2020-2021学年浙江省衢州市高二(下)期末数学试卷

1、第 1 页，共 19 页2020-2021 学年浙江省衢州市高二（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共10 小题，共 40.0 分）1.(2021 浙江省衢州市 期末考试 )已知集合 ?= ?|-2 ? 1，?= ?|-1 ?2，则 ?= ()a. ?|- 2 ? 2b. ?|- 1 ? 1c. ?|- 2 ? -1d. ?|1 ? 2，则不等式?(?) 2的解集是()a. (- ,-1)b. (- ,-1)(5, +)c. (5, +)d. (- ,1) (3, +)8.(2021 浙江省衢州市 期末考试 )点 p，q 分别在圆?2+ (?- 3)2= 2和椭圆?24+?2= 1上，则 p，

2、q 两点间的最大距离是()a. 5 2b. 4 2c. 3 2d. 2 29.(2021 浙江省衢州市 期末考试 )长方体 ?- ?1?1?1?1， ? = ? = 1， ?1= 2，点 p 在长方体的侧面?1?1上运动， ? ?1，则二面角 ?- ? - ? 的平面角正切值的取值范围是()a. 0,14b. 0,12c. 14,12d. 12,110.(2021 浙江省衢州市 期末考试 )已知等差数列 ?满足： |?1| + |?2| + ? + |?| =|?1-12| + |?2-12| + ? + |?-12| = |?1+32| + |?2+32| + ? + |?+32| = 72

3、，则 n的最大值为 ()a. 18b. 16c. 12d. 8二、单空题（本大题共7 小题，共36.0 分）11.(2021 浙江省衢州市 期末考试 )已知直线 ?1： 3?+ 4? - 8 = 0和?2： 3? -? + 2 = 0，且?1/?2，则实数 ?=_ ，两直线 ?1与?2之间的距离为 _ 12.(2021 浙江省衢州市 期末考试 )在?中，内角a，b，c 所对的边分别为a，b，c，且 ?= 3，?= 7，?= 120 ，则 ? = _ ； ?的面积为 _ 13.(2021 浙江省衢州市 期末考试 )在九章算术中，底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图

4、所示，正视图中的虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为_ ，体积为 _ 14.(2021 浙江省衢州市 期末考试 )已知正实数a，b满足： ?+ ?= 1，则 ab 的最大值为_ ；1?+1+1?的最小值为 _ 第 3 页，共 19 页15.(2021 浙江省衢州市 期末考试 )斜率为 52的直线l经过双曲线?2?2-?2?2= 1(? 0, ? 0)的左焦点 ?1，与双曲线的左、右两支分别交于a，b两点，若线段?1? 的垂直平分线经过右焦点?2，则双曲线的离心率为_ 16.(2021 浙江省衢州市 期末考试 )平面向量 ?，? 满足 | ? | = 2，? ? = |2 ? - ? |，

5、向量?，? 的夹角为 ? ，则 cos2? 的最小值为 _ 17.(2021 浙江省衢州市 期末考试 )已知 a，? ，若对于任意的?-1,1，不等式|?2+ 3|?-?|+ ?| 3恒成立，则 ?2+ ?2的取值范围为 _ 三、解答题（本大题共5 小题，共74.0 分）18.(2021 浙江省衢州市 期末考试 )已知函数 ?(?) = 2?2? + 2 3?-1(? 0) ，若 ?(?) 的图象上相邻的两条对称轴之间的距离为?4() 求? 的值，并写出 ?(?) 在(0, ?) 上的一条对称轴方程；() 在?中，角 a，b，c 所对的边分别是a，b，c，若?(?2) = 1，?= 3，求?

6、+ ?的最大值19.(2021 浙江省衢州市 期末考试 )如图，在梯形abcd 中，?/?，? ?，四边形 cdef 为矩形，平面 ? 平面 abcd() 求证： ? ? ；() 若? = 2? = 2，? = ? = 3，求直线bf 与平面 abe 所成角的正弦值第 4 页，共 19 页20.(2021 浙江省衢州市 期末考试 )设数列 ?的前 n 项和为 ?， 2?- ?= 1(?)，?是等差数列，?1= 1，公差 ?0，且 ?2，?5，?14成等比数列() 求数列 ?和?的通项公式；() 设?= ?+1?+1，数列 ?的前 n 项和为 ?.若对任意的 ?，?+ 1 (2?- 1)? +?

7、2?+1恒成立，求实数m 的取值范围21.(2021 浙江省衢州市 期末考试 )已知椭圆c：?2?2+?2?2= 1(? ? 0)的右焦点为( 3,0)，离心率? = 22() 求椭圆 c的标准方程；第 5 页，共 19 页() 过点 ?(0,1)的直线 l 交椭圆 c 于 a、 b两点，直线 ?：? -2?= 0与椭圆 c 在第一象限的交点为q，若 2?= tan ?，求直线l 的方程22.(2021 浙江省衢州市 期末考试 )已知函数 ?(?) = ?2- ? + ?(?, ?).() 若函数 ?(?) 在区间 2,3 上不单调，求a 的取值范围；() 当?= 3，?= 1时，求函数 ?(

8、?) = ? + ?(?) 的值域；() 设? ? 0，若关于x的方程 |?(?)|= ?恰有三个不等实根，且函数?(?) =|?(?)| + ?的最小值为12?2，求?的值第 6 页，共 19 页答案和解析1.【答案】b 【知识点】 交集及其运算【解析】 解： ? = ?|-2 ? 1，?= ?|-1 ? 2，?= ?|- 1 ? 0) 的焦点坐标 (0,?2)可直接求解本题主要考查了抛物线的简单的性质，属于基础试题3.【答案】a 【知识点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】 解： 因为直线 ? ? ? ，且 ? ? ，根据面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平

9、面垂直所以由判断定理得?. 充分性成立， 若? ，直线 ? ? ? ，则直线 ? ? ，或直线 ?/? ，或直线 l 与平面 ? 相交不垂直， 必要性不成立，所以 ? ? 是? 的充分不必要条件故选：a根据充分条件和必要条件的定义，结合面面垂直的判定定理进行判断即可本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用空间面面垂直的判定定理和性质定理是解决本题的关键4.【答案】 d 第 7 页，共 19 页【知识点】 任意角的三角函数【解析】解： 利用任意角三角函数的定义，?=-45(35)2+(-45)2= -45，?=35(35)2+(-45)2=35，2?+ ?= 2 (-45) +35= -1 故

10、选： d利用任意角三角函数的定义，分别计算?和?，再代入所求即可得解本题主要考查了任意角三角函数的定义及其用法，属基础题5.【答案】 c 【知识点】 简单的线性规划【解析】 解：由约束条件作出可行域如图，联立 ? - ?- 1 = 0? + ?- 3 = 0，解得 ?(2,1)，由 ? = 2? + ? ，得 ?= -2? + ? ，由图可知，当直线?= -2? + ? 过 a 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为5故选： c由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题6.【答

11、案】 d 【知识点】 函数的解析式、函数图象的作法【解析】 解：根据题意，依次分析选项：对于 a， ?(?) =?5?2-?-2?， 其定义域为 ?|? 0， 有?(-?)=sin(-5?)2?-2-?=?5?2-?-2?= ?(?) ， ?(?)为偶函数，第 8 页，共 19 页在区间(0,?10)上， ? 0， 2-?- 2? 0，则 ?(?) 0，则 ?(?) 0，符合题意；故选： d根据题意，结合函数的图象依次分析选项，综合可得答案本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性的判断，属于基础题7.【答案】b 【知识点】 分段函数模型【解析】 解：因为函数?(?) = ?2-4? - 3,

12、?2?2(?-1), ? 2，当? 2时， ?(?) = ?2- 4?- 3 2， 即 ?2- 4?-5 0， 解得 ? 5， 故? 2时， ?(?) = log2(?-1) 2，即 log2(?- 1) log24，解得 ? 5，故 ? 5综上所述，不等式?(?) 2的解集是 (- ,-1)(5, +)故选： b分两种情况进行讨论，分别利用一元二次不等式以及对数不等式的解法求解即可本题考查了分段函数的应用，一元二次不等式以及对数不等式的解法，对于分段函数问题， 解题的方法一般是： 分类讨论或是数形结合，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题8.【答案】 c 【知识点】 椭圆的性质及几何

13、意义、圆锥曲线中的综合问题【解析】 解：如图，由圆 ?2+ (?- 3)2= 2，得圆心坐标为 ?(0, 3)，半径为 2第 9 页，共 19 页设?(?, ?)是椭圆?24+ ?2= 1上的点，|?| = ?2+ (?- 3)2= 4 - 4?2+ ?2-2 3? + 3 = -( 3? + 1)2+ 8，-1?1，?= -33时， q 与圆心 c 的距离的最大值为2 2? ，q 两点间的距离的最大值2 2 + 2 = 3 2故选： c由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出 q 的坐标， 由两点间的距离公式列式，化为关于q的纵坐标的函数，配方求得q到圆心的距离的最大值，即可求p，q两点间的距离的

14、最大值本题考查椭圆的定义与方程，考查两点间距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题9.【答案】 b 【知识点】 利用空间向量求线线、线面和面面的夹角【解析】 解：以点d 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设点?(?, 1，?)，?(1, 1，0)，?1(0,0，2)，?(1, 0，0) ，所以 ?1? ? ? ? ? ? ? ? = (1,1, -2),? ? ? = (?-1,1,-?)，因为 ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，则 ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? - 1 + 1 - 2?= ?+ 2?=0，故点 p 在平面 ?1?1?

15、 上的轨迹为由点c到 ?1的四等分点 (靠近 b 点) 的一条线段，点 p 在点 c 到 ?1的四等分点 ( 靠近 b 点) 移动的过程中，二面角?- ? -? 逐渐增大，所以当点p与点c重合时，二面角?- ? - ?最小，此时正切值为0，当点 p 在?1的四等分点 (靠近 b 点)时，二面角 ?-? - ? 最大，因为 ? 平面 ?1?1，又 ? ? 平面 ?1?1，所以 ? ?，又 ? ? ，所以 ?即为二面角 ?- ? - ? 的平面角，第 10 页，共 19 页则tan ?=?=14?1?=12综上可得，二面角?- ? -? 的平面角正切值的取值范围是0,12故选： b建立合适的空间直

16、角坐标系，设点?(?,1，?) ，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用平面向量垂直的坐标表示，求出点p 在平面 ?1?1? 上的轨迹，当点p 与点 c 重合时，二面角 ?- ? - ? 最小，点 p 在?1的四等分点 (靠近 b点)时，二面角 ?- ? - ?最大，分别求解正切值即可本题考查了二面角的取值范围的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题10.【答案】 c 【知识点】 等差数列的性质【解析】 解：由题意可得：此等差数列?不为常数列，且项数为偶数2?(? ?)，一定存在 k 使得 ? 0， ?+1 0，或

17、? 0不妨设 ?1 0，即 ? 0.且 ?-12 0，?+1 0，或 ? 0.不妨设 ?1 0，即 ? 0，且 ?-12 0，?+320，得 ? -32.同理可得 ?+1-120，求得 d 范围，化简 72 =|?1| + |?2| + ? + |?| = -?1- ?2- ? - ?+ ?+1+ ? + ?2?，进而得出结论本题考查了数列的单调性、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题11.【答案】 -42 第 11 页，共 19 页【知识点】 两条直线平行的判定、两平行直线间的距离【解析】 解： 直线 ?1：3?+ 4? -8 = 0和?2：3?-? + 2 =

18、0，且 ?1/?2，33=-?42-8，求得 ?= -4 两直线 ?1与?2之间的距离为|-8-2| 9+16= 2，故答案为： -4 ；2由题意利用两条直线安平行的性质，求得a 的值，再利用两条平行直线间的距离公式，计算求得结果本题主要考查两条直线安平行的性质，两条平行直线间的距离公式，属于基础题12.【答案】 5 15 34【知识点】 余弦定理、正弦定理【解析】 解：由余弦定理知：?2= ?2+ ?2- 2?，即 72= 32+ ?2- 2 3? ?120 = 9 + ?2+ 3? ，即 (?- 5)(?+ 8) = 0，故 ? = 5或? = -8( 舍去 )所以 ?=12?120=12

19、3 5 32=1534故答案是： 5；15 34根据余弦定理?2= ?2+ ?2- 2?求得 c 的值；由正弦定理?=12?求其面积本题考查正弦定理和余弦定理的应用，三角形的解法，是基本知识的考查13.【答案】 6 + 4 2 2 【知识点】 空间几何体的三视图【解析】 解：根据三视图转换为几何体的直观图：该几何体为底面腰长为 2，的等腰直角三角形，高为2 的直三棱柱；如图所示：第 12 页，共 19 页所以 ?表= 2 2 2 + 2 2 + 2 122 1 = 6 + 4 2；?=122 1 2 = 2故答案为： 6 + 4 2；2首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积和

20、表面积本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题14.【答案】142 【知识点】 基本不等式【解析】 解： 正实数 a，b 满足： ?+ ?= 1，1 = ?+ ? 2 ?，? 14，当且仅当“ ?= ?=12”时，“ = ”成立，?的最大值为14； 正实数 a，b 满足： ? + ?= 1，? + 1 + ?= 2，1?+1+1?=?+?+1(?+1)?=2(?+1)?2(?+1+?2)2= 2，当且仅当 ?+ 1 = ?= 1，即 ?= 0?= 1时，“ = ”成立1?+1+1?的最小值为2故答案为

21、：14；2用基本不等式可求得ab 的最大值；?+ ?= 1 ? + 1 + ?= 2可求得1?+1+1?的最小值本题考查基本不等式及应用，考查数学运算能力，属于中档题15.【答案】3 【知识点】 双曲线的性质及几何意义第 13 页，共 19 页【解析】 解： 线段 ?1? 的垂直平分线经过右焦点?2，|?2| = |?1?2| = 2? ，其中 c为双曲线的半焦距，由双曲线的定义知，|?1| - |?2| = 2? ，|?1| = 2?+ 2?= 2(?+ ?) ，设直线 l 的倾斜角为 ? ，则 ?= 52，?=23，?=12|?1|?1?2|=12?2(?+?)2?=23，? = 3? ，

22、即离心率 ? =?= 3故答案为： 3由中垂线的性质知|?2| = |?1?2|，由双曲线的定义知|?1| - |?2| = 2? ，设直线 l 的倾斜角为 ? ，由?=12|?1|?1?2|，可得关于a 和 c 的等量关系式，再由?=?，即可得解本题考查双曲线的定义与几何性质，离心率的求法，考查数形结合思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题16.【答案】15【知识点】 向量的数量积【解析】 解：由 | ? | = 2，? ? = |2 ? - ? |，得| ? |2?| ? |2cos2?= 4| ? |2-4| ? | ?| ? | ?+ | ? |2，整理得 (4?2?- 1) ?|

23、? |2+ 8| ? | ?- 16 = 0，由 = 64?2?+ 64 (4?2?-1) 0，解得 cos2?15cos2? 的最小值为15故答案为：15第 14 页，共 19 页把 ? ? = |2 ? - ? |两边平方，展开数量积，化为关于| ? |的一元二次方程，再由判别式大于等于0 求解 cos2? 的最小值本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查化归与转化、函数与方程思想，考查运算求解能力，是中档题17.【答案】 1, +)【知识点】 不等式的恒成立问题、不等式和绝对值不等式【解析】解：依题意，对任意的 ?-1,1 ，不等式 |?-?|- (-?2+?3)| 1恒成立，即当 ?-

24、1,1时，函数 ?= |?- ?| 与函数 ? = -?2+?3的纵向距离恒小于等于1，而函数 ?= |?-?| 是开口向上且对称轴为 ? = ? 的一个 v 型函数，函数 ?= -?2+?3是开口向下且对称轴为?= 0的二次函数，则只需 |1 - ?|+?+13 1| -1 - ?|+?+131，即 ?2 -3|1 - ?|?2 -3|1 + ?|，作出上述约束条件的可行域如右图阴影部分所示，由图可知， 当(?, ?)取(0, -1)时，?2+?2的值最小，且最小为1，则 ?2+ ?2的取值范围为1, +)故答案为： 1, +)依题意，当 ?-1,1时，函数 ?= |?-?| 与函数 ?=

25、-?2+?3的纵向距离恒小于等于1，结合绝对值函数及二次函数的图象及性质可知只需满足|1 - ?|+?+13 1| -1 - ?|+?+131， 作出变量a，b 满足的可行域，结合图形即可求得?2+ ?2的取值范围本题考查不等式的恒成立问题，考查转化与化归思想，数形结合思想，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题18.【答案】 解： ?(?) = ?2?+ 3?2?= 2?(2?+?6)(1) 若?(?) 的图象上相邻的两条对称轴之间的距离为?4?=2?|2?|=?2，?= 2，第 15 页，共 19 页则?(?) = 2?(4?+?6)对，由 4? +?6=?2+ ?， ? ，得对称轴为

26、 ?=?12+?4，? ，?(0, ?) ，?=?12,?3,7?12,5?6(任选一个 )(2) ?(?2) = 2?(2?+?6) = 1， 2?+?6=5?6+ 2?，? ，得 ?= ? +?3，? ，0 ? (2?- 1)? +?2?+1? ? ?(2) ?(3) ?(4) ? ，?(?)?= ?(2)=43， 实数 m 的取值范围为?43【知识点】 数列综合、数列求和方法【解析】 ( )求出首项， ?2时 ?- ?-1= ?，推出 ?= 2?-1.?2，?5，?14成等比数列求解数列的公差，然后求解?= 2?- 1( )化简 ?= 2?-1+12(12?-1-12?+1)，求解数列的

27、和，推出? ?(2) ?(3) ?(4) ? ，得到 ?(?)?=第 17 页，共 19 页?(2) =43，即可得到实数m的取值范围本题考查数列的应用，通项公式的求法，数列与不等式相结合，考查转化首项以及计算能力，是中档题21.【答案】 解： (1) 由题意 ?= 3，?= 22，得到 ?=6，?=3，所以椭圆方程为?26+?23= 1(2) 由由 ?- 2?= 0?26+?23= 1，直线 ?：? -2?= 0与椭圆 c 在第一象限的交点为q，由2?= tan ?得|?| ?|?| ?sin ?= tan ?，即 |?| ?|?| ?cos?= 1，可得 ? ? ? ? ? ? ? = 1

28、， 当 l 垂直 x 轴时，? ? ? ? ? ? ? = (-2, 3 - 1) ?(-2,- 3 - 1) = 4 + 1 -3 = 2，不成立 当 l 不垂直 x 轴时，设 ?(?1,?1)、?(?2,?2) ，直线 l 的方程为 ?= ? + 1，联立 ?= ? + 1?26+?23= 1，消去 y 得： (1 + 2?2)?2+ 4? - 4 = 0，则 ?1+ ?2=-4?1+2?2，?1?2=-41+2?2，代入 ? ? ? ? ? ? ? = 1可得： (?1- 2, ?1- 1) ?(?2- 2, ?2- 1) = 1，代入 ?1= ?1+ 1和?2= ?2+ 1得： (?1

29、- 2) ?(?2- 2) + ?2?1?2= 1，化简得-4(?2+1)1+2?2+8?1+2?2+ 3 = 0 ? 2?2+ 8?- 1 = 0解得 ?=-4 3 22，经检验满足题意，综上所述，直线l 的方程为 ?=-4 3 22? + 1【知识点】 直线与椭圆的位置关系、椭圆的概念及标准方程【解析】 (1) 利用焦点坐标以及离心率，求解a，b，推出椭圆方程(2) 求出 ?(2,1)，结合 2?= tan ?，推出 ? ? ? ? ? ? ? = 1， 当 l 垂直 x 轴时，验证即可 当 l 不垂直 x 轴时，设 ?(?1,?1)、?(?2,?2) ，直线 l 的方程为 ?= ? + 1，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合向量的数量积转化求解直线的斜率，推出直线方程即可本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题22.【答案】 解： ( )函数 ?(?) 的对称轴为?=?2， 函数 ?(?) 在区间 2,3 上不单调，第 18 页，共 19