2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高二(下)期中数学试卷(解析版)

1、2020-2021 学年上海市徐汇区位育中学高二（下）期中数学试卷一、填空题（共12 小题） .1直线（t 为参数）的斜率为2已知直线l 的一个方向向量为（ 1， 2，0），平面的一个法向量为（ m，3，6），且 l ，则 m3在平行六面体abcd a1b1c1d1中，设，用、作为基底向量表示4已知抛物线y22px 过点 a（2，2），则点a 到准线的距离为5 水 平 放 置 的 边 长 为1的 正 三 角 形 经 过 斜 二 测 画 法 得 到 的 直 观 图 面 积为6若一个圆柱的轴截面是面积为4 的正方形，则它的表面积是7地球（地球半径为r）表面上从a 地（北纬 45，东经 120）到

2、b 地（北纬 45，东经 30）的球面距离为8已知三个球的半径r1，r2，r3满足 r1+2r23r3，则它们的体积v1，v2，v3满足的等量关系是9如图，在空间直角坐标系oxyz中，四面体coab 的主视图aoc 是面积为4的直角三角形，且co2， oab 是正三角形，且点b 在平面 xoy 上，则此四面体的左视图的面积等于10若三个平面 、 、 两两垂直，直线l 与平面 、 、 所成的角都等于 ， cos11如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10 公里，母线长为40 公里，b 是母线 sa上一点，且ab 10 公里为了发展旅游业，要建设一条最短的从a 绕山一周到 b 的观光

3、铁路这条铁路从a 出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为公里12在平面xoy 上，将曲线x2+1（x0）与 y 轴围成的封闭图形记为d，记 d 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为 ，试构造圆柱与倒立的圆锥，利用祖暅原理得出 的体积值为二、选择题（共4 小题） .13空间内不同的四个点，“无任何三点共线”是“四点不共面”的（）a充要条件b充分非必要条件c必要非充分条件d既非充分又非必要条件14设 m，n 是两条不同的直线， ， ，是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数是（）（1）若 m ，n ，则 mn；（2）若 ， ，m ，则 m ；（3）若 m ，n ，则 mn；（4）

4、若 ， ，则 a1b2c3d415在棱长为10 的正方体abcd a1b1c1d1中， p 为左侧面add1a1上一点，已知点p 到a1d1的距离为3， p到 aa1的距离为2， 则过点 p 平行于 a1c 的直线与正方体表面（）相交aabcdbbb1c1cccc1d1ddaa1b1b16对于直角坐标平面内任意两点a（ x1， y1）， b（x2，y2），定义它们之间的一种“新距离”： |ab|x2x1|+|y2y1|给出下列三个命题：若点 c 在线段 ab 上则 ac+bc ab；在 abc 中，若 c90，则 ac2+bc2 ab2；在 abc 中， ac+ bc ab其中的真命题为（）a

5、bcd三、解答题17如图，长方体abcd a1b1c1d1中， abbc2，aa13（1）求四棱锥a1abcd 的体积；（2）求异面直线a1c 与 dd1所成角的大小18点 a、b 分别是椭圆+1 长轴的左、右顶点，点f 是椭圆的右焦点点p 在椭圆上，且位于x 轴上方， papf（1）求 p 点的坐标；（2）设 m 是椭圆长轴ab 上的一点， m 到直线 ap 的距离等于 |mb|，求椭圆上的点到点m 的距离 d 的最小值19某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已

6、知圆柱的底面周长为24 cm，高为 30cm，圆锥的母线长为20cm（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1cm3）；（2）现要使用一种纱网材料制作50 个“笼具”，该材料的造价为每平方米8 元，共需多少元？20已知点 f1、f2为双曲线的左、右焦点，过f2作垂直于 x 轴的直线，在 x 轴的上方交双曲线c 于点 m，且 mf1f230（1）求双曲线c 的方程；（2）若直线 l 过点（ 0，1）且与双曲线c 交于 a、b 两点，若a、b 中点的横坐标为1，求直线 l 的方程；（3）过双曲线c 上任意一点p 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为p1、p2，求证：为定值21如图， abcd

7、a1b1c1d1是底面边长为1 的正四棱柱，o1为 a1c1与 b1d1的交点（1）设 ab1与底面 a1b1c1d1所成角的大小为 ，异面直线ad1与 a1c1所成角的大小为 ，求证： tan2 2tan2 +1；（2）若点 c 到平面 ab1d1的距离为，求二面角ab1d1a1；（3）在（ 2）的条件下，若平面bb1c1b 内存在点p 满足 p 到直线 bc 的距离与到直线c1d1的距离相等，求的最小值参考答案一、填空题（共12 小题） .1直线（t 为参数）的斜率为解：直线，所以直线的普通方程为：（y4）（ x3）， yx+；所以直线的斜率为：；故答案为：2已知直线l 的一个方向向量为（

8、 1， 2，0），平面的一个法向量为（ m，3，6），且 l ，则 m6解：直线l 的一个方向向量为（ 1， 2，0），平面 的一个法向量为（ m， 3，6），且 l ，m60，解得 m6故答案为： 63在平行六面体abcd a1b1c1d1中，设，用、作为基底向量表示解：平行六面体abcda1b1c1d1中，如图所示：则+故答案为：4已知抛物线y22px 过点 a（2，2），则点a 到准线的距离为解：抛物线y22px 过点 a（2，2），可得 p1，所以抛物线的准线方程为x，所以点 a 到准线的距离为：2+故答案为：5水平放置的边长为1 的正三角形经过斜二测画法得到的直观图面积为解：边长为1

9、 的正三角形的面积为s12sin60，经过斜二测画法得到的直观图面积为ss故答案为：6若一个圆柱的轴截面是面积为4 的正方形，则它的表面积是6解：圆柱的轴截面是面积为4 的正方形，所以圆柱的母线长为2，底面圆的半径为1，所以圆柱的表面积是s表2 12+2 126 故答案为： 6 7地球（地球半径为r）表面上从a 地（北纬 45，东经 120）到 b 地（北纬 45，东经 30）的球面距离为解：地球表面上从a 地（北纬45，东经120）到 b 地（北纬 45，东经 30），b 的纬圆半径是，经度差是90，所以 abr，球心角是，则 a、 b 两地的球面距离是故答案为：8已知三个球的半径r1，r2

10、，r3满足 r1+2r23r3，则它们的体积v1，v2，v3满足的等量关系是解：因为v1 r13，所以， r1同理 r2， r3由 r1+2r23r3，得它们的体积v1，v2，v3满足的等量关系是：故答案为：9如图，在空间直角坐标系oxyz中，四面体coab 的主视图aoc 是面积为4的直角三角形，且co2， oab 是正三角形，且点b 在平面 xoy 上，则此四面体的左视图的面积等于6解：四面体coab 的主视图aoc 是面积为4的直角三角形，且co2， oab是正三角形，所以，则： ao4，由于 oab 为等边三角形，所以 bo4，所以 bo 在平面 yoz 上的射影长，则四面体的左视图的

11、面积s故答案为： 610 若三个平面 、 、 两两垂直， 直线 l 与平面 、 、 所成的角都等于 ， cos 解：由题意可建立如图所示的空间直角坐标系，其中 abcda1b1c1d1是棱长为1 的正方体，直线l 为 b1d，平面 、 、分别在正方体的三个面上，满足两两垂直，bd，b1d，此时直线l 与三个平面 、 、所成角都相等，等于 ，于是直线l 与平面 成角为 b1db ，cos ，故答案为：11如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10 公里，母线长为40 公里，b 是母线 sa上一点，且ab 10 公里为了发展旅游业，要建设一条最短的从a 绕山一周到 b 的观光铁路这条铁

12、路从a 出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为18公里解：如图，展开圆锥的侧面，过点s作 ab 的垂线，垂足为h，记点 p 为 ab 上任意一点，联结ps，由 两 点 之 间 线 段 最 短 ， 知 观 光 铁 路 为 图 中 的ab ，上坡即 p 到山顶 s的距离 ps越来越小，下坡即p 到山顶 s的距离 ps越来越大，下坡段的铁路，即图中的hb，由 rtsabrthsb，可得：，可求出hb18即下坡段铁路的长度为18 公里故答案为： 1812在平面xoy 上，将曲线x2+1（x0）与 y 轴围成的封闭图形记为d，记 d 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为 ，试构造圆柱与倒立的圆锥，利

13、用祖暅原理得出 的体积值为解：根据题意知，曲线x2+1（x0）与 y 轴围成的封闭图形为半椭圆，如图所示：该平面图形绕y 轴旋转一周而成的几何体为 ，构造圆柱与倒立的圆锥，利用祖暅原理，可知 的体积 v2（ ?12?2 ?12?2）故答案为：二、选择题13空间内不同的四个点，“无任何三点共线”是“四点不共面”的（）a充要条件b充分非必要条件c必要非充分条件d既非充分又非必要条件解：在空间四点中，当四点不共面时，其中任意三点必不共线，必要性成立，当任意三点不共线时，不能得出四点不共面，如平行四边形的四个顶点，充分性不成立，无任何三点共线是四点不共面的必要不充分条件故选： c14设 m，n 是两条

14、不同的直线， ， ，是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数是（）（1）若 m ，n ，则 mn；（2）若 ， ，m ，则 m ；（3）若 m ，n ，则 mn；（4）若 ， ，则 a1b2c3d4解： m，n 是两条不同的直线 ， ，是三个不同的平面，对于（ 1），若 m ，n ，则 mn，故（ 1）正确；对于（ 2），若 ， ，所以 ，由于 m ，则 m ，故（ 2）正确；对于（ 3），若 m ，n ，则 mn 或 m 和 n 异面或 m 和 n 相交，故（ 3）错误；（4）若 ， ，则 或 和 相交，故（ 4）错误故选： b15在棱长为10 的正方体abcd a1b1c1d

15、1中， p 为左侧面add1a1上一点，已知点p 到a1d1的距离为3， p到 aa1的距离为2， 则过点 p 平行于 a1c 的直线与正方体表面（）相交aabcdbbb1c1cccc1d1ddaa1b1b解：过 p 作 pna1a 于 n，a1n3，pn2，连接 a1p，延长 a1p 交 ad 于 m，设 amx，即，于是 x10，连接 mc，过 p 作 pqa1c，交 mc 于 q，所以 q 在平面 abcd 内，故选： a16对于直角坐标平面内任意两点a（ x1， y1）， b（x2，y2），定义它们之间的一种“新距离”： |ab|x2x1|+|y2y1|给出下列三个命题：若点 c 在线

16、段 ab 上则 ac+bc ab；在 abc 中，若 c90，则 ac2+bc2 ab2；在 abc 中， ac+ bc ab其中的真命题为（）abcd解：若点 c 在线段 ab 上，设点 c（x0，y0），那么 x0在 x1，x2之间 y0在 y1，y2之间，|ac|+|cb| |x0 x1|+|y0y1|+|x2x0|+|y2y0|x2x1|+|y2y1|ab|，故 正确；平方后不能消除x0，y0，命题不成立，故不正确；在 abc 中， |ac|+|cb|x0 x1|+|y0y1|+|x2x0|+|y2y0|x0 x1+y0 y1+x2x0+y2y0|x2x1|+|y2y1|ab|，故 不

17、正确故选： c三、解答题17如图，长方体abcd a1b1c1d1中， abbc2，aa13（1）求四棱锥a1abcd 的体积；（2）求异面直线a1c 与 dd1所成角的大小解：（ 1）长方体abcda1b1c1d1中， ab bc2，aa13，四棱锥a1abcd 的体积：4（2） dd1cc1， a1cc1是异面直线a1c 与 dd1所成角（或所成角的补角），tana1cc1， a1cc1异面直线a1c 与 dd1所成角的大小为；18点 a、b 分别是椭圆+1 长轴的左、右顶点，点f 是椭圆的右焦点点p 在椭圆上，且位于x 轴上方， papf（1）求 p 点的坐标；（2）设 m 是椭圆长轴a

18、b 上的一点， m 到直线 ap 的距离等于 |mb|，求椭圆上的点到点m 的距离 d 的最小值解：（1）由已知可得点a（ 6，0），f（4，0），设点 p（x，y），则（ x+6，y），（ x4，y）由已知可得，2x2+9x18 0，解得 x，或 x 6由于 y0，只能 x，于是 y点 p 的坐标是（，）（2）直线 ap 的方程是，即xy+60设点 m（m，0），则 m 到直线 ap 的距离是于是|6m|，又 6m6，解得 m2，故点 m（2，0）设椭圆上的点（x，y）到点 m 的距离为 d，有 d2（x2）2+y2x24x+4+20 x2（x）2+15，当 x时， d 取得最小值19某种“

19、笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24 cm，高为 30cm，圆锥的母线长为20cm（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1cm3）；（2）现要使用一种纱网材料制作50 个“笼具”，该材料的造价为每平方米8 元，共需多少元？解：（ 1）设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的母线长为l，高为h1，则 2 r24 ，解得 r12cm h1cm 笼 具 的 体 积v r2h （ 122 30 122 16 ） 355211158.9cm3（2）圆柱的侧

20、面积s12 rh720cm2，圆柱的底面积s2 r2144 cm2，圆锥的侧面积为s3 rl240 cm2故笼具的表面积ss1+s2+s31104 cm2故制造 50 个这样的笼具总造价为：元答：这种笼具的体积约为11158.9cm3，生产 50 个笼具需要元20已知点 f1、f2为双曲线的左、右焦点，过f2作垂直于 x 轴的直线，在 x 轴的上方交双曲线c 于点 m，且 mf1f230（1）求双曲线c 的方程；（2）若直线 l 过点（ 0，1）且与双曲线c 交于 a、b 两点，若a、b 中点的横坐标为1，求直线 l 的方程；（3）过双曲线c 上任意一点p 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别

21、为p1、p2，求证：为定值解：（ 1）由双曲线的方程可得a1，在直角三角形mf1f2中， mf1f230， mf2 f2f1，可得 |mf1|2|mf2|，且 |mf1|mf2|2a2，解得 |mf2|2，又 |mf2|b2，所以 b22，则双曲线的方程为；（2）由题意可得直线l 的斜率存在，设为k，直线 l 的方程为ykx+1，联立，可得（ 2k2）x22kx30， 4k2+12（2k2） 0，解得k设 a，b 的横坐标分别为x1，x2，则 x1+x2由 a、b 中点的横坐标为1，可得1，解得 k1 或 2（舍去），所以直线l 的方程为yx+1；（3）证明：设p（m，n），则 2m2n22，由，解得 p1（，），由，解得 p2（，），所以?（，）?（，）+，即21如图， abcd a1b1c1d1是底面边长为1 的正四棱柱，o1为 a1c1与 b1d1的交点（1）设 ab1与底面 a1b1c1d1所成角的大小为 ，异面直线ad1与 a1c1所成角的大小为 ，求证： tan2 2tan2 +1；（2）若点 c 到平面 ab1d1的距离为，求二面角ab1d1a1；（3）在（ 2）的条件下，若平面bb1c1b 内存在点p 满足 p 到直线 bc 的距离与到