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文档简介

1、2020届天津市部分区高三上学期期末数学试题、单选题B= 1, 4, 7,1.设全集 U = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,集合 A = 2, 3, 4, 6,8匕则 Ac(CuB)()A. 4B. 2, 3, 6 C. 2, 3, 7 D. 2, 3, 4, 7【答案】B【解析】先求出CuB再与A取交集,即可得到答案.【详解】因为 CuB =2,3,5,6 , A=2, 3, 4, 6, 所以 A 一 (CuB) =2,3,6.故选:B.【点睛】本题考查集合的交、补运算,考查基本运算求解能力,属于基础题 2 .抛物线y2=4x的准线方程为()a. x = -1b. y = -

2、1C. x=1D. y=i【答案】A【解析】利用y2 =2px的准线方程为X = -能求出抛物线y2=4x的准线方程1 2.y =4x,= 2p =4, p =2 ,二抛物线y2 =4x的准线方程为x =2,2即x = 1 ,故选a .【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质,意在考查对基础知识的掌握与应用,是基础题.3 .设 xW R ,则 x2 2x<0”是 “x1 <2”的()A.充分不必要条件C .必要不充分条件B.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】分别解两个不等式得到集合 A, B ,再利用集合间的关系,即可得到答案 【详解】解不等式 x2.2x &

3、lt;0 得;A=x|0<x<2,解不等式 x1 <2得:B =x | -1 <x <3,因为A是B的真子集, 所以x22x<0”是“x1 <2”的充分不必要条件故选:A.本题考查简易逻辑中的充分条件与必要条件,求解时要转化成集合间的关系进行判断,能使求解过程更清晰、明了 .4.直线x y+1 =0与圆x2+(y+1)2 =4相交于A、B ,则弦AB的长度为()A. 72B. 2亚C. 2D. 4【答案】B【解析】 先求圆心到直线的距离 d ,再利用弦长公式,即可求得答案.【详解】圆心到直线的距离|0 1 1|第15页共18页所以 | AB| = 2

4、.r2-d2 =2, 口 =2,2.故选:B.【点睛】本题考查直线与圆相交弦的求解,考查基本运算求解能力,属于基础题* .5.已知数列an中,a =1 , 2an噂 =an(n u N ),记an的刖n项和为Sn ,则()A. &=2烝-1B. 0=1-2烝 C. &=烝-2 D. Sn=2 ann项和为Sn,化简可【解析】根据递推关系求得等比数列 an的通项公式,再求出前得 Sn =2 - a* an 11,n”N),2,, 、1、,二数列an是以1为首项,一为公比的等比数列, 2JSn =T121 n an = ( 一 )2二2-一2=2 & .故选:D.【点睛】本

5、题考查等比数列的通项公式与前n项和公式,考查基本量运算, 求解时要注意通过化简找到&与an的关系.6.已知偶函数f(x)在区间(g-1)上单调递增,- 一1 一 一 1右 a = ln3 , b = log 2 - , c - 10g 1 二,32 5则f (a) , f (b) , f(c)的大小关系为()A. f (a) > f (b) > f (c)C . f (c) > f (b) > f (a)【答案】AB. f (b) > f (c) > f (a)D. f (a) > f (c) > f (b)【解析】根据题意得f(x)在区

6、间(1,y)上单调递减,利用对数函数的图象与性质可得a :二b <c,从而利用函数的单调性可得答案.【详解】因为偶函数f(x)在区间(3, -1)上单调递增,所以f(x)在区间(1,十整)上单调递减.因为 10g 3 e log 3 2 0 二11, c , c<=ln 3 < log 2 3 ,即 1 < a < b < 2 ,10g 3 e log 3 211因为 c =log 1 - > log 1 - = 2 , 2 52 4所以 a<b<c,所以 f(a)>f(b)>f(c).故选:A.【点睛】函数的奇偶性与单调性,本

7、题考查对数函数的图象与性质、考查数形结合思想的应用和逻辑推理能力 7.将函数f (x) =sin2x的图象向右平移个单位长度后得到函数 g(x)的图象,则下6列说法正确的是()A g(2)="2c. g(x)在区间0 ,二上单调递增3【答案】CB. g(x)的最小正周期是 4nD. g(x)在区间工,5L上单调递减36【解析】根据函数的平移变换求出 g(x)的解析式,再一一对照选项验证是否成立函数f (x) =sin2x的图象向右平移 三个单位长度得:6JTg(x) =sin(2x- ). 3对 A,g(土) =sin(n2对B,最小正周期为兀,故B错误;对C,当c冗0 : x :-

8、3ji jiji ji< 2x <一,因为(一一,一)是(,一)的子区间,故 C3333 32 2正确;对D,当二 5 二一 :::x : 36ji<3_ 二 4 二2x <,331,3)的子区间,故D错误;故选:C.本题考查三角函数的平移变换及三角函数的图象与性质,考查数形结合思想和运算求解 能力.228 .已知双曲线C:勺4=1代>0, b>0)的右焦点为F(J6, 0),点P在C的 a b一条渐近线上,若 PO = PF (O是原点),且APOF的面积为31 ,则C的方程是 4( )2222o 22A,二-L=1B, L-L=1C, f-工=1 D,上

9、-y2=14224335【答案】A【解析】根据三角形的面积及 PO =1PF ,求出点P的坐标,再利用点 P的坐标求渐 b近线的斜率,从而得到 b的值,再观察选项,即可得到答案a【详解】 因为PO| = PF ,所以点P的横坐标等于 屿,因为APOF的面积为逑,设点P在第一象限,4所以1 .6 yp=3=yp =招,242所以b=Y3+Y6=Y2,只有选项a符合.a 222故选:A.【点睛】本题考查三角形面积公式、双曲线的渐近线、双曲线的标准方程求法,考查基本运算求 b 解能力,求解时只要得到 一的值,即可通过代入法选出答案,可减少运算量aln(x-2)2 : x < 39 .已知函数f

10、(x)=,若关于x的方程f(x) = kx恰有三个-x2 15x-36x 3互不相同的实数解,则实数k的取值范围是()A. 3, 12B. (3, 12)C. (0,12)D. (0, 3)【答案】D【解析】 画出函数f(x)的图象,将问题转化为两个函数图象交点问题,求出直线与抛物线相切时的临界值,再结合图象得到k的取值范围.【详解】函数f(x)的图象如图所示:2x +(k -15)x + 36 = 0 ,2一 当直线y=kx与抛物线相切时, A=(k15) 144=0=卜=3或卜=27,由于方程f (x) =kx恰有三个互不相同的实数解,所以两个函数的图象恰有三个不同的交点,所以0<k

11、<3.故选:D.【点睛】本题以分段函数为载体,考查方程的根与两个函数图象交点的转化关系,考查数形结合思想的应用,求解时要注意借助函数的图象进行分析求解二、填空题10. i是虚数单位,若复数 z满足(1+3i)z = 4i ,则z =.【解析】利用复数的除法运算,求得 z = 6 +2i.5 5【详解】4iz 二1 3i故答案为:【点睛】本题考查复数的四则运算,考查基本运算求解能力,属于基础题 11. (2x-!)6的展开式中含x3项的系数是 (用数字作答). x【答案】-1921【解析】根据二项展开式得Tf = C6(2x)*(-2)r(r =0,1乂|,6),进而得到r = 1时 x会

12、出现x3项,再计算其系数.【详解】J =C6r(2x)*(-N)r =C; 2*。1),产«=0,1川,6), x当 6-3r =3 时,即 r =1 ,所以 T2 =C;25 (1)x3 = -192x3.4i(1 -3i)12 4i(1 3i)(1 -3i)6 2i.5 5106 2.二-i.5 5故答案为:,192.【点睛】本题考查二项式定理展开式的通项,考查基本运算求解能力,属于基础题4 312 .已知a >0, b >0,且a+3b =1 ,则一十一的最小值是a b【答案】254 34 3_【解析】利用1的代换,将求式子 一+的最小值等价于求(一+)(a + 3

13、b)的最小值, a ba b再利用基本不等式,即可求得最小值.【详解】一 .434 3因为=(-)(a 3b) = 4 9aba b12b .殂3 2. 12b 3a =25 a b1ab_ ,21等号成立当且仅当 a=£,b=1.55故答案为:25.本题考查1的代换和基本不等式求最值,考查转化与化归思想的运用,求解时注意一正、二定、三等的运用,特别是验证等号成立这一条件13 .已知半径为2的球的球面上有 A、B、C、D不同的四点,AABC是边长为3的等边三角形,且 DO _L平面ABC(。为球心,D与O在平面ABC的同一侧),则三棱锥D ABC的体积为.【解析】作出三棱锥内接于球的

14、图形,再求出三棱锥的高,最后代入体积公式即可得到 答案.如图所示,点E为AABC的中心,则BE = AC,2 = J3, 23ob=2 ,所以 oe = Job2 - be2 =T4":3=1,DE1 239.3(3 1) 3 二224一,1所以V =三S.abc 3故答案为:9J4)【点睛】本题考查三棱锥与球的内接问题、体积的求法,考查空间想象能力和运算求解能力,准确画出图形求出三棱锥的高是解题的关键.14 .设an是等差数列,若a5=9, az+a7=16,则an =;若2 一 -*、 一bnanan 1【答案】2n -12n2 3n +1(n=N ),则数列bn的前n项和Sn2

15、n 1【解析】利用等差数列通项公式求得 a1,dan ;求出bn12n-1 2n 1再利用分组求和法及裂项相消法求Sn.由题意得:a14d =9,2a 7d =16d = 2,= a1 = 1,an - 2n -1.因为bn(2n -1)(2n 1)2n -1 2n 1所以,b22n -1 2n 1+1,所以Sn =12n2 3n故答案为:2n 12n 12n1;2n2 3n2n 1本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法及及裂项相消法求和,考查方程思想的 运用,考查基本运算求解能力,裂项相消求和的关键是对通项进行改写222 . 15 .设点M、N、P、Q为圆x +y =r (r A0)上四

16、个互不相同的点,若MP PN =0 ,且(PM+PN).pQ=2,则 pQ尸【答案】、.2 【解析】 根据MP PN =0得到MN过圆的圆心O,再利用向量的加法法则得4PM +PN =2PO,由向量数量积的几何意义得到等式|PO|cos8 =得|PQ 的值.因为MP PN =0,所以 MP 1 PN,所以MN过圆的圆心O,所以PM + PN) PQ=2PO .PQ=2|PO| |PQ |cos0 =2,因为PO在PQ向量方向上的投影为:|PO|cos日=g|PQ|,代入上式得:=、,2 .| PQ |2TL-L=1=> PQ 2故答案为:,2 .本题考查向量与圆知识的交会、向量的垂直、加

17、法法则、数量积的几何意义等知识,考查方程思想的运用, 求解时注意向量几何意义的灵活运用,考查逻辑推理能力和运算求 解能力.三、解答题16 .在AABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知2(sin AcosC cos Asin C) =sinA sinC.求证:b、c成等差数列;2 二一右c=7, C =,求b和sin2B的值.3【答案】(1)证明见解析(2) b = 5, sin2B=55&98【解析】(1)根据两角和的正弦公式、诱导公式得到2sin B =sin A + sin C ,再利用正弦定理证得2b =a +c ,从而证明结论成立;a = 2b7,联立求得b的值

18、;由正(2)利用余弦定理 a2+b2+ab = 49,再由(1)弦定理求得sin B ,再利用倍角公式求得 sin2B的值.【详解】(1)因为 2(sin AcosC+cosAsinC )=sin A + sinC ,所以 2sin A C = sin A sin C.由于在 AABC 中,A+C=n -B ,所以 sin (A + C ) = sin B ,所以 2sin B = sin A sinC .由正弦定理3=上=,得2b = a+c. sin A sin B sin C所以a,b,c成等差数列.2 二(2)在 MBC 中,c=7,C =,3.、 -22 .2 _ _2由余弦定理,得

19、 7 =a - b -2abcos,3即 a2 b2+ab = 49.2由(1)知 a=2b-7,所以(2b7) +b2+ (2b 7)b = 49,解得 b = 5.2 二 _由正弦定理,得.D bsin-3- 5.3. sin B =-=c 14. 一 .一一 2二 . 八二在AABC中,因为于C=,所以B= ,0,3. 2所以 cosB = .1 -sin2 B =1-(5« ; = 11141414553所以 sin 2B =2sin B cosB =98【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理解三角形,考查方程思想的运用和运算求解能力,求cosB的值时,注意角 B=

20、 ,0,- 这一条件的应用.217 .每年的12月4日为我国 法制宣传日”天津市某高中团委在 2019年12月4日开展 了以学法、遵法、守法”为主题的学习活动.已知该学校高一、高二、高三的学生人数分别是480人、360人、360人.为检查该学校组织学生学习的效果,现采用分层抽样的方法从该校全体学生中选取10名学生进行问卷测试.具体要求:每位被选中的学生要从10个有关法律、法规的问题中随机抽出4个问题进行作答,所抽取的4个问题全部答对的学生将在全校给予表彰 求各个年级应选取的学生人数;若从被选取的10名学生中任选3人,求这3名学生分别来自三个年级的概率;若被选取的10人中的某学生能答对 10道题

21、中的7道题,另外3道题回答不对,记X表示该名学生答对问题的个数,求随机变量X的分布列及数学期望.3【答案】(1)高一年级应选取4人,高二年级应选取3人,高三年级应选取3人.(2)10(3)详见解析【解析】(1)利用分层抽样求得各年级应抽取的人数;(2)利用计算原理求得基本事件的总数为C30 ,再求出所求事件的基本事件数,再代入古典概型概率计算公式;ckc4-k(3)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4 ,利用超几何分计算 P( X = k )= 5 43Cio(k =1,2,3,4 ),最后求得期望值【详解】(1)由题意,知高一、高二、高三年级的人数之比为4:3:3 ,由于采用分层抽样方法

22、从中选取10人,因此,高一年级应选取 4人,高二年级应选取 3人,高三年级应选取 3人.c4 c3 c3 3C3010(2)由(1)知,被选取的10名学生高一、高二、高三年级分别有4人、3人、3人,所以,从这10名学生任选3名,且3名学生分别来自三个年级的概率为(3)由题意知,随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4,且X服从超几何分布,C140(k=1,2,3,4 )所以,随机变量X的分布列为X12341311P301026所以,随机变量X的数学期望为1451311EX=12 34 -301026【点睛】本题考查统计中的分层抽样、古典概型、超几何分布,考查统计与概率思想的应用,考查数据处理能

23、力,求解的关键是确定随机变量的概率模型18 .如图,在三棱柱 ABCABQi中,P、O分别为AC、ACi的中点,PA=PC1=2应,ABi =BiCi =PB1 =2#, ACi =4.求证:PO_L平面AiBiCi ;求二面角Bi PAiCi的正弦值;iTT1已知H为棱BCi上的点,若BiH =-BiCi ,求线段PH的长度.3【答案】(i)证明见解析(2)壁(3) 2J25【解析】(i)证明PO _L ACi, PO .L OBi ,再根据ACi n OBi = O ,从而得到线面垂直的证明;T T T(2)以点O为坐标原点,分别以 OAi,OBi, op的方向为x, y,z轴的正方向,利

24、用向量法求得二面角的余弦值,再利用同角三角函数的基本关系求得正弦值; 上,一2 4行八' M(3)结合(2)中Ci -2,0,0 ,求得点H ,0 ,再求PH的值,从而求得I 33 J线段PH的长度.(i)在三角形PAC1中,PA =PCi且O为A1cl的中点,所以PO _L ACi.1 一一nn在 RtAPAO 中,AO =ACi =2, PA1 =2>/2,PO = JPA2 AO2 =2连接 OB1,在 AA1BQ1 中,AB产BC1=2,3, OB_LACi所以 OB = . AiB2 - AO2 =2.2.又 PB1 =2j3,所以 PB2 =PO2 +OB;,所以 P

25、O _LOBj又因为A1Ci A OB1 =O,由,得PO _L平面A1B1C1.(2)以点O为坐标原点,分别以Oa1,OB1, OP的方向为x, y,z轴的正方向,建立如第17页共18页图所示的空间直角坐标系O - xyz ,则 O (0,0,0 ), A (2,0,0 ),B1(0,2& ),P(0,0, 2), 所以 A1B1= -2,2 <,2,0 ,AP= -2,0,2 .则有n不 n ap设n = (x, y, z )为平面PAB的法向量,= 0-2x 2.2y =0,即=0.-2x 2z=0.卜22,所以n= z =1.宴11,2 I易得,OB1 = S,2J2,0

26、 )且为平面PAG的法向量,故所求二面角Bi - PA - Ci的正弦值为i-i5 52,5(3)由(2)知 Ci -2,0,0 .设点 H =(x,y1,4 ),则 BiH =(玉,yi 2y/2, z1 ).c c Kc_4iF又 BiCi = -2, -2V2,0 , BiH = BiCi 32Xi = 一一,2.23所以%,% -2万,zi )=;(-2,-2万,0 ),从而y2亚=3z1 = 0.即点H二,返133,0 .所以PH.2 4 2-2 ,所以PH4 2UI 313 J+ (-2) =2&.本题考查线面垂直的判定定理、向量法求空间角及空间中线段的长度,考查空间想象能

27、 力和运算求解能力,求解时注意空间直角坐标系建立的适当性2219.设椭圆Fi(-c, 0)、F2(c, 0),点 P' +4=i(a a b > 0)的左、右焦点分别为 a b在椭圆上,O为原点.若 PO =c , /F20P =3,求椭圆的离心率;若椭圆的右顶点为 A,短轴长为2,且满足of2| |oa| 3|f2a|(e为椭圆的离心率).求椭圆的方程;设直线l : y = kx-2与椭圆相交于P、Q两点,若APOQ的面积为1,求实数k的值.【答案】(i)志-i (2)士+ y2=ik=±五 42【解析】(1)由题意得PFi _L PF2,利用勾股定理得PFi=J3c

28、,再利用椭圆的定义得到a, c的关系,从而求得离心率;11 e(2)由匹十可飞尸2A '得C2= 3b2,求出a,b,c后,即可得到椭圆的方程;第23页共18页设点P(X,yi ),Q(X2,y2 ),将直线方程代入椭圆方程,利用韦达定理和弦长公式求得PQ关于k的解析式,再由点到直线的距离公式,得到面积S=4J4k2-3 ,从4k2 1而求得k的值.【详解】(1)连接 PF1.因为 OP = OF2 =c,NF2OP =,3JI所以APOF2是等边三角形,所以 PF2 =c,NPF2O= .3又 OP =OF2 =OR ,所以 PF_LPF2,所以 PF1 =V3c.于是,有 2a=

29、PF| +|PF2 =(T3+1)c,3 -1.所以e =c =-=2 =73-1,即所求椭圆的离心率为 a 3 1c3a ac11 e 1 1(2)由+-,得 一十一OF2 OA 3 F2Ac a整理,得c2 =3b2.又因为 2b =2,所以 b =1, c2 =3,a2 =b2 +c2 =4.2故所求椭圆的方程为 y2 = 1.4依题意,设点P(x1,y胡依.).y = kx -2,联立方程组x29y2 14 y消去 y ,并整理得(4k2 +1 )x2 -16kx+12 = 0.则 A=256k2 -48(4k2 +1 )=16(4k2 -3)>0,()1216k2,XiX2 =

30、-2,4k2 1 4k2 1所以 PQ = .1 k2 x1 -x2J1 + k2 x1 + x2 f - 4x1x241 k2 .4k2-324k 1又点O到直线l的距离为d1k2,4,1 k2 4k2 -324.4k2 -324k2 124k2 1因为SjpOQ =1 ,所以4,4k2 -324k2 1=1 ,解得kT经验证k = -I满足2故所求实数k = J2【点睛】本题考查椭圆的离心率、椭圆方程的求解、直线与椭圆的位置关系、弦长公式等的综合运用,考查函数与方程思想、数形结合思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力1220.已知函数f(x) =ln(ex)+ax +(a+1)x(e为自然对数的底数)当a =1时,求曲线y=f(x)在点(1 , f(1)处的切线方程;讨论f (x)的单调性;当a<0时,证明f (x) <3-12a【答案】(1) 8x2y1=0(2)见解析(3)证明见解析1【解析】(1)当a=1时,f'(x) = +x+2,利用导数的几何意义求得切线方程; x(2)对函数进行求导得 f'(x) =(aX+1 21),对a分a20和a <0两种情况进行分 x类讨论,研究导数值的正负,从而得到函数的单调区间;3.一3.(3)证明不

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