce，可知外接球的球心在面aec 中，再作ogce，分别求出og与 cg 的长度后即可得解.【详解】如图 1，取bd的中点e,连接ae、ce，由已知易知面aec面bcd，则外接球的球心在面aec 中 .由二面角

17、abdc的大小为120可知120aeco.在面 aec 中，设球心为o，作ogce，连接oe，易知o在面bcd上的投影即为g，oe平分aec，g为bcd的中心，22cgge，tan603oggeo，227ocgcgo，2=47=28s球.故答案为：28【点睛】本题考查了立体图形外接球体积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题.三解答题：共 70分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 .第 1721题为必考题， 每个试题考生都必须作答 .第 22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60 分.17. 随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机app软件层出不穷，现从某市使用a

18、和b两款订餐软件的商家中分别随机抽取100 个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：(1)已知抽取的100 个使用a未订餐软件的商家中，甲商家的“平均送达时间”为18 分钟，现从使用a未订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20 分钟的商家中随机抽取3 个商家进行市场调研，求甲商家被抽到的概率；(2)试估计该市使用a款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数；(3) 如果以 “ 平均送达时间 ” 的平均数作为决策依据，从a和b两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？【答案】（ 1）12； （2）40； （3）选b款订餐软件 . 【解析】【分析】运用列举法给出所

19、有情况，求出结果由众数结合题意求出平均数分别计算出使用a款订餐、使用b款订餐的平均数进行比较，从而判定【详解】（1）使用a款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20 分钟的商家共有100 0.006 106个，分别记为甲，, , , ,a b c d e从中随机抽取3 个商家的情况如下： 共 20 种. ,a b甲，, a c甲，,a d甲，,a e甲，,b c甲，, b d甲，,b e甲，,c dc e甲，甲，,d e甲，, ,a b c, ,a b d, ,a b e, ,a c d, ,a c e, ,a d e, ,b c d, ,b c e, ,b d e, ,c d e. 甲商家

20、被抽到的情况如下：共10 种, a b甲，,a c甲，,a d甲，,a e甲，,b c甲，, b d甲，,b e甲，,c d甲，, c e甲，,d e甲，记事件a为甲商家被抽到，则101202p a. （2）依题意可得，使用a款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为55，平均数为150.0625 0.34350.1245 0.0455 0.4650.0440. （3）使用b款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为150.0425 0.235 0.5645 0.1455 0.04650.023540所以选b款订餐软件【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，平均数和众数，古典概率等基础知识，考

21、查了数据处理能力以及运算求解能力和应用意识，属于基础题18. 如图，在四棱锥pabcd 中，pad和bcd都是等边三角形，平面pad平面 abcd，且24adab，2 3bc（1）求证： cdp a；（2）e，f 分别是棱pa，ad 上的点，当平面bef/平面 pcd 时，求四棱锥cpefd的体积【答案】（ 1）证明见解析（2）152【解析】【分析】（1）由已知即可证得：abbd，且30adb，再利用bcdv是等边三角形即可证得：cdad，再利用面面垂直的性质即可证得：cd平面pad，问题得证 .（2）利用平面bef/平面 pcd 可得： bf/cd，结合cdad可得bfad，即可求得：df=

22、3，从而求得15 34pefds四边形，利用（1）可得四棱锥cpefd的高cd2 3，再利用锥体体积公式计算即可.【详解】证明： （1）因为bcd是等边三角形，所以2 3bcbdcd又4ad，2ab，所以222abbdad，所以abbd，且30adb又bcdv是等边三角形，所以306090adcadbbdcoo，所以cdad又平面pad平面abcd，平面pad i平面abcdad，cd平面abcd所以cd平面pad所以 cdp a（2）因为平面bef/平面 pcd ，所以 bf/cd，ef/pd，又cdad所以bfad又在直角三角形abd 中， df =2 3cos303，所以1aeaf所以1

23、115 344 sin601 1 sin60224pefds四边形由（ 1）知cd平面pad，故四棱锥cpefd的体积11532pefdvscd四边形【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质、线线垂直的判定、面面平行的性质及锥体体积计算公式，还考查了转化思想及空间思维能力，属于中档题.19. 在abcv中，内角abc， ，所对的边分别为abc， ，已知sincos2sincosabcbbab.（1）求a；（2）设5b，10 3abcsv.若d在边ab上，且3addb，求cd的长 .【答案】（ 1）3； （2）31.【解析】【分析】（1）根据正弦定理变换互化为sincos2sinsinsincoss

24、inabcbbab，再化简求得1cos2a，求角a；（2）根据面积求8ab，adc中，根据余弦定理求cd的长 .【详解】（ 1）因为sincos2sincosabcbbab，由正弦定理可得sincos2sinsinsincossinabcbbab，化简得：sincos2sincoscos sinabcaab，所以sincoscossin2sincosababca，即sin2sincosabca.又因为abc，所以sinsinsinabcc.则sin2sincoscca.因0c，所以 sin0c，所以1cos2a.因为0a，所以3a.（2）因为115 3sin5sin2234abcsab aca

25、ababv，因为10 3abcsv，所以5 310 34ab，即8ab，因为3addb，即34adab，所以6ad.在acdv中，563acada，由余弦定理得：2222coscdacadac ada，则212536256312cd，所以31cd.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于基础题型，一般边和角在一个是式子的时候，可以采用正弦定理边角互化，转化为三角函数恒等变形问题.20.已知函数( )ln,()af xxarx.（）求函数( )f x 在区间(0, e上的最小值；判断函数( )f x 在区间2,)e上零点的个数 . 【答案】 (1)当ae时，(

26、 )f x 的最小值为lnaee 当ae时，( )fx 的最小值为ln1a;(2)见解析 .【解析】分析： 求导后分类讨论a的取值，结合单调性求出最小值分离参量，转化为图像交点问题详解： （）因为0 x221axafxxxx当0a时，0fx，所以fx在20,e上是增函数，无最小值；当0a时，又0fx得xa，由0fx得xafx在0,a上是减函数，在, a上是增函数，若ae，则fx在0,e上是减函数，则minlnafxfeee若ae，则fx在0,a上是减函数，在,a e上是增函数，minln1fxf aa综上：当ae时，fx的最小值为lnaee 当ae时，fx最小值为ln1a（）由ln0afxxx

27、得lnaxx令21ln ,g xxx xe，则ln1gxx，由0gx得1xe，由0gx得1xe，所以g x在211,ee上是减函数，在1,e上是增函数，且2212110,0ggeeee，且211ggee，当x时，g x所以，当1ae时，fx无有零点；当1ae或22ae时，fx有 1 个零点；当221aee时，fx有 2 个零点 . 点睛：本题考查了含有参量的导数题目，依据导数，分类讨论参量的取值范围，来求出函数的单调性，从而得到最小值，在零点个数问题上将其转化为两个图像的交点问题21. 在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆22:143xyc的左顶点为a，右焦点为f，p，q为椭圆c上两点，圆222

28、:()0oxyrr. （1）若pfx轴，且满足直线ap与圆o相切，求圆o的方程；（2）若圆o的半径为2，点p，q满足34opoqkk，求直线pq被圆o截得弦长的最大值. 【答案】（ 1）223xy（2）10【解析】【分析】（1）根据题意先计算出p点坐标，然后得到直线ap的方程，根据直线与圆相切，得到半径的大小，从而得到所求圆的方程； （2）先计算pq斜率不存在时，被圆o截得弦长，pq斜率存在时设为ykxb ，与的椭圆联立，得到12xx和12x x，代入到34opoqkk得到,k b的关系，表示出直线pq被圆o截得的弦长，代入,k b的关系，从而得到弦长的最大值.【详解】解： （1）因为椭圆c的

29、方程为22143xy，所以( 2,0)a，(1,0)f，因为pfx轴，所以31,2p，根据对称性，可取31,2p，则直线ap方程为1(2)2yx，即220 xy-+=.因为直线ap与圆o相切，得2222512，所以圆的方程为2245xy.（2）圆o的半径为2，可得圆o的方程为224xy. 当pqx轴时，234opoqopkkk，所以32opk，22324yxxy得2167x，此时得直线pq被圆o截得的弦长为164212477.当pq与x轴不垂直时，设直线pq的方程为ykxb ，11,p xy，2212,0q xyx x，的首先由34opoqkk，得1212340 x xy y，即1212340

30、 x xkxbkxb，所以22121234440kx xkb xxb（*） . 联立22143ykxbxy，消去x得2223484120kxkbxb，在时，122834kbxxk，212241234bx xk代入（ *）式，得22243bk，由于圆心o到直线pq的距离为21bdk，所以直线pq被圆o截得的弦长为2222 481ldk，故当0k时，l有最大值为10. 综上，因为4 21107，所以直线pq被圆o截得的弦长的最大值为10.【点睛】本题考查根据直线与圆相切求圆的方程，直线与椭圆的交点，弦长公式，对计算能力要求较高，属于难题 .（二）选考题：共10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答 .如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22. 在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为13xtyt（t为参数），以o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线1c的极坐标方程为2cos， 点p是曲线1c上的动点， 点q在op的延长线