抛物线中等腰直角三角形存在性问题(共3页)_第1页
抛物线中等腰直角三角形存在性问题(共3页)_第2页
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文档简介

1、抛物线中等腰直角三角形存在性问题直角坐标系中的等腰直角三角形，两种常见辅助线做法思考：在等腰RtABC和等腰RtABP中，求出下图中点C和点P的坐标. 20181023在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax2经过点B（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由【考点】HF：二次函数综合题菁优网版权所有【专题】16：压轴题【分析】（1）根据题意，过点B作B

2、Dx轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B到x、y轴的距离，即B的坐标；（2）根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得其解析式；（3）首先假设存在，分A、C是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案【解答】解：（1）过点B作BDx轴，垂足为D，BCD+ACO=90°，ACO+CAO=90°，BCD=CAO，（1分）又BDC=COA=90°，CB=AC，BCDCAO，（2分）BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）点B的坐标为（3，1）；（4分）（2）抛物线y=ax2+ax2经过点B（3，1），则得到1=9a3a2，（5分）解得a=，所以抛物线的解

3、析式为y=x2+x2；（7分）（3）假设存在点P，使得ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，（8分）过点P1作P1Mx轴，CP1=BC，MCP1=BCD，P1MC=BDC=90°，MP1CDBC（10分）CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（1，1）；（11分）若以点A为直角顶点；则过点A作AP2CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，（12分）过点P2作P2Ny轴，同理可证AP2NCAO，（13分）NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（2，1），（14分）以A为直角顶点的等腰RtACP的顶点P有两种情况即过点A作直线LAC，在直线L上截取AP=AC时，点P可能在y轴右侧，即现在解答情况的点P2；点P也可能在y轴左侧，即还有第种情况的点P3因此，然后过P3作P3Gy轴于G，同理：AGP3CAO，GP3=OA=2，AG=OC=1，P3为（2，3）；经检验，点P1（1，1）与点P2（2，1）都在抛物线y=x2+x2上，点P3（2，3）不在抛物线上（16分）【点评】本题考查学生将二次函数的图象与

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