数值积分及matlab实现学习教案

1、会计学1数值积分及数值积分及matlab实现实现(shxin)第一页，共44页。数值数值(shz)(shz)积分和数值积分和数值(shz)(shz)微微分分1 引言引言 我们知道我们知道,若函数若函数(hnsh)f(x)在区间在区间a,b上连续且其上连续且其原函数原函数(hnsh)为为F(x),则可用则可用Newton-Leibnitz公式公式baaFbFdxxf)()()(求得定积求得定积分分(jfn)求定积分的值求定积分的值 , Newton-Leibnitz公式公式 无论在理论上还无论在理论上还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完全

2、解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的实际问全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的实际问题极为广泛，而且极其复杂，在实际计算中经常遇到题极为广泛，而且极其复杂，在实际计算中经常遇到以下三种情况：以下三种情况：第1页/共43页第二页，共44页。(1)被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的有限形式(xngsh)表示的原函数F(x)，例如：Newton-Leibnitz公式就无能为力了dxedxxxx10102sin和(2)还有被积函数(hnsh)f(x)的原函数(hnsh)能用初等函数(hnsh)表示，但表达式太复杂，例如函数(hnsh)32)(22xxxf并不复杂(fz)，但积分后其表达

3、式却很复杂(fz)，积分后其原函数F(x)为：) 322ln(2169321633241)(22222xxxxxxxxF第2页/共43页第三页，共44页。(3) 被积函数被积函数f(x)没有具体的解析表达式没有具体的解析表达式, 其函数其函数 关系由表格或图形表示。关系由表格或图形表示。 对于这些情况对于这些情况, 要计算积分的准确值都是十分困难的要计算积分的准确值都是十分困难的。由此可见。由此可见, 通过原函数来计算积分有它的局限性通过原函数来计算积分有它的局限性, 因而研因而研究一种新的积分方法来解决究一种新的积分方法来解决Newton-Leibniz公式公式(gngsh)所所不能或很难解

4、决的积分问题不能或很难解决的积分问题, 这时需要用数值解法来建立积这时需要用数值解法来建立积分的近似计算方法。分的近似计算方法。 将积分区间细分将积分区间细分,在每一个小区间内用简单函数代替复杂在每一个小区间内用简单函数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想，用代数插值多项函数进行积分，这就是数值积分的思想，用代数插值多项式去代替被积函数发式去代替被积函数发f(x)进行积分是本章讨论数值积分的主进行积分是本章讨论数值积分的主要内容。要内容。 第3页/共43页第四页，共44页。 建立数值积分公式的途径比较多建立数值积分公式的途径比较多, 其中最常其中最常用的有两种：用的有两种：（1）由积分中

5、值定理可知，对于）由积分中值定理可知，对于(duy)连续函连续函数数f(x)，在积分区间，在积分区间a,b内存在一点内存在一点，使得，使得即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为高为 的矩形面积。但是点的矩形面积。但是点的具体位置一般是未的具体位置一般是未知的知的, 因而因而 的值也是未知的的值也是未知的, 称称 为为f(x) 在在区间区间a,b上的平均高度。那么只要对平均高度上的平均高度。那么只要对平均高度 提供一种算法，相应地就获得一种数值求积方提供一种算法，相应地就获得一种数值求积方法法bafabdxxfba,)()()()(f)(f)(f)(

6、f第4页/共43页第五页，共44页。三个求积分三个求积分(jfn)(jfn)公式公式 梯形梯形(txng)(txng)公式公式y=f(x)yxab)()()(21)(bfafabdxxfbay=f(x)abyx(a+b)/2 中矩形中矩形(jxng)(jxng)公式公式)2()()(bafabdxxfba按照这种思想，可构造出一些求积分值的近似公式。例如按照这种思想，可构造出一些求积分值的近似公式。例如 分别取分别取 和和则分别得到中矩形公式和梯形公则分别得到中矩形公式和梯形公式。式。)(f)2()(baff2)()()(bfaffy=f(x)abab第5页/共43页第六页，共44页。y=f(

7、x)yab Simpson公式公式(gngsh)(a+b)/2)()2(4)()(61)(bfbafafabdxxfbaf()的近似值而获得的近似值而获得(hud)的一种数值积分方法。的一种数值积分方法。 中矩形公式把中矩形公式把a,b 的中点处函数值的中点处函数值 作为平均高度作为平均高度f()的近似值而获得的近似值而获得(hud)的一种数值的一种数值积分方法。积分方法。 )()(21bfaf)2(bafab(a+b)/2 在这三个公式在这三个公式(gngsh)中中, 梯形公式梯形公式(gngsh)把把f(a), f(b)的的加权平均值加权平均值 作为平均高度作为平均高度 第6页/共43页第

8、七页，共44页。Simpson公式是以函数公式是以函数f(x)在在a, b, (a+b)/2这三点的函数值这三点的函数值f(a), f(b), 的加权平均值的加权平均值 似值而获得的一种似值而获得的一种(y zhn)数值积分方法。数值积分方法。1()4()()62abfaffb)2(baf作为平均作为平均(pngjn)高高度度f()的近的近（2）先用某个）先用某个(mu )简单函数简单函数 近似逼近近似逼近f(x), 用用 代替原被积函数代替原被积函数f(x)，即，即 )(x)(xbabadxxdxxf)()(以此构造数值算法。从数值计算的角度考虑以此构造数值算法。从数值计算的角度考虑,函数函

9、数 应对应对f(x)有充分的逼近程度有充分的逼近程度,并且容易计算其积分。由并且容易计算其积分。由于多项式能很好地逼近连续函数于多项式能很好地逼近连续函数,且又容易计算积分且又容易计算积分,因此因此将将 选取为插值多项式选取为插值多项式, 这样这样f(x)的积分就可以用其插的积分就可以用其插值多项式的积分来近似代替值多项式的积分来近似代替 )(x)(x第7页/共43页第八页，共44页。2.2 2.2 插值求积公式插值求积公式设已知设已知f(x)f(x)在节点在节点(ji din) (ji din) 有函数值有函数值, ,作作n n次拉格朗日插值多项式次拉格朗日插值多项式 ), 1 , 0(nk

10、xk)(kxfnkkkxlxfxP0)()()()()()()(0kknkjjjkjkxxxxxxxxxl式中式中 )()()(10nxxxxxxx这里这里(zhl(zhl) ) 多项式多项式P(x)P(x)易于求积易于求积, ,所以所以(suy)(suy)可取可取 作为作为 的近似值，即的近似值，即 badxxP)(badxxf)(第8页/共43页第九页，共44页。knkkbaknkkbaknkkbabaAxfdxxlxfdxxlxfdxxPdxxf 000)()()()()()()(bakkbakkdxxxxxdxxlA)()()()(其中其中(qzh(qzhng) ng) 称为称为(ch

11、n wi)(chn wi)求积系数。给出如下定义。求积系数。给出如下定义。 定义定义(dngy)1 (dngy)1 求积公式求积公式 nkkkbaxfAdxxf0)()(其系数其系数 时，则称求积公式为插值时，则称求积公式为插值求积公式。求积公式。 bakkdxxlA)(4)(4)第9页/共43页第十页，共44页。设插值求积公式设插值求积公式(gngsh)(gngsh)的余项为的余项为 , ,由插值余项由插值余项定理得定理得 )(fRbanbadxxnfdxxPxffR)()!1()()()()() 1(ba,其中其中(qzh(qzhng) ng) 当当f(x)f(x)是次数不高于是次数不高于

12、n n的多项式时，有的多项式时，有 =0, =0,求积公式求积公式(4)(4)能成为准确的等式。由于闭区间能成为准确的等式。由于闭区间a,ba,b上的连续函数可用多项式逼近，所以一个求积公式能对多上的连续函数可用多项式逼近，所以一个求积公式能对多大次数的多项式大次数的多项式f(x)f(x)成为准确等式，是衡量该公式的精确成为准确等式，是衡量该公式的精确程度的重要指标，为此给出以下程度的重要指标，为此给出以下(yxi)(yxi)定义。定义。 0)()1(xfn)( fR第10页/共43页第十一页，共44页。定义定义2 2 （代数精度）（代数精度） 设求积公式（设求积公式（4 4）对于一）对于一

13、切次数切次数(csh)(csh)小于等于小于等于m m的多项式的多项式( (mxxxxf, 1)(2mmxaxaxaaxf2210)(是准确是准确(zhnqu)(zhnqu)的，而对于次数为的，而对于次数为m+1m+1的多项式是的多项式是不准确不准确(zhnqu)(zhnqu)的，则称该求积公式具有的，则称该求积公式具有m m次代数次代数精度（简称代数精度）精度（简称代数精度） 或或)第11页/共43页第十二页，共44页。定理定理1 n+11 n+1个节点的求积公式个节点的求积公式 为插值型求积公式的充要条件是公式为插值型求积公式的充要条件是公式 至少具有至少具有(jyu)n(jyu)n次代数

14、精度。次代数精度。 nkkkbaxfAdxxf0)()(第12页/共43页第十三页，共44页。例例1 1 设积分区间设积分区间(q jin)a, b(q jin)a, b为为0, 20, 2，取时，取时 时时, , 分别用梯形和辛卜生公式分别用梯形和辛卜生公式 xexxxxxf, 1)(43220)2()0()(ffdxxf20)2() 1 (4)0(31)(fffdxxf计算计算(j sun)(j sun)其积分结果并与准确值进行比较其积分结果并与准确值进行比较解解: :梯形公式和辛卜生的计算梯形公式和辛卜生的计算(j sun)(j sun)结果与准确值比结果与准确值比 较如下表所示较如下表

15、所示 第13页/共43页第十四页，共44页。 f(x) 1 x x2 x3 x4 ex 准确值 梯形公式(gngsh)计算值 辛卜生公式(gngsh)计算值 从表中可以从表中可以(ky)(ky)看出看出, ,当当f(x)f(x)是是 时时, ,辛卜辛卜生公式比梯形公式更精确生公式比梯形公式更精确 432,xxx 一般说来，代数精度越高，求积公式越一般说来，代数精度越高，求积公式越精确。梯形公式和中矩形公式具有精确。梯形公式和中矩形公式具有1 1次代数精次代数精度，辛卜生公式有度，辛卜生公式有3 3次代数精度。下面次代数精度。下面(xi (xi mian)mian)以梯形公式为例进行验证以梯形公

16、式为例进行验证 第14页/共43页第十五页，共44页。babfafabdxxf)()(2)(取取f(x)f(x)=1时，时，abababdxba) 11 (2,1两端两端(lin (lin dun)dun)相等相等 取取f(x)=xf(x)=x时时, , )(21)(2),(212222abbaababxdxba取取f(x)=xf(x)=x2 2 时时, , baabbabaababdxx)(21)(2),(312222332两端两端(lin (lin dun)dun)不相等不相等 所以梯形所以梯形(txng)(txng)公式只有公式只有1 1次代数精度。次代数精度。 两端相等两端相等 第15

17、页/共43页第十六页，共44页。构造插值求积公式构造插值求积公式(gngsh)有如下特点：有如下特点：复杂函数复杂函数f(x)的积分转化为计算多项式的积分的积分转化为计算多项式的积分 求积系数求积系数Ak只与积分区间及节点只与积分区间及节点xk有关，而与被积函数有关，而与被积函数f(x)无关，可以不管无关，可以不管f(x)如何，预先算出如何，预先算出Ak的值的值 n+1个节点的插值求积公式个节点的插值求积公式(gngsh)至少具有至少具有n次代数精度次代数精度 求积系数之和求积系数之和 可用此检验计算求积系数的正确性可用此检验计算求积系数的正确性 abAnkk0第16页/共43页第十七页，共4

18、4页。3 牛顿牛顿(ni dn)柯特斯柯特斯(Newton-Cotes)求积公式求积公式 在插值求积公式在插值求积公式nkkkbabaxfAdxxPxxf0)()(d)(中中,当所取节点当所取节点(ji din)是等距时称为牛顿是等距时称为牛顿-柯特斯公柯特斯公式式其中其中 插值多项式插值多项式 求积系数求积系数 )()()(0nkkkxfxlxPbakkdxxlA)(这里这里(zhl) 是插值基函数。即有是插值基函数。即有 )(xlkdxxxxxdxxlAbankiiikibakk 0)(第17页/共43页第十八页，共44页。将积分区间将积分区间(q jin)a,b 划分为划分为n等分等分,

19、 步长步长求积节点为求积节点为 为了计为了计算系数算系数Ak, 由于由于 , 所以所以nabh), 1 ,0(nkkhaxkhikxxik)( nknnkkkkkkhknkxxxxxxxx)!( !) 1()()()(110作变量作变量(binling)代换代换 当当 时时,有有 ,于是可得于是可得 thaxkbax,nt, 0dxxxxxdxxlAbankiiikibakk 0)(dthhntktkttthknknnnkn0)() 1)(1() 1()!( !) 1(dtitknnkabnnkiikn 00) )()!( !) 1()(第18页/共43页第十九页，共44页。dtitknnkC

20、nnkiiknk00)()!(!)1(k=0,1,n)代入插值求积公式代入插值求积公式(gngsh)(4)(gngsh)(4)有有 nkkkbaxfCabxxf0)()(d)(称为牛顿称为牛顿(ni dn)-(ni dn)-柯特斯求积公式柯特斯求积公式,Ck,Ck称为柯特称为柯特斯系数斯系数引进引进(ynjn)记记号号kkCabA)( (k=0,1,n)则则第19页/共43页第二十页，共44页。容易容易(rngy)(rngy)验证验证 10nkkCbakkkkdxxlAAabC)(1nkbaknkkdxxlabC00)(1111)(10 babankkdxabdxxlab显然显然(xinrn)

21、, Ck(xinrn), Ck是不依赖于积分区间是不依赖于积分区间a,ba,b以及被积以及被积函数函数f(x)f(x)的常数的常数, ,只要给出只要给出n,n,就可以算出柯特斯系数就可以算出柯特斯系数, ,譬譬如当如当n=1n=1时时 1011002121) 1(! 1! 011tdtCdttC第20页/共43页第二十一页，共44页。当当n=2=2时时202061)2)(1(!2!02)1(dtttC201132)2(! 1! 12) 1(dtttC200261)1(!0!22)1(dtttC第21页/共43页第二十二页，共44页。4 4 几个低阶求积公式几个低阶求积公式 在牛顿在牛顿- -柯

22、特斯求积公式中柯特斯求积公式中n=1,2,4n=1,2,4时，就分别时，就分别得到下面得到下面(xi mian)(xi mian)的梯形公式、辛卜生公式和柯的梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式。特斯公式。(1) (1) 梯形公式梯形公式 当当n=1n=1时，牛顿时，牛顿- -柯特斯公式就是梯形公式柯特斯公式就是梯形公式 )()()(21)(bfafabdxxfba定理定理(dngl)2 （梯形公式的误差）设（梯形公式的误差）设f(x)在在a,b上具上具有连续的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为有连续的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为),()(12)()(31bafabfR 第22页/共43

23、页第二十三页，共44页。（2 2） 辛卜生公式辛卜生公式(gngsh)(gngsh) 当当n=2n=2时，牛顿时，牛顿- -柯特斯公式柯特斯公式(gngsh)(gngsh)就就是辛卜生公式是辛卜生公式(gngsh)(gngsh)（或（或 称抛物线公式称抛物线公式(gngsh)(gngsh)） )()2(4)()(61)(bfbafafabdxxfba定理定理3 3（辛卜生公式的误差（辛卜生公式的误差(wch)(wch)）设在）设在a,ba,b上上具有连续的四阶导数，则辛卜生求积公式的误差具有连续的四阶导数，则辛卜生求积公式的误差(wch)(wch)为为 ),()(2880)()()4(52ba

24、fabfR定理证明定理证明(zhngmng)(zhngmng)从略从略。 第23页/共43页第二十四页，共44页。（3 3） 柯特斯公式柯特斯公式(gngsh)(gngsh)。 当当n=4n=4时，牛顿时，牛顿- -柯特斯公式柯特斯公式(gngsh)(gngsh)为为 )(7)(32)(12)(32)(790)(43210 xfxfxfxfxfabdxxfba定理定理(dngl)4(dngl)4（柯特斯公式的误差）设在（柯特斯公式的误差）设在a,ba,b上具有上具有连续的连续的6 6阶导数，则柯特斯求积公式的误差为阶导数，则柯特斯求积公式的误差为 ),()(49458)()6(74bafabf

25、R定理定理(dngl)(dngl)的证明从略的证明从略。 第24页/共43页第二十五页，共44页。例例11 11 分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯 公式计算定积分公式计算定积分(jfn)(jfn) 的近似值的近似值 ( (计算结果取计算结果取5 5位有效数字位有效数字) ) 15 . 0dxx(1) (1) 用梯形用梯形(txng)(txng)公式计算公式计算 4267767. 0 170711. 025. 0)1 () 5 . 0(25 . 01d15 . 0ffxx(2) (2) 用辛卜生公式用辛卜生公式(gngsh) (gngsh) /).(.d.xx

26、43093403. 0 103866. 0411707. 0121第25页/共43页第二十六页，共44页。(3) (3) 用柯特斯公式用柯特斯公式(gngsh)(gngsh)计算，系数计算，系数为为 , 17875. 03275. 012625. 0325 . 07 905 . 01d15 . 0 xx43096407. 0793326.2939223.1029822.2594975. 41801积分积分(jfn)(jfn)的准的准确值为确值为 43096441. 032d15 . 02315 . 0 xxx可见，三个求积公式的精度可见，三个求积公式的精度(jn d)(jn d)逐渐提逐渐提高

27、。高。 第26页/共43页第二十七页，共44页。例例12 12 用辛卜生公式和柯特斯公式计算用辛卜生公式和柯特斯公式计算(j sun)(j sun)定积定积分分3123d)572(xxxx的近似值的近似值, ,并估计其误差并估计其误差(wch)(wch)(计算结果取计算结果取5 5位小数位小数) ) 解解 : : 辛 卜 生 公 式辛 卜 生 公 式(gngsh) (gngsh) 322036225941613)(24)(6bfbafafabS由于由于 由辛卜生公式余项由辛卜生公式余项 572)(23xxxxf0)()4(xfbafabfR,),(2880)()()4(5知其误差为知其误差为 0)(fR第27页/共43页第二十八页，共44页。例例12 用辛卜生公式和柯特斯公式计算用辛卜生公式和柯特斯公式计算(j sun)定积分定积分3123d)572(xxxx的近似值的近似值,并估计并估计(gj)其误差其误差(计算结果取计算结果取5位小数位小数) 解解:柯特斯公式柯特斯公式(gngsh) 知其误差为知其误差为 0)(fR322097812532912835327451)