2020届湖南省长郡中学、雅礼中学等四校高三2月联考(线上)数学(理)试题(解析版)

1、2020届湖南省长郡中学、雅礼中学等四校高三2月联考（线、单选题已知集合AA.B.【解析】可以求出集合个数即可.解：A x N，集合A的子集个数为23故选：D.上）0,1,28个.数学（理）试题2 0 ,则满足条件A0,1,2本题考查并集的运算及理解，是基础题2.已知i为虚数单位，a,b1R，复数3C.A可得BA,A的集合B的个数为D. 8从而求集合A的子集bi1A .15【答案】2.i 51B. 一52. i5C.1. i5由复数的除法运算,可得ab iJi)(2(2 i)(2 i)2.一 i5即可求解得到答案.由题意,复数b i=2；5，所以abi=5B.准确化简是解答的本题主要考查了复数

2、的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则, 关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.已知A 1,2B 2,3 , C 1,muuuBAuuirBCuuuBAuuirBC门" uuur2，则 AC ()A. 6B. 2娓C.16D. 20代入坐标可求出uur uuirBA BC4, muur4), BAuurBC (2,2m),利用模的坐标运算列方程可得进而可求出uuuruur 2 一AC的坐标，则 ac可求.uuu解：BA (1,unr 1),BC(3,m 3)uuuCA (2,2 m),uuu uuurBA BCuur uur4,m 4), BA BCuuuCA (2,2

3、m)，uuu uur 又 BA BCuur uuirBA BC_2_216 (m 4)2 4 (2 m)2 ,解得m 6,uuurAC ( 2,4),uuur 2 AC 4 16 20.故选：D.【点睛】考查根据点的坐标求向量的坐标的方法,向量坐标的加法运算，向量减法的几何意义,以及根据向量坐标求向量长度的方法，是基础题4.已知数列an满足a：an1an1 ( n 2),a4a84 jsin2xdx，且a40 ,则,a6tan ()33【答案】C2【解析】由an an 1an 1 (n 2 ),可知数列 an是等比数列，利用微积分基本定理2可求付 2 sin2xdx 1 ,从而可求付a4 a8

4、 a6 4)而由a4 0可知a6 2 ,从而可 0求得答案.【详解】2_解：由an an冏1（ n 2）,知数列 an是等比数列,2又 sin 2xdxo1 cos2x2所以a4 a8a24 ,又a40 ,所以a 0,所以% 2,所以则tana63tan 3故选：C.【点睛】本题考查数列递推式的应用，考查微积分基本定理及等比数列的性质，求得a62是关键，考查运算求解能力，属于中档题5.将函数f x 2sin x 1的图象向左平移 （01-）个单位长度后得到函数g x的图象，若使 f a g b4成立的a、b有a bmin以是函数y g x图象的对称轴的是（）B. xD. x【解析】根据三角函数

5、平移关系求出g x的解析式，结合 f a g b4成立的a,b有a bmin3，求出a,b的关系，结合最小值建立方程求出mn 4的值即可.解：将函数f x 2sin x 1的图象向左平移 （01-）个单位长度后得到函数g x的图象,即 g(x) 2sin (x ) 1若f a g b 4成立，即 |2sin a 2sin (b+ )|=4,即 |sin a sin (b) | 2 ,则sin a与sin(b) 一个取最大值1, 一个取最小值-1,不妨设 sin a 1,sin (b )1 ,则a 2k)2n1 1信 a 2k , b 2n ,2 2则 a b 2(k n) 1,.3a bmin

6、 4，3，当 k n 0时，| a b | 112当 k n 1 时，|a b| |1|2,11|一 33则 1 1或 1,即 g(x) 2sin1 2sinx 1,4由 x k , k Z , 421得 x k 1,k Z ,4 5当k 1时，对称轴方程为 x -.4故选：D.【点睛】本题考查三角函数的图象平移，以及三角函数的图象和性质，结合三角函数的最值性建立方程关系求出a,b的大小，结合最小值求出的值是解决本题的关键.考查分析问题解 决问题的能力，有一定难度6 .海岛算经中有这样一个问题，大意为：某粮行用芦席围成一个粮仓装满米，该粮 仓的三视图如图所示（单位：尺，1尺 0.33米），已知

7、1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,则估算出该粮仓存放的米约为 （）正权国 晅祝图A. 43 斛B. 45 斛C. 47 斛D. 49 斛【答案】D【解析】首先判断该几何体的形状，然后根据其体积计算公式计算即可【详解】 解：观察发现该几何体为圆台和圆柱的结合体,其体积为：22 6 122 2 -12 1 79（尺），33379则该粮仓存放的米约为 3 1.62 49 （斛）.3故选：D.【点睛】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断几何体的形状，难度不大uuv uuv uuv v7 .已知点G在 ABC内，且满足2GA 3GB 4GC 0，现在 ABC内随机取一点,D.

8、 P2RP3此点取自 GAB, GAC, GBC的概率分别记为p,P2,P3.U（）A. PP2P3【解析】分别延长GA到GA , GB到GB , GC到GC ,使得GA 2GA , GB 3GBuuur uuur uuurGC 4GC ,则有GA GB GC 0，得到点G为ABC的重心，所以S GBC【详解】由题意,1 一 一S GAC S GBC，进而求信 S GAB - S GA B , S GAC6SGBC,得出面积之间的关系，即可求解.12 GB C分别延长GA到GA , GB到GB , GC到GC ,uuur使得 GA 2GA , GB 3GB , GC 4GC ,则有 GAuui

9、rGB所以点G为 ABC的重心，所以S gab S GAC S GBCPC1 Qq又 S GABT S GA B， S GAC6从而得到 S gab : S GAC : S GBC-S 811 S SGAC，° GBC 12 0 GBC1 1 :4:3: 26 8 121s8 GAC)uuuuGC 0，则 R : P2 : P3 4:3: 2 ,即 P> P2>P3.故选 C.【点睛】其中解答中根据响亮的运本题主要考查了平面向量的应用，以及几何概型思想的应用, 算求得点G的位置，得出面积之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力, 属于中档试题.228.已知双曲线

10、C： x2 Y2 1 ( a 0, b 0)的右焦点为F c,0，点A、B分别 a2 b22 a 在直线X一和双曲线C的右支上，若四边形OABF (其中O为坐标原点)为菱形且其面积为3v15，则a ()A.也B. 75C. 2D. V6【答案】A【解析】设点Aa2 一a2.一,t ,t 0,因为 OF AB c,则 B c,t ，根据点 B cc在双曲线上可得一个关于a,b,c方程，根据面积又可得一个关于a,b, c的方程，在加上c2 a2 b2 ,列方程求解即可【详解】 解：如图:t 0,因为OF设点Aa ,一 ,t cAB2 a c ,则 B c又OBAF ，tac c1c c，化简得t2

11、b2 (12A2人 ccc,ba22b2(1 当)cb2-2 a又-2，由得a J3,b 3,c 2J3.故选：A.【点睛】本题考查双曲线的性质的应用，考查学生计算能力，根据条件列方程是本题的关键，是中档题.9.当x为实数时,trunc x表示不超过x的最大整数，如trunc 3.13.已知函数f x trunc x根的个数为（A. 3（其中XB. 4R ),函数g x满足g x g 6 x、0.3 时，g xC. 52x ,则方程f xD.g x的所有【解析】由gx g6x,g1x g1x,得函数g x的图象关于直线 x 1及直线x 3对称，又由g(x) g(2 x)g 4 x可得g x的周

12、期，通过作图观察的方法可得结果【详解】解：由 gx g 6 x , g 1 xx ,得函数g x的图象关于直线 x 1及直线x 3对称,g(x) g(2 x)则g x为周期函数，且最小正周期为4.对于 f x ,当 x 0,1)时，f(x) 0当 x 1,2)时，f (x) 1；当 x 2,3)时，f(x) 2；当 x 3,4)时，f(x) 3；当 x 4,5)时，f(x) 4；当 x1,0)时，f (x)1；当 x2,1)时，f(x)2;当 x3,2)时，f(x)3；当 x4,3)时，f(x)4；当 x5,4)时，f(x)5；综合已知条件可在同一直角坐标系内画出函数f x及g x的图象,由图

13、可知，函数 y f x与函数y g x共有6个交点,即方程f x g x的根的个数为6.故选：D.【点睛】此题考查了函数的图象和性质，由数形结合求解，画出函数的图像很关键，是中档题.10 .对四彳立数 abcd (1 a 9,0 b、c, d 9),若 a b、b c、c d,称 abcd为告祥数”，则告祥数”的个数为()A . 1695B. 1696C. 1697D. 1698【答案】A【解析】由数的特点，先确定b,d位置上的数，再安排 a,c位置上的数，列举出来算出个数即可.【详解】解：由数的特点，先确定 b,d位置上的数，再安排 a, c位置上的数，列表如下：其中第一列是d取的数，第一行

14、是b取的数，中间是满足吉祥数的a,c组合的数量，如：b 0,d 0, a,c组合有9 9种可能，6=0b=lb=2b=3b = 4b=5b=6b=7匕=8d=09x98x87x76x65x54x43x32x2_lxl二18x8了乂 76x65x54X43x32 乂 21X1d = i9x78x77x76x65x54x43x32x21X1d 'A9x68xG7x66x65x54x43x32x21X1rf4!J x.-j8x57x5Gx55x54x43x32x21*19x48x47x46x44x43 M32x21X18x37x35x34x33x32 xJ1X1(i=9x28x27x26x2

15、5x24x23兄22 乂 21X1d=S9x18x17x1Gxl5x14x13x12x1lxlJ则吉祥数的个数为：9 (9 8765432 1) 8 (8 8765432 1)7 (7 7765432 1)1 (1 1 1 1 1 1 1 1 1)9 45 8 44 7 42 6 392 17 1 9 1695,故选：A.【点睛】本题考查列表分类求数量，关键是要在列举中发现规律，进而方便计算出结果，是中档 题.sin2A sin2B A B;11 . ABC中，所有内角都不是钝角，有以下命题： sin 2A sin2BA B ; cos2 A cos2 BcosB .其中正确命题的个数是（B.

16、 2C. 3【解析】利用三角公式变形和三角函数的性质逐一判断解： sin2A sin2B ,则 2A2B 或 2A 2B=B= ,故错2误; sin2A sin2Bsin A BA B sin2cos A B sinsin A B cos2A cos2Bcos A Bcos2sin A B sin A B 0sinB,故正确;A+B 一,故正确.2 sin A cosB sin A sin 一2故选：C.【点睛】本题考查三角形中角的关系的判断，考查应用公式变形的熟练程度，是中档题12 .如图所示，将33 33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜

17、色不同，称他们的公共边为分割边”，则分割边条数的最小值为（）1617.-171633A. 33B. 56C. 64D. 78【答案】B【解析】 记分隔边的条数为 L ,首先将方格按照按图分三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，将方格白行从上至下依次记为A,4,L ,A3 ,列从左至右依次记为Bi,B2,L &3,行cj中方格出现的颜色数记为nA ，列Bi中方格出现的颜色个数记为n Bi ,三种颜色分别记为Ci,C2,C3,对于一种颜色 3,设n q为含有Cj色方格的行数与列数之和，定义当 A行含有Cj色方格时，A,cj1,否则Ai,cj0,333类似的定义Bi，q ,计算得到n

18、 A n Bin(Cj),再证明i 1j 1n(Cj) 39( j 1,2,3),再证明对任意1 i 33均有n A 2,n Bi2,最后求出分隔边条数的最小值.【详解】记分隔边的条数为 L,首先将方格按照按图分三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，1617171033此时共有56条分隔边，即L 56 ,其次证明：L 56,将将方格的行从上至下依次记为A,A2,L , A33 ,列从左至右依次记为 B1, B2,L B33,行A中方格出现的颜色数记为nA ，列B中方格出现的颜色个数记为n Bi ,三种颜 色分别记为G,c2,c3,对于一种颜色 缶，设n cj为含有Cj色方格的行数与列数

19、之和,定义当Ai行含有Cj色方格时,A,Cj 1,否则A，cj0,类似的定义Bi，cj33333所以 nA n BiAi,Cji 1i 1 i 13Bi,Cjn Cj ,j 112由于染Cj色的格有一332 3363个，设含有Cj色方格的行有a个，列有b个，则Cj色的方格一定再这个 a行和b列的交叉方格中，从而ab 363,所以 n Cja b 2屈 27363 38 n Cj39( j 1,2,3),由于在行A中有n A种颜色的方格，于是至少有 n A 1条分隔边,n Bi 1条分隔边,3333则 L n A 1 n Bii 1i 13n Cj66 j 1331 nA n Bi66 i 1类

20、似的，在列Bi中有n B种颜色的方格，于是至少有下面分两种情形讨论，(1)有一行或一列所有方格同色,不妨设有一行均为G色，则方格的33列均含有0的方格,又G色的方格有363个，故至少有11行有G色方格，于是ng 11 33 44由得L n gn C2 n q 66 44 39 39 66 56,(2)没有一行也没有一列的所有方格同色，则对任意1 i 33均有n A 2，n Bi 2,从而，由式知：33L nA n Bi66 33 4 66 66 56 ,i 1综上，分隔边条数的最小值为56.故选：B.本题主要考查染色问题，考查计数原理，考查分析推理能力，是一道难度极大的题目、填空题1r13 .

21、若x 的展开式中第r 1项为常数项，则一2x2n2【答案】23【解析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得r3r 2n 0 ,从而得到一的值. n【详解】n-1 _，解：工x 的展开式中第r 1项为2x2Cnr21）rx3r 2n ,再根据它为常数项,可得3r2n2故答案为：2.3【点睛】 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.14 .我国古代数学家祖咂提出原理：寨势既同，则积不容异”其中幕”是截面积， 势是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体

22、积相等xsin ,x 2,0如图（1）,函数f x2的图象与x轴围成一个封闭区域 A （阴,1 x 1 2,x 0,2影部分），将区域A （阴影部分）沿z轴的正方向上移 6个单位，得到一几何体.现有一个与之等高的底面为椭圆的柱体如图（2）所示，其底面积与区域 A （阴影部分）的面积相等，则此柱体的体积为 .【解析】阴影区域在(0,2上为半个圆，所以柱体的底面积为半圆的面积减去函数f(x)在2,0)上的积分，有了底面积，又知道高为6,即可得到柱体的体积.【详解】解：由题意得，阴影区域在(0,2上为半个圆，2 x 0cos | 2221 0.x.1底面租S S圆 sindx 2 22224 4所以

23、该柱体的 体积为 一 一 6 3 2 224故答案为：3.【点睛】本题考查定积分在求曲边梯形面积上的应用，考查计算能力y 015,已知变量x、y满足约束条件 x 2y 8 0 ,在实数x、y中插入7个实数，使这2x y 6 09个数构成等差数列an的前9项，则ai x、a9 y,则数列an的前13项和的最大值为.【答案】【解析】出数列221 6画出约束条件表示的平面区域，结合图形计算该等差数列an的公差d ,写an的前13项和S13,求出它的最大值.0表示的平面区域，如图所示;02x y103记这个等差数列为an1,、8(y x)，所以数列an的前13项和为13 a1S132a1313a7 1

24、3 a16d13 x作出直线l ：X 3y0,由图形可知，当直线l过点A时,3 y取得最大值,所以S|3的最大值为13410432216221故答案为：2216【点睛】本题考查了二元一次不等式组表示平面区域应用问题，也考查了等差数列应用问题，是中档题.16 .若有且仅有一个正方形，其中心位于原点，且其四个顶点在曲线y x3 ax上,则实数a .【答案】2.2【解析】 设正方形ABCD对角线AC所在的直线方程为 y kx ,则其斜率唯一确定， 转化为二元方程只有唯一实数根，利用根的判别式求解即可【详解】解：设正方形ABCD对角线AC所在的直线方程为则对角线BD所在的直线方程为y kx3 y xa

25、x所以AO2k2同理,BO2又因为AO2BO2k2 k-所以k3k2a即k22 0.at 2 0因为正方形 ABCD唯一确定,则对角线AC与BD唯一确定,是k -值唯一确定,k所以关于t的方程t2at0有且只有一个实数根，又 kt R.所以0,因为x20,所以k;0,所以故因此a2.2 ；反过来2,2 时,2,k于是k于是正方形故答案为:,626;或 k ABCD唯一确定.2 -2 .【点睛】考查综合利用数学知识分析本小题主要考查函数的解析式的求法以及二次函数的性质, 问题、解决问题的能力 三、解答题17 .如图，多面体ABC DBiCi是正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱） ABC AiBiC

26、i 沿平面DBiCi切除一部分所得，其中平面ABC为原正三棱柱的底面，BC CCi 2, 点D为AAi的中点.求证：BCi 平面BiCD ；（2）求二面角Ci BD C的平面角的余弦值.【答案】（i）证明见解析；（2）Y6.【解析】（i）设BCi与BiC交于点E,连接DC、DE ,由题意可得四边形 BBiCiC是 正方形，且AC AD,再由点D为AAi的中点，AA平行且等于CCi,求得CD,同 理求得DBi,得DBi CD ,可得BiC DE ,由线面垂直的判定可得；（2）取BC的中点O,连接AO,可得AOLBC,由正棱柱的性质可得 AO,平面BCCB ,uuu uuu uuu以O为坐标原点，

27、向量OB、oE、oa分别为x、y, z轴建立仝间直角坐标系，分别求出平面CBD与平面BCiD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角Ci BD C的平面角的余弦值.【详解】设BCi与BiC交于点E,连接DC、DE .多面体ABC DBiCi是正三棱柱沿平面 DB1cl切除部分所得，BC CCi 2 ,四边形BBiCiC是正方形，且 AC AD.点D为AA的中点，AAi平行且等于CCi ,CD : CA AD25.同理 DBi J BB1 AD 2AB2 娓, DB1 CD .E为B1C的中点，B1C DE .又. B1C BC1 , BC1 I DE E ,B1C 平面 BC1D ；(

28、2)取BC的中点O,连接AO.VABC为正三角形，AO BC.由正棱柱的性质可得，平面ABC 平面 BCC1B1,且平面ABC I平面BCCiBi BC ,AO 平面 BCC1B1.以点。为原点，向量uuruOB、uuuuuuuOE、OA分别为x、y, z轴正方向建立如图所示空间直角坐标系Oxyz.则 B 1,0,0 , Bi 1,2,0uuur 一 uuurCD1,1,V3 , BDC 1,0,0 , D 0,1,V3 ,uuurB1C2, 2,0r设平面CBD的一个法向量为n x, y,z ,V UUIV-n BDx y 、.3z 0则 v UUU/厂 ，n CD x y 、,3z 0令

29、z 1 ,得 x 0 , y73,即 n 0,石,1uuir由(1)可知，平面BCiD的一个法向量为BC 2, 2,0r uuir .02,321 06cos (n, BC *, '；1 3 ,4 44又二面角Ci BD C的平面角为锐角,面角G BD C的平面角的余弦值为乎.【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的大小，是中档题 .2218.已知椭圆C： x2 乌 i (a b 0)的两焦点与短轴两端点围成面积为12的a b正方形.(1)求椭圆C的标准方程；(2)我们称圆心在椭圆上运动，半径为Ja 2 b的圆是椭圆的 卫星圆”过

30、原点。作椭圆C的 卫星圆”的两条切线，分别交椭圆 C于A、B两点，若直线OA、OB的斜率为k1、k2,当 k2 2而时，求此时 卫星圆”的个数.22【答案】(1)土匕1；(2)8个.126b c【解析】(1)由条件可得，解出来即可;2bc 12(2)设卫星圆”的圆心为 X0,y0 ,由定义可得 卫星圆”的标准方程为22,x X0y y09,求其圆心到直线 OA,直线OB的距离，整理可转化为 X、222k2是万程X0 9 k 2%y0k y0 9 0的两个不相等的实数根，则k1k2转,再加上k1k21 2后,22过为1,解方程即可.12 6解得b c ,6 .又 a2b2 c2 1222 椭圆C

31、的标准方程为x- y- 1.126(2)设 卫星圆”的圆心为 Xo,yo .由卫星圆”的定义，可得卫星圆”的半径为f b2 3. 22 卫星圆”的标准方程为 X x0y y09. .直线OA： y kix与卫星圆”相切，kiXo yo|0则由点到直线的距离公式可 21 3,；1 ki2_2_2_化简得Xo9k12xoyok1y0 90.同理可得 x2 9 k； 2x0y0k2 y2 9 0.0的两个不相等的实数根,k1、k2是方程 x2 9 k2 2%y0k y； 92 x09 0 ,由22,得 x0y09 ,22将丛江 1代入得x212 66 , k1 k22x0 y0x2 9又卫星圆”的圆

32、心x°, y°在椭圆C上,2代入椭圆方程121中,可得12解得y2 62 x°2k1k2 24x2 y2x2 9 24x22424x02.x0-40.22x0 92当x210时,2y。1；当x2542V。157，满足条件的点 Xo,y0共8个,，这样卫星圆”存在8个.本题考查椭圆方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，注意韦达定理的应用，考查计 算能力与分析能力，是一道中档题219.已知首项为a1的数列an各项均为正数，且 nan 12anan 12an4an,2(1)若数列bn的通项bn满足bn an ,且a11 ,求数列bn的前n项和为Tn；(2)若数列Cn的通

33、项Cn满足cnM ,前n项和为Qn4Sn当数列Cn是等差数列时,对任意的n N ,均存在m24 2，使得 8aQn an16cm成立，求满足条件的所有整数a1构成的集合n【答案】(1)Tn3n 1 49(2)c ma1 2 n'nn【解析】(1)由条件可变形为an 1n 1_ an2言，可得数列 .nan 一，以a1为首项，以2为公比的等比数列，进而可得an a1Vn2n 1 ,则bn a2 n 4n 1,再利用错位相减法求和即可；(2)根据(1)求出2aC1 14S2a216S2 '2C3-3-T ,由数列64S3是等差数列，列方程可3,分S1和S 3讨论，通过条件对任意的2

34、4 n 1 anna"即2Man而a” 一即后2 a2Jn.24 2使得8al Qn a1n16cm成立，可得a1.是以a1为首项，以2为公比的等比数歹U,an an a19n 14,，数列an的通项公式为ana1、_ n2n 1 al bn2an4n Tn4041424n 14Tn414243两式相减，得3Tn4041424n1 4n""3"3nTn一，数列bn的前n项和Tn3n(2)二.数列cn的通项cnbn4S由(1)得,cn2ann4S又数列Cn是等差数列,16a24S48a12 16S2解得S1 或 S 3.又Cn24n 1na1 4n ?4s

35、1时,cn2红422 na,42nai2 a14S2 a216S22a364S3. 2 匕16S2a4S64S>一 2 一 一S 4S 3 0.cn为等差数列,对任意的n N ,均存在m24N ,使得 8aQn an216cm成立,8al222n a1 na14 2a1 n162ma2na14m ,又ai为正整数,ai的值构成的集合为.满足条件的所有整数2264322 2当S 3时,cn S，Qcni cn R 不是常数， ，数列cn不是等差数列，舍去综上，满足条件的所有整数 ai的值构成的集合为【点睛】本题考查由递推式求通项公式，考查错位相减法求和，考查数列中的存在性，任意性的问题，考

36、查计算能力，是一道难度较大的题目20 .高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃， 让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的小木块中， 上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通1 道口洛下，第一次与第 2层中间的小木块碰撞，以 一的概率向左或向右滚下，依次经2过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1 , 2，7的球槽内.例如小球要掉入 3号球槽，1，一则在前

37、5次碰撞中有2次向右3次向左滚到第6层的第3个空隙处，再以 一的概率向21 , 左滚下，或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滚到第6层的第2个空隙处，再以一的2概率向右滚下1 2 3 4 5 6 7(1)若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；(2)小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性 抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入X号球槽得到的奖金为 元,其中 20 5X .(i)求X的分布列：(ii)高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？【答案】(1)3; (2) (i)分布列见解析；(ii)能盈利.32

38、【解析】(1)记小球落入第7层第6个空隙处的事件为 M,小球落入第7层第6个空隙处，需要在6次碰撞中有1次向左5次向右，由此能求出这个小球掉入第 7层第6个空 隙处的概率；(2) X的取值为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,由此能求出X的分布列，进而可求出的分布 列和E ,从而能求出小明同学能盈利(1)记小球落入第7层第6个空隙处的事件为 M，小球落入第7层第6个空隙处，需要在6次碰撞中有1次向左5次向右,则 P Mc62 232(2)由已知X的取值可为1,5,6, 7.1 P X 7C；642 P X 6C6-2 1PX3 PX5 C62 -215；64C3205 564 16X123

39、4567131551531P16326416643216X的分布列为(ii) Q 20 5X的可能取值为0, 5, 10, 15,P 0 P X 4,1615P 5PX3PX5，323P 10PX2PX6-, 161P 15 P X 1 P X 7 32E 0 5 10 15 758.1632163216.小明同学能盈利.【点睛】本题考查概率的求法， 考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用2 a ,21.已知函数 f(x) x ax (a R).x(1)当a 1且x 1时，求函数f(x)的单调区间;e(2)当 a时，e2 1明 0 g(x1)

40、g%)若函数g(x)4-"2 " .e 12f (x) x ln x的两个极值点分别为Xi、x2,证,;无单调递减区间；(2)证明见【答案】(1) f(x)的单调递增区间为(1,0), 0,解析.1 2x3 x2 1【解析】(1)求得f (x) 2x 1 -2 2，分类讨论，即可求解f x的单调x x区间，得到答案；(2)根据x,x2是函数g (x)的两个零点，设x,x2是方程ax2 x a 0的两个实数解，再根据二次函数的性质函数g(x)在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，进而得到x1,，、，ra ,代入得gx22 篙 2lnx, 令 x1g(t)2口1x 1-lnt

41、 ,设 h(x) 2 2x 11 r -lnx ,利用导数求得函数的单调性与2最值，即可求解.【详解】2(1)由题意，当a 1时，f (x) xf (x) 2x322x x 12，x)上单调递增;当x>0时，f (x) 0恒成立，所以函数f (x)在区间(0,21当 1 x 0时，记(x) 2x x 1 则(x) 6x 2x 6x x - 31,，、所以当x -,0时，(x) 0,(x)单调递减，且(x)(0) 1；3，1,，、八，、八当x 1,-时，(x) 0,(x)单调递增，且(1) 0,3所以当x ( 1,0)时,(x) 0 ,函数f (x)单调递增.综上所述，函数f(x)的单调递增区间为(1,0), (0,”无单调递减区间2.a(2)由 g(x) f (x) x In x ax - In x(a R, x 0), x2a 1 ax x ag (x) a - - 2，x x xQ x),x2是函数g (x)的两个零点,x1，x2是方程ax2 x a 0的两个实数解,一ee 1由 >0 ,且 a ,得a ,则有 “x2=1 , e2 1e2 12不妨设 x1x2,0 x11x2111又 Q x1x2,即得 x1,e2 1aXaQe即得2x1x2111X e 一,从而得到x 1 ,xeeee2 10,由二