2018年江苏省高考数学模拟试卷(7)(含答案)

1、第 1 页，共 15 页 2018年江苏省高考数学模拟试卷（7）第卷（必做题，共160 分）一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分 1 已知集合a=2，3，5，b=|13xx ，则 ab = 2 若复数 z满足 (1i)2iz(i 为虚数单位 )，则 z= 3 如图是某班8 位学生诗朗诵比赛成绩的茎叶图，那么这8 位学生成绩的平均分为 4 如右图所示的流程图的运行结果是 5 在平面直角坐标系xoy 中，已知双曲线2214yxa的一条准线的方程为3x，则实数a的值是 6 将甲、乙两个不同的球随机放入编号为1，2，3 的 3 个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则恰有两个盒子各有

2、1 个球的概率为 7 已知一个正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为60 ，则该棱锥的体积为 8 已知奇函数( )f x 在 (,) 上为单调减函数，则不等式(lg)(1)0fxf的解集为 9 已知各项均为正数的数列na满足2nnaqa （1q，*nn ） ，若213aa ，且233445aaaaaa，成等差数列，则q的值为 10如图，在扇形aob 中，4oa，120aob，p为弧ab上的一点，op 与ab相交于点 c ，若8op oa，则 ocap的值为 11定义在区间02，上的函数5cos2yx的图象与2sinyx 的图象的交点横坐标为0 x ，则0tan x 的值为 12已知定义在r

3、上的函数2480( )(2)0 xxxf xf xx， ，则方程6( )1log (1)f xx的实数解的个数为 13在平面直角坐标系xoy 中，已知动直线1ykxk 与曲线21xyx交于 ab，两点，平面上的动点()p mn，满足4 2papb ，则22mn 的最大值为 14若对于2xyr，不等式e+e2(1)xyx yaxa恒成立，则实数a的取值范围是 5 6 8 0 1 2 2 6 8 9 （第 3 题）开始结束s输出yn2a61as，ssa2aa（第 4 题）（第 10 题）aobpc第 2 页，共 15 页二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时写出

4、文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分14 分）在abc 中，内角abc，的对边分别为abc，已知2 cosbcab （1）求证：2ab；（2）若 abc 的面积214sa ，求角a的大小16 （本小题满分14 分）如图，在四棱锥pabcd 中，底面abcd 是正方形， ac 与 bd 交于点 o，pc底面 abcd，e 为 pb 上一点， g 为 po 中 点 .（1）若 pd / 平面 ace，求证： e 为 pb 的中点；（2）若 ab2 pc，求证： cg平面 pbd. （第 16 题）a b c d p o e g 第 3 页，共 15 页17 （本小题满分14 分）如图是一

5、“ t”型水渠的平面视图（俯视图），水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为 4 m，东西向渠宽2 m（从拐角处，即图中ab，处开始）假定渠内的水面始终保持水平位置（即无高度差） （1）在水平面内，过点a的一条直线与水渠的内壁交于pq，两点，且与水渠的一边的夹角为02，将线段 pq 的长度 l 表示为的函数；（2）若从南面漂来一根长为7 m 的笔直的竹竿 （粗细不计） ，竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠（不会卡住）？请说明理由18(本小题满分16 分) 在平面直角坐标系xoy 中，离心率为的椭圆 c：22221xyab（ab 0）的左

6、顶点为a，且 a 到右准线的距离为6，点 p、q 是椭圆 c 上的两个动点（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，当p、o、q 共线时，直线pa，qa 分别与 y 轴交于 m ，n 两点，求证：am an为定值；（3）设直线ap，aq 的斜率分别为k1，k2，当 k1?k2=1 时，证明直线pq 经过定点r（第 17 题）4 m 2 m abp东2 m q北第 4 页，共 15 页19 （本小题满分16 分）已知函数3( )2lnf xaxxx， ar （1）若曲线( )yfx 在1x处的切线方程为yb ，求 ab的值；（2）在（ 1）的条件下，求函数( )f x 零点的个数；（3）若不等式( )

7、2()1f xxa 对任意(0 1x， 都成立，求a的取值范围20 （本小题满分16 分）已知数列 na， nb满足：对于任意正整数n，当 n2 时，22121nnnab an（1）若( 1)nnb，求222213511aaaa 的值；（2）若1nb，12a，且数列 na的各项均为正数 求数列 na的通项公式； 是否存在*kn ，且2k，使得21 2219kkaa为数列 na中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由. 第 5 页，共 15 页a b f c d e （第 21a 题）第 ii 卷（附加题，共 40 分）21. 【选做题】本题包括a, b,c,d四小题，每小

8、题10 分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答. a.（选修 4-1；几何证明选讲）如图，四边形 abcd 是圆的内接四边形，bcbd ，ba的延长线交cd的延长线于点e求证：ae是四边形 abcd 的外角daf的平分线b （选修 4-2：矩阵与变换）已知矩阵21abm，其中ab，均为实数，若点(31)a ，在矩阵m的变换作用下得到点(3 5)b ，求矩阵m的特征值c （选修 4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xoy 中，若直线321xtyt，（t为参数）与圆55cos35sinxy，（为参数）相交于 ab，两点，求ab的长度d （选修 4-5：不等式选讲）已知关于x的不等式2

9、0 xaxb的解集为 (1 2)，其中 ab，r ，求函数( )(1)3(1) 4f xaxbx 的最大值第 6 页，共 15 页( 第 22 题 ) a b c d f e 【选做题】第22 题、 23 题，每题10 分，共计20 分.22如图，正方形adef与梯形 abcd 所在平面互相垂直，已知/abcd ， adcd ，12abadcd （1）求直线 ec 与平面bdf所成角的正弦值；（2）线段 ec 上是否存在点p，使得二面角fbdp的余弦值为13？若存在，求出epec的值；若不存在，说明理由23已知函数2( )ln(1)2xf xxx（1）解关于x的不等式( )0f x；（2）请用

10、数学归纳法证明：当3nnn，时，231lnnini第 7 页，共 15 页oxy31162018 年江苏省高考数学模拟试卷（7）参考答案一、填空题1 2 ，3 21i3 90 4 24 512 . 由双曲线2214yxa的一条准线的方程为3x，则34aa，所以12a623. 所有的基本事件的总数为339， “恰有两个盒子各有1 个球”的对立事件是 “甲、乙两个不同的球在同一个盒子”， 有 3 种可能，所以“恰有两个盒子各有1 个球”的概率为3219372 33. 由条件，易知正四棱锥的高为3 ，底面边长为2 ，所以体积为2 3381010，.由条件，不等式(lg)(1)0fxf即为(lg)(

11、1)fxf，所以 lg1x，解得1010 x9 3 . 由条件，234534()()2()aaaaaa，所以2312(1)()2 ()q aaq aa，所以11(1)(3)8qq aqa ，因为10a，1q，所以3q10 4 . 由16cos8op oaaop，得1cos2aop，所以60aop，所以42cos604ocapoc ob1134. 令 5cos22sinxx ，即25(12sin)2sinxx，所以210sinsin30 xx，因为02x，所以3sin5x，即03sin5x，从而03tan4x12 7. 如图所示，函数( )1yf x与6log (1)yx的图象有7个不同的交点，

12、所以原方程有7 个不同的解13 18. 直线1ykxk 过定点(1,1)m恰为曲线21xyx的对称中心，所以m为ab的中点，由42papb ，得2 2pm ，所以动点()p mn，满足22(1)(1)8mn，所以22mn 的最大值为18142a. 由e+e2(1)xyx yaxa，得(2)e+e2xyxya x，当2x时，不等式为220e+e2yy恒成立， ar ；当2x时，不等式为1e (e +e)22xyyax，设1( )e (e +e)22xyyf xx，2x，则2(e1)( )2xf xx，当且仅当0y时取“ =” ，再设2(e1)( )2xg xx，则222e (2)(e1)2e (

13、1)1( )(2)(2)xxxxxgxxx，abmoxyp第 8 页，共 15 页设 ( )e (1)1xt xx，由于( )e (1)ee (2)0 xxxtxxx，所以( )t x 在2，上单调增，因为(0)0t，所以当( 2 0)x，时，( )0t x，即( )0gx；当(0)x，时，( )0t x，即( )0g x，所以( )g x 在( 2 0)x，上为减函数，在(0)x，上为增函数，所以( )g x 在0 x时取得最小值，且最小值为2综上，当0 x且0y时，( )f x 取最小值为2，所以2a二、解答题15 （ 1）由正弦定理得sinsin2sincosbcab ，则 2sinco

14、ssinsin()sinsincoscossinabbabbabab ，所以 sinsincoscossinsin()bababab 因为 0ab，所以ab，所以bab或 ()bab ，即2ab或a（舍），所以2ab（2）由214sa ，得21sin124abca ，所以1sinsinsin2bca，由（ 1）知，1sinsinsin 2sincos2bcbbb，因为 sin0b，所以 sincoscb 因为 sin0c，所以 cos0b，即b为锐角，若 c 为锐角，则sinsin()2cb ，即2cb，可知2a；若 c 为钝角，则sinsin()2cb ，即2cb，可知4a综上，4a或2a1

15、6. （1）连接 oe ，由四边形abcd 是正方形知，o 为bd中点，因为 pd / 平面 ace，pd面pbd，面 pbd面 aceoe ，所以/ /pdoe . 因为 o 为bd中点，所以e 为 pb 的中点 . （ 2）在四棱锥pabcd 中， ab2 pc，因为四边形abcd 是正方形，所以22ocab，所以 pcoc . 因为 g 为 po 中 点，所以 cgpo . 又因为 pc底面 abcd，bd底面 abcd，所以 pc bd. 而四边形abcd 是正方形，所以acbd ，因为,ac cg平面 pac ， accgc ，所以bd平面 pac ，因为 cg平面 pac ，所以

16、bdcg . 因为,po bd平面pbd， pobdo ，a b c d p o e g 第 9 页，共 15 页所以 cg平面 pbd. 17. （1）由题意，2sinpa，4cosqa，所以 lpaqa ，即24sincosl（02） （2）设24( )sincosf，(0,)2由3322222(22 sincos)2cos4sin( )sincossincosf，令( )0f，得02tan2且当0(0,) ，( )0f；当0(,)2，( )0f，所以，( )f在0(0,) 上单调递减；在0(,)2上单调递增，所以，当0时，( )f取得极小值，即为最小值当02tan2时，01sin3，02

17、cos3，所以( )f的最小值为3 6 ，即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为3 6 m因为 3 67，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠18.（1） 由题意，且，解得 a=2，c=1b=椭圆的标准方程为（2）证明：设p（x0，y0） ，则 q（ x0， y0） ，又 a（ 2，0） ，直线 ap 的方程为y=（ x+2） ，得 m（0，） ，=（2，） 同理可得 n（ 0，） ，=（2，） ，第 10 页，共 15 页?=4+又点 p 在椭圆 c 上，故，即，?=4+=1（定值）；（3）证明： 设 p （ x1，y1） ，q（x2，y2） ，将直线 ap 的方程 y=k1（x+2）

18、与椭圆方程联立得：，即（ 3+4k12）x2+16k12x+16k1212=0 2+x1=，x1=，y1=，p（，） k1?k2=1，q（，） 当时，点 p 和点 q 的横坐标相同，直线pq 的方程为 x=，由此可见，如果直线pq 经过定点r，则点 r 的横坐标一定为当时，直线 pq 的方程为y=（x） ，令 x=得：=0直线 pq 过定点 r（，0） 19 （1）21( )32fxaxx，由题意，(1)0f，(1)fb，解得，1a，1b，第 11 页，共 15 页所以0ab（2）由（ 1）知，3( )2lnf xxxx ，232(1)(331)1321( )32xxxxxfxxxxx，令(

19、)0fx，得1x，且当 01x时，( )0fx；当1x时，( )0fx，所以函数( )f x 在 (0,1) 上单调递减，在(1,) 上单调递增因为(1)10f，3112( )10eeef，3(e)e2e10f，函数( )f x 在区间 1,1e和 1,e上的图象是一条不间断的曲线，由零点存在性定理，所以函数( )f x 有两个零点（3）设( )( )2()g xf xxa ，即3( )2lng xaxax ，(0 1x， 32131( )3axgxaxxx，当0a时，( )0g x，所以函数( )g x 在 (0 1， 单调递减，所以( )g x 最小值为(1)30ga，不合题意；当0a时，

20、223331113 ()() )333( )a xxxaaagxx，令( )0gx，得313xa若3113a，即103a时，函数( )g x 在 (0 1， 单调递减，所以( )g x 最小值为(1)30ga，只需 31a，即13a，所以13a符合；若3113a，即13a时，函数( )g x 在31(0,)3a上单调减，在31(,13a上单调增，所以( )g x 的最小值为3111()2ln31333gaaa，所以13a符合综上，a的取值范围是13a20 （1）由条件，22213aa，22327aa，226513aa，227615aa，2210921aa，22111023aa，所以222213

21、51182aaaa. 第 12 页，共 15 页（2）由22121(2)nnaann，22215aa，22327aa，22439aa， , ，22121nnaan.将上面的式子相加，得221(215)(1)2nnnaa，所以22(215)(1)4(1) (2)2nnnann. 因为 an的各项均为正数，故1nan(2)n. 因为12a也适合上式，所以1nan（*nn ）. 假设存在满足条件的k , 不妨设21219kkmaaa ，所以2 (21)191kkm，平方得22 (21)19(1)kkm， （*）所以222(21)2 (21)(1)19(2 )kkkmk，所以2222(1)(21)19

22、(1)(2 )19mkmk，即(2 )(22 )191(12 )(12 )192mkmkmkmk（ ）（ ）由（ 1）得，221mk，即120mk，若120mk，代入（ *）式，求得19182mk，不合，舍去；若120mk，结合（ 2）得1219mk，所以 21 192kmk，即194k，又 k*n 且2k，所以 k 的可能取值为2， 3，4，代入（ * ）式逐一计算，可求得3k. 第 ii 卷（附加题，共40 分）21.a.因为 abcd 是圆的内接四边形，所以daebcd ，faebacbdc 因为 bcbd ，所以bcdbdc ，所以daefae，所以ae是四边形abcd 的外角daf的

23、平分线第 13 页，共 15 页b 由题意，233115ab，即63315ab，解得，32ab，所以2321m设23()(2)(1)6021f，解得1或4 ，所以矩阵m的特征值为1和 4c 由321xtyt，消参数t，得210 xy由55cos35sinxy，消参数，得22(5)(3)25xy所以圆心 (53)，到直线210 xy的距离5612 55d，所以222 5(2 5)2 5abd 因为不等式20 xaxb的解集为 (1 2)， ，所以可得，3a，2b又函数( )(1)3(1) 4234f xaxbxxx ，由柯西不等式可得，22222(234) (21 )(3)(4) 5xxxx，当且仅当 234xx ，即16345x，时取等号所以，当165x时, 函数( )f x 取得最大值5 22 因为平面adef平面 abcd ，平面 adef平面 abcdad ，cd平面 abcd ， cdad ，所以 cd平面adef，因为de平面adef，所以 cdde （1）建立如图所示的空间直角坐标系设1ad，则(00 0)d， ， ，(1 1 0)b，(02 0)c， ，(00 1)e， ，