2020届山东省滕州市第一中学高三3月线上模拟考试数学试题(解析版)

1、2020届山东省滕州市第一中学高三3月线上模拟考试数学试第18页共22页一、单选题1 .已知集合 A x N|y ，4 x, B x|x 2n, n Z,则 AI B ()A. 0,4B, 0,2,4C, 2,4D. 2,4【答案】B【解析】计算A 0,1,2,3,4 ,再计算交集得到答案【详解】A x N |ys/4_x0,12,3,4 ,B x|x 2n,n Z表示偶数，故 AI B 0,2,4故选：B.【点睛】本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力2 .欧拉公式为eixcosx i sin x,（i虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函

2、数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为数学中的天桥".根据欧拉公式可知,，才表示的复数位于复平面中A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】计算ei cos i sin- - Y3i ,得到答案 33 22【详解】根据题意ix e cosx-ii sin x ,故 e3cos- i sin - i ,表示的复数在第 33 22象限.故选：A.【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力和理解能力3.已知不重合的平面和直线l ，则“ ”的充分不必要条件是A .内有无数条直线与平行B. lC.D.内的任何直线都与平行【解析】根据充分不必要条件和直线和平

3、面,平面和平面的位置关系,依次判断每个选项得到答案.A.内有无数条直线与平行，则相交或 / ，排除;B./C.相交或 / ，排除;D.内的任何直线都与平行，故/ ，若 / ，则内的任何直线都与平行,充要条件，排除.故选：B.本题考查了充分不必要条件和直线和平面,平面和平面的位置关系,意在考查学生的综合应用能力.4.已知角的终边经过点P(sin470,cos470),则 sin(130)=C.【解析】【详解】由题意可得三角函数的定义可知:cos47osin一2一o2一o cos47sin2 47o cos2 47o，cossin 470sin2 470 cos2 470sin 47°,

4、贝U：sin13osincos13o cos sin13ooocos47 cos13 o . / osin 47 sin13cos 47o 13ocos60o - 2本题选择A选项.5.已知 x (e 1,1), a lnx, b (-)lnx, c elnx,则 a,b,c 的大小关系为()2A. cbaB. bca C. abc D. bac【答案】B1【解析】试题分析： x (e ,1), lnx (1,0) a ( 1,0) , b (1,2),1c (e ,1) b c a.选 B .【考点】利用函数图像比较大小.6.函数 f(x) 4sin x (30)的最小正周期是3，则其图象向

5、左平移否个单位长度后得到的函数的一条对称轴是()5A.xB. x C. x 436D. x1912【答案】D【解析】由三角函数的周期可得2，由函数图像的变换可得,3平移后得到函数解析式为y 4sin - x 34,再求其对称轴方程即可9解：函数f (x) 4sinx - (0)的最小正周期是3 ,则函数32,，一一f(x) 4sin x 一,经过平移后得到函数解析式为332y 4sin 一3 4sin34k (k Z),92行(k "当k 1时'1912一x一 x 一一ee sin x7.函数 f x 2ex 的图象大致为()/日 3得x k2故选D.本题考查了正弦函数图像的

6、性质及函数图像的平移变换，属基础题x的图像关于坐标原点对称，据此可排除B选项，考查函数g x ex e x,则g' xe、2当x 0时，g x单调递增，则g 4g 3-,据此有:4据此可排除C选项;0,据此可排除D选项;当 0 x n时，ex e x 0,sin x 0,则 f x本题选择A选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势.（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性.（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 利用上述方法排除、筛选选项. 228 .设双曲线三 y

7、r 1（a 0,b 0）的右焦点是F,左？右顶点分别是 A,A,过F作x a b轴的垂线与双曲线交于B,C两点，若AB A2C ,则双曲线的离心率为（）A.近B. 273C. 1D. 75【答案】A【解析】先求出B,C的坐标，再求出AiB, A2C的斜率，最后根据AB A2C得到a,b, c满足的等式关系，可从该关系式求得双曲线的离心率【详解】设双曲线的半焦距为 c,卜2b2,不妨设C c, , Bc,b2 a0日kAiB-a cb2一 一b2因为 A1BA2C,故 一ba a cb2、.2.整理得到a b,故离心率故选：A.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，可根据题设条件构建a,b,c的等

8、量关系即可求出离心率，本题属于基础题.二、多选题9 .（多选题）下列说法中，正确的命题是（2A.已知随机变量服从正态分布 N 2,40.84,则P 240.16.B.以模型y cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 z lny ,将其变换后 得到线性方程z 0.3x 4,则c, k的值分别是e4和03C.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx,若b 2, X 1,y 3,则 a 1.D.若样本数据x1，x2,，x10的方差为2,则数据2x11,2x21,，2x101的方差为16.【答案】BC【解析】根据正态分布性质求 P 24即可判断A;根据方程变形即可确定 c,

9、k的值，再判断B;根据回归直线方程过样本中心，即可判断C;根据数据变化与方差变化关系判断D.【详解】2因为随机变量 服从正态分布N 2, 2 , P 40.84,所以 P 24 P 40.5 0.84 0.5 0.34 0.16,即 A 错；Qy cekx ln y In(cekx) In y kx In c, Q z 0.3x 4 ln y 0.3x 4,从而k 0.3,ln c 4 k 03 c e4,即 B 正确；Qy a bx 过(X,亍)，3 a bQ b 2 a 1,即 C 正确；因为样本数据Xi,x2,，Xio的方差为2,所以数据2Xi1, 2x21,，2Xio1的方差为2 22

10、 =8 ,即D错误；故选：BC【点睛】本题考查正态分布、方差性质以及线性回归方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基础题.10.甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术 7门学科中任选3门.若同学甲必选物理，则下列说法正确的是（）A.甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件B .甲的不同的选法种数为 151C.已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是一69D.乙、丙两名同学都选物理的概率是49【答案】BD【解析】根据对立事件的概念可判断 A;直接根据组合的意义可判断B;乙同学选技术1 一的概率是一可判断C;根据相互独立事件同时发生的概率可判断D.3【详解】甲、乙、丙三人

11、至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故 A错误；由于甲必选物理，故只需从剩下6门课中选两门即可，即 C； 15种选法，故B正确;, 一一， 21由于乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是一 一，故C错误；6 3 3 乙、丙两名同学各自选物理的概率均为一，故乙、丙两名同学都选物理的概率是7339 皿 儿一 ，故D正确；7 7 49故选BD.【点睛】 本题主要考查了对立事件的概念，事件概率的求法以及相互独立事件同时发生的概率, 属于基础题211.设定义在R上的函数f x满足f x f x x ,且当x 0时，f x x.12.1.2一己知存在x0x fx - xf 1x 1x ，且x0为函数22g

12、 x ex Vex a(a R,e为自然对数的底数)的一个零点，则实数 a的取值可能是( )A. 2B手C- eD- Ve【答案】BCD【解析】先构造函数，判断函数的奇偶性，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数零点的性质建立不等式关系进行求解即可.【详解】1 OO解：Q 令函数 T(x) f(x) 2x ,因为 f( x) f(x) x ,12- 122T(x) T( x) f (x) x2 f ( x) ( x)2 f(x) f( x) x2 02 2'T(x)为奇函数，当 x 0时，T (x) f (x) x 0 ,T(x)在 ,0上单调递减，T(x)在R上单调递减.Q 存在

13、x° x|T(x)- T(1 x),1得T(%)T(1 %), %, 1 x°,即 x0, 2,1、Q g(x) e <ex a ； (X 2),Q x0为函数y g(x)的一个零点；1v 一Q 当 x, 一时，g (x) eVex, 021函数g(x)在x,-时单调递减， 2.一.一 a 1由选项知a 0 ,取x,要使g(x)在x,1只需使g 2e解得a立，21-时有一个零点,22e a, 0 ,a的取值范围为.e, 2故选：BCD .【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件构造函数,研究函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键.综合性较强，运算量较大，属于中档题

14、.12.已知数列 an , bn满足an 12an bn,bn 1 an 2bn In(n N ),aibi给出下列四个命题，其中的真命题是(A.数列an bn单调递增;B.数列anbn单调递增；C.数an从某项以后单调递增;D.数列bn从某项以后单调递增.【答案】BCD【解析】计算彳#到a2 b2aibiIn 2A错误，化简anbnaiB 正确，an i an In nn 1(ai bi )30, C正确,bn i bn In(n 1) 2Inn (ai bi)3n 1,D正确，得到答案.因为 ani 2an bn,bn 1ann 12bn In，所以an inbn 1anbn当 n 1 时

15、，a? b2aibiln 2，所以a2b2aibi,所以A错误;an 1bn 13(an bn)In -an 1bnln( n1)3(an bn Inn)，所以anbn Inn是等比数歹U,anbnai3n 1Inn ,所以B正确;an i 2an bn an In n (aibi)3n 1 ,n 1故 an i an In n(ai bi)30 , C 正确;因为 bn 1bnan，ln '1,所以bn ibnln(n 1) 2ln n(abi)3n1n根据指数函数性质，知数列从某一项以后单调递增，所以 D正确.故选：BCD.【点睛】本题考查了数列的单调性，意在考查学生对于数列性质的

16、综合应用三、填空题13.已知函数f(x)2x,x f(x,则2),x 0f log2 3【解析】根据分段函数f(x)2x,x 0 f(x 2),x，和 log 2 3 0利用f x f x 2转化为f log23血32 f log23求解.4因为f (x)2x,x f(x2),x 010g 2 3 0,所以 f log23 flog23 2,3又 log2 4log210,所以f， c ， 3 log 2 3 f 10g 2 二4+3 10g22 4故答案为:本题主要考查分段函数的求值，还考查了转化问题求解的能力，属于基础题 vvv v14.已知向量a (1,x 1), b (x,2),右满足

17、a Pb ,且方向相同，则x 【答案】1【解析】由向量平行坐标表示计算.注意验证两向量方向是否相同.r r, aPb , x(x 1) 2 0,解得 x 1 或x 2,r rx 1 时，a (1,2),b (1,2)满足题意，rrx 2时，a (1, 1),b ( 2,2),方向相反，不合题意，舍去.x 1 .故答案为：1 .【点睛】 本题考查向量平行的坐标运算，解题时要注意验证方向相同这个条件，否则会出错.15 .设 aCZ,且 0Q<13,若 512012 + a 能被 13 整除，则 a =【答案】12【解析】由于512012+a= ( 52 - 1 ) 2012+a,按二项式定理

18、展开，根据题意可得2012 C201220121 a能被13整除，再由0Qv13,可得 a=12.由于 512012+a= (52-1)2012+aC012 5 2 2012C2012 522011C012 5220102_ 3200931C2012 521 L2011 c9120112012C2012 521C201220121a,除最后两项外，其余各项都有13的倍数52,20122012故由题意可得 C20121 a能被13整除，再由0QV13,可得a=12,故答案为12.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于中档题.16 .已知正三棱锥P-ABC, Q为BC中

19、点，PA ，2 , AB 2 ,则正三棱锥P-ABC的外接球的半径为 ;过Q的平面截三棱锥 P-ABC的外接球所得截面的面积范 围为.【答案】-6,22【解析】根据正三棱锥P ABC , PB PC PA J2, AC BC AB 2 ,有PB2 PA2 AB2，即 PB PA，同理 PB PC , PC PA,则此正三棱锥 P-ABC为正方体的一角，根据球的直径为正方体的体对角线的长求解.根据当截面过球心时， 截面面积最大，当球心与 Q的连线垂直截面时，截面面积最小求截面的面积范围【详解】 因为正三棱锥 P ABC, PB PC PA J2，AC BC AB 2 ,所以 PB2 PA2 AB

20、2，即 PB PA ,同理 PB PC , PC PA,因此正三棱锥 P-ABC可看作正方体的一角，如图，记正方体的体对角线的中点为O,由正方体结构特征可得，。点即是正方体的外接球球心，所以点O也是正三棱锥P-ABC外接球的球心，记外接球半径为 R,则r 1、222 6 , 22因为球的最大截面圆为过球心的圆，所以过Q的平面截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积最大为SmaxR2 -2又Q为BC中点，由正方体结构特征可得 OQ - PA ； 22由球的结构特征可知，当OQ垂直于过Q的截面时，截面圆半径最小为r JR2OQ2 1 ,所以Sminr2.因此，过Q的平面截三棱锥 P-ABC的外接球

21、所得截面的面积范围为，9.2故答案为：(1).二6(2).,322【点睛】本题主要考查组合体问题以及球的截面的性质，还考查了空间想象和理解问题的能力，属于中档题.四、解答题17 .在3c2 16S 3 b2 a2 ；5bcosC 4c 5a ,这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设VABC的面积为S,已知(1)求tanB的值；(2)若 S 42, a 10,求 b 的值.【答案】(1) 3 ； (2) 6死；4【解析】(1)若选择条件 .3c2 16S 3 b2 a2 ,由正弦定理得21222223c 16 -ac

22、sin B 3 b a ,整理得：8acsin B 3 a c b ,再利用余弦定理有3cos B 4sin B 4sin B求解.若选择条件 .因为5b cosC 4c 5a ,根据正弦定理得，5sinBcosC 4sin C 5sin A,即 sin C(4 5cos B) 0 求解. 3一 1(2)由(1)知tanB -,再根据S 42, a 10,利用正弦定理 S acsin B解得422222c 14,再将 S 42, a 10, c 14 代入 6c 16S 3 6 c a 求解.【详解】2 22(1)选择条件. 3c 16S 3 b a ,2122所以 3c 16 -acsin

23、B 3 b a , 2.一_222整理得：8acsin B 3 a c b .22,2a c b即 4sin B 32acsin BcosB整理可得3cosB 4sinB,又 sinB 0,所以 cosB 0 ,所以 tanB选择条件.因为5bcosC 4c 5a ,由正弦定理得,5sin BcosC 4sin C 5sin A,5sin BcosC 4sin C5sin( B C),即 sinC(4 5cos B) 0 ,在 VABC 中，sin C 0 一4233所以 cosBsin B Jicos B所以 tan B.5 '5 '4,3_3一(2)由tan B ，得 si

24、n B，又S42, a 10 ,45-113则 S- acsinB-10c42,解得 c 14.225将 S 42, a 10, c 14 代入 6c2 16S 3 62 c2 a2 中，得 6 142 16 42 3 b2 142 102 ,解得 b 6夜.【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理和两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18.已知等差数列 an的公差d 0 ,其前n项和为Sn ,若a2 a8 22 ,且a-a7,配 成等比数列.(1)求数列 an的通项公式；11.13(2)若 Tn SSL S，证明：Tn 4 .【答案】(1) an 2n 1；(2)证

25、明见解析.【解析】【详解】分析：(1)由题意可求得等差数列an的公差d 2,阚3,从而可得an 2n 1.(2)1 11，然后根据裂项相消法得到2 n n 211由（1）可得Snn n 2,由此可得结论成立.详解：(I) :数列an为等差数列，且a2 a8 22,11.1a5- a2a82v a4,a7,a12成等比数列,2a7a4a12,即112d211 d 11 7d ,又d 0,2,a1114 23,2nn N*(2)证明：由(1)n a1 an TnS11 LS21-2 Tn34点睛:对于通项公式是分式型的数列求和时一般用裂项法，解题时注意以下两点:(1)裂项时，一般是前边裂几项，后边

26、就裂几项直到发现被消去项的规律为止;(2)第14页共22页消项的规律为：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项，即剩余的项具有对称性.19.如图，四棱锥P ABCD中，PA底面ABCD , ABCD 为直角梯形，AD II BC ,”1AD AB , AB BC AP 一 AD 2平面PAB ,平面与棱BC , AD ,PDAC I BD O ,过。点作平面 平行于PC分别相交于点E , F , G , H.(1)求GH的长度;(2)求二面角B FHE的余弦值.EFGH的法向量m 0,1,0则二面角B FH E的余弦值1,一, 2，平面2【答案】（1）75；（2）葛V

27、29.【解析】试题分析:（1）【法一】（I ）由面面平行的性质定理可得 EF/AB, EH /BP, FG/AP ,则 BOCs DOA,由相似三角形的性质计算可得 GH 55【法二】由面面平行的性质定理可得EF / /AB , EH /BP,FG /AP ,则 BOCs DOA,由题意结合余弦定理可得 gh J5.（2）建立空间直角坐标系，由题意可得平面BFH的法向量为第30页共22页3.2929试题解析:（1）【法一】（I ）因为 /平面PAB ,平面平面ABCDO EF ,平面 PAB平面 ABCD AB,所以 EF/AB,同理 EH /BP, FG /AP因为 BC / AD, AD6

28、,BC 3,EO所以-所以 BOC s DOA ,且BCAD同理OFCHPC1CE -CB 1,BE2EH COPB CA313'连接则有HO /PA,所以HOEO, HO1,所以EH-PB J2,同理, 3FG过点H 作 HN / EF 交 FG 于 NGH HN2 GN2【法二】因为/平面PAB ,平面平面ABCD EFCOAO3PA平面PAB 平面ABCD AB ,根据面面平行的性质定理，所以EF/AB,同理 EH /BP,FG/AP ,因为 BC/AD, AD 2BC,所以 BOCs DOA ,且BC CO 1AD OA 2 ,又因为 COE" aof aF BE,所

29、以 BE 2EC,同理 2AF FD ,2PG GD ,1-2EF AB 3, EH - PB 、2, FG - AP 233如图：作 HN /BC, HN PB N,GM/AD,GM PA M所以 HN / /GM , HN GM ,故四边形GMNH为矩形，即GH MN ,在PMN中，所以mN & 1 2 2府cos45 新，所以GH 卮2,2,1 ,3 2929(2)建立如图所示空间直角坐标系B 3,0,0 ,F 0,2,0 ,E 3,2,0 ,HULUVULIVvBH 1,2,1 ,FH 2,0,1 ,设平面 BFH 的法向量为 n x, y,z ,v ULUVV BH x 2y

30、 z 0v 3v uju/，令 z2,得 n 1,-, 2 ,v FH 2x z 02因为平面EFGH /平面PAB ,所以平面EFGH的法向量mv 0,1,03v v m n 23、29cosm,n -vrrv,二面角B FH E的余弦值为m|n I 9 /29J 4 4已知经销20.随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台.某种商品的电商在任何一个销售季度内，没售出 1吨该商品可获利润 0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元.根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示.已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品，现以x（单位：吨

31、，100 x 150）表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润.（I）视x分布在各区间内的频率为相应的概率，求 P x 120 ；（n）将T表示为x的函数，求出该函数表达式;（出）在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如x 100,110 ,则取x 105的概率等于市场需求量落入100,110的频率），求T的分布列及数学期望 E T .【答案】（I ） 0.7 ； （ n）T0.8x 39,100 x 130;（出）59.4.65,

32、130 x 150【解析】分析：（I）根据频率分布直方图和互斥事件的概率公式求解.（n）结合题意用分段函数的形式表示 T与x的关系.（出）先确定T的所有可能取值为 45,53,61,65,然后分别求出相应的概率，进而可得分布列，最后求出期望.详解：（I）根据频率分布直方图及互斥事件的概率公式可得：P x 120 P 120 x 130 P 130 x 140 P 140 x 1500.030 10 0.025 10 0.015 100.7.（n）当 x 100,130 时，T 0.5x 0.3 130 x 0.8x 39,130,150 时，T 0.5 1300.8x 39,100 x 130

33、65,130 x 150由题意及（n）可得：100,110 时，T110,120 时，T当x所以T（出）当x当x当 x 120,130 时，T当 x 130,150 时，T65.0.8 105 390.8 115 390.8 125 3945, P T53, P T61, P T65 , P T 650.025450.010100.1；530.020100.2；610.030100.3；0.015 10 0.4.所以T的分布列为:T45536165P0.10.20.30.4E T 45 0.1 53 0.2 61 0.3 65 0.4 59.4 万元.点睛：(1)求随机变量及其分布列的一般步骤

34、明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；利用相应的概率求出随机变量取每个可能值的概率； 按规范形式写出随机变量的分布列， 并用分布列的性质 验证.(2)解答此类问题的关键是读懂题意，合理选择合适的概率公式求解.2221.已知椭圆C:xr 4 1 a b 0的离心率为 ,椭圆C截直线y 1所得的 a b2线段的长度为2J2.(I)求椭圆C的方程；(n)设直线l与椭圆C交于A, B两点，点D是椭圆C上的点，O是坐标原点，若 OA OBv 03,判定四边形OADB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果 不是，请说明理由.22【答案】(I)土 L 1( n)见解析42【解析】(I)根据

35、椭圆C截直线y 1所得的线段的长度为 2J2，可得椭圆过点J2d ,结合离心率即可求得椭圆方程；(n)分类讨论：当直线l的斜率不存在时，四边形OADB的面积为 娓；当直线l的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，由 OAv OBv ODv,得4km 2mXd -y,yD ,2 ，代入曲线C,整理出k, m的等量关系式，再根据 12k12kSoadb AB d写出面积的表达式整理即可得到定值.【详解】c _2a t21.(I)由 -221 解付 a 2, b cJ2a b2,22a b c22得椭圆C的方程为-y-1 .42(n)当直线1的斜率不存在时，直线 AB的方程为x 1或x 1 ,此

36、时四边形 OADB的面积为J6 .当直线1的斜率存在时，设直线1方程是y kx m ,联立椭圆方程kx m2k22,4kmx 2 m 44k2X1x2-14 km2, x#22k2m2 42k2y1y2kX1X22m2mZ 21 2k2AB厂”2424卜2 2 m21 2k2点O到直线AB的距离是1m,1 k2uuv 由OAuuv uuvOB OD"d4 km2，yD1 2k2m2k2因为点整理得4kmd在曲线C上，所以有 1 2k242m21 2k221 2k2 2m2由题意四边形OADB为平行四边形，所以四边形OADB的面积为SOADBAB d J1 k22.2.4k2 2 m21 2k21 k21 2k2 m22由 1 2k2 2m2 得 So