数学建模B题学习教案

1、会计学1数学数学(shxu)建模建模B题题第一页，共53页。 信息信息（语言（语言(yyn)(yyn)、数据）、数据） 问题问题(wnt)(wnt)（第一问，（第一问，,） 问题问题(wnt)(wnt)所属类型所属类型 做题做题思路和关键点思路和关键点 结果结果表示形式表示形式读读 题题第1页/共52页第二页，共53页。要铺设一条要铺设一条(y tio) 输送天然气的主管道输送天然气的主管道,如图一所示。经筛选如图一所示。经筛选(shixun)后可以生产这种主管道钢管后可以生产这种主管道钢管的钢厂有的钢厂有。图中粗线表示。图中粗线表示(biosh)铁路，单细线表示铁路，单细线表示(biosh)

2、公路，双细公路，双细线表示要铺设的管道（假设沿管道或者线表示要铺设的管道（假设沿管道或者原来有公路，或者原来有公路，或者和管道旁的阿拉伯数字表示里程（单位：和管道旁的阿拉伯数字表示里程（单位：KmKm）。）。或者建有施工公路或者建有施工公路 ) )，圆圈表示火车站，每段铁路、公路，圆圈表示火车站，每段铁路、公路1521AAA721,SSS为方便计，为方便计，1 Km1 Km主管道钢管称为主管道钢管称为1 1单位钢管。单位钢管。第2页/共52页第三页，共53页。A1325801010312012427010881070627030202030450104301750606194205201680

3、4803002202104205006003060195202720690520170690462160320160110290115011001200A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7图一第3页/共52页第四页，共53页。一个钢厂如果承担一个钢厂如果承担(chngdn)(chngdn)制造这种钢管，至少需要生产制造这种钢管，至少需要生产500500个个单位单位(dnwi)(dnwi)。钢厂钢厂在指定期限内能生产该钢管在指定期限内能生产该钢管(gnggun)的最大数量为的最大数量为个单位，钢管出厂销价个单位，钢管出厂销价1 1单位钢

4、管为单位钢管为万元，如下表：万元，如下表：123456780080010002000 2000 2000 3000160155155160155150160iipiSisipis第4页/共52页第五页，共53页。1单位钢管的铁路运价单位钢管的铁路运价(yn ji)如下表：如下表：里程里程(km)300301350351400401450451500运价（万元）运价（万元）2023262932里程里程(km)5016006017007018008019009011000运价运价(万元万元)3744505560 1000km 1000km以上每增加以上每增加(zngji)1(zngji)1至至10

5、0km100km运价增加运价增加(zngji)5(zngji)5万元。万元。 公路运输费用为公路运输费用为1 1单位钢管单位钢管(gnggun)(gnggun)每公里万元（不足每公里万元（不足整公里部分按整公里计算）。整公里部分按整公里计算）。钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只运到点钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只运到点，而是管道全线）。，而是管道全线）。1521,AAA第5页/共52页第六页，共53页。问题：问题： （1 1）请制定）请制定(zhdng)(zhdng)一个主管道钢管的订购和运输计划一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用，使总费用最小（给出总费用) )。

6、（2 2）请就（）请就（1 1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价(xio (xio ji)ji)的变化的变化对购运计划和总费用影响对购运计划和总费用影响(yngxing)(yngxing)最大？哪个钢厂钢管的产量的上最大？哪个钢厂钢管的产量的上限限的变化对购运计划和总费用的影响最大？并给出相应的数字的变化对购运计划和总费用的影响最大？并给出相应的数字结果。结果。（3 3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图， 铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种

7、解决办法，并对图二按（一种解决办法，并对图二按（1 1）的要求给出模型和结果。）的要求给出模型和结果。第6页/共52页第七页，共53页。A13258010103120124270108810706270302020304501043017506061942052016804803002202104205006003060195202720690520170690462160320160110290115011001200A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7图一A1325801010312012427010881070627030202

8、0304501043017506061942052016804803002202104205006003060195202720690520170690462160320160110290115011001200A19130190260100A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7A16A17A18A20(A21)图二第7页/共52页第八页，共53页。 问题问题(wnt)(wnt)所属类型所属类型 做题做题思路思路(sl)(sl)和关键点和关键点 结果结果表示表示(biosh)(biosh)形式形式 优化模型优化模型第8页/共52页第九页

9、，共53页。1 1、问题、问题(wnt)(wnt)的分析的分析优化问题优化问题(wnt)(wnt)1 1）优化模型的数学）优化模型的数学(shxu)(shxu)描述描述.,.,)(mihi210 x),.,(nxxxx321x求函数求函数)(xfu 在约束条件在约束条件下的最大值或最小值，其中下的最大值或最小值，其中.,.,),)()(piggii2100 xx和和设计变量（决策变量）设计变量（决策变量）目标函数目标函数x)(xf x 可行域可行域第9页/共52页第十页，共53页。tosubjectts .“受约束于”之意Iibgtsii,)( . .xJjforj )(max) min(xx

10、第10页/共52页第十一页，共53页。.,.,.,.,.minnixnibxatsxcuinkikikniii2102111线性规划线性规划(xin xn u hu)（LP） 目标函数和所有的约束条件都是设计目标函数和所有的约束条件都是设计(shj)变变量的线性函数。量的线性函数。第11页/共52页第十二页，共53页。二次规划二次规划(guhu)问题问题.,.,.,.,.)(min,nixnibxatsxxbxcxfuinjijijnjijiijniii2102121111目标函数目标函数(hnsh)为二次函数为二次函数(hnsh)，约束条件为线性约束，约束条件为线性约束第12页/共52页第十

11、三页，共53页。2）建立优化模型的一般）建立优化模型的一般(ybn)步骤步骤1.确定设计变量和目标确定设计变量和目标(mbio)变量变量；2.确定目标确定目标(mbio)函数的表达式；函数的表达式；3.寻找约束条件。寻找约束条件。第13页/共52页第十四页，共53页。 设有某物资从设有某物资从m个发点个发点(f din) 输送到输送到n个收点个收点 其中每个发点其中每个发点(f din)发出量分别为发出量分别为 每个收每个收点输入量分别为点输入量分别为 ，并且满足，并且满足从发点从发点(f din)A到收点到收点B的距离（或单位运费）是已知的，设的距离（或单位运费）是已知的，设为为 。问题：寻

12、求一个调运方案，使总运输费用达到最小。问题：寻求一个调运方案，使总运输费用达到最小。maaa,.,21nbbb,.,21minijjiba1),.,.,(njmicij2121例例 运输运输(ynsh)问题问题mAAA,21nBBB,21第14页/共52页第十五页，共53页。B1 B2 . BnA1A2Ama1a2am b1 b2 . bn.x11 x12 . x1nx21 x22 . x2nxm1 xm2 . xmn收点收点发点发点 一个调运一个调运(dioyn)方案主要由一组从发点方案主要由一组从发点 到收点到收点 的的输送量来描述。输送量来描述。iAjBijx第15页/共52页第十六页，

13、共53页。总的费用总的费用(fi yong)(fi yong)njjjnnjxCxCxCxCBA11111121211111.njjjnnjxCxCxCxCBA12222222221212.minjijijxCf11A1A1的总费用的总费用A2A2的总费用的总费用第16页/共52页第十七页，共53页。s.t.njmixnjbxmiaxijmijijnjiij,.,.,.,.,.,.,21210212111minjijijxCf11min数学模型数学模型求解(qi ji)：单纯形方法。minijjiba1第17页/共52页第十八页，共53页。问题：问题： （1 1）请制定一个主管道钢管）请制定一

14、个主管道钢管(gnggun)(gnggun)的订购和运输计的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用划，使总费用最小（给出总费用) )。（2 2）请就（）请就（1 1）的模型）的模型(mxng)(mxng)分析：哪个钢厂钢管的销价的变化分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大？哪个钢厂钢管对购运计划和总费用影响最大？哪个钢厂钢管(gnggun)(gnggun)的产的产量的上限量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大？并给出相应的数字的变化对购运计划和总费用的影响最大？并给出相应的数字结果。结果。（3 3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，）如果要铺设的管道不是一条线

15、，而是一个树形图， 铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二按（一种解决办法，并对图二按（1 1）的要求给出模型和结果。）的要求给出模型和结果。第18页/共52页第十九页，共53页。B1 B2 . BnS1S2S7a1a2am b1 b2 . bn.x11 x12 . x1nx21 x22 . x2nxm1 xm2 . xmn收点收点发点发点 订购与运输订购与运输(ynsh)方案方案ijxSi1234567供货量？n=5171第19页/共52页第二十页，共53页。.7151711minijijijxcW)7 ,

16、1(,500051711isxijij)5171, 2 , 1(171jxiij)5171, 1()7 , 1(10jiorxij数学模型注注1 1： 表示表示(biosh)(biosh)单位钢管从单位钢管从 运到运到 的最小费用（含订购费用）的最小费用（含订购费用） ijciSjB注注2 2：适合：适合(shh)(shh)第三问，只是第三问，只是 n=5903.n=5903.第20页/共52页第二十一页，共53页。目标目标(mbio)变量变量 ：总费用总费用(fi yong)=订购费用订购费用(fi yong)+运输费用运输费用(fi yong)总费用总费用 WTPQW运输费用运输费用(fi

17、 yong)=从钢厂到管道从钢厂到管道关节点关节点1521,AAA的的运输费用运输费用 P +从管道的关节点到铺设点的运输费用从管道的关节点到铺设点的运输费用 T即：即：第21页/共52页第二十二页，共53页。钢管的订购钢管的订购(dnggu)(dnggu)计划：计划：每个钢厂的定货每个钢厂的定货(dn hu)(dn hu)数量。数量。钢管的运输钢管的运输(ynsh)(ynsh)方案：方案：从每个钢厂运送到每个管道从每个钢厂运送到每个管道区间的钢管量。区间的钢管量。1S2S3S4S5S6S7S1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15A11x12x13x14x15x

18、16x17x18x19x10, 1x11, 1x12, 1x13, 1x14, 1x15, 1xiSjAijx第22页/共52页第二十三页，共53页。1）基本(jbn)假设：n 要铺设(p sh)的管道侧有公路，可运送所需钢管；n 钢管在运输中由铁路(til)运转为公路运时不计换车费；n 所需钢管均由 钢厂提供；）（7 , 2 , 1in 在具体铺设每一公里时，只把钢管运输到每一公里开始的地方，沿运输方向向前铺设的费用不予考虑。2 2、模型假设与符号说明、模型假设与符号说明iS第23页/共52页第二十四页，共53页。：1单位(dnwi)钢管从钢厂 运到 的最小费用（单位(dnwi)：万元）；2

19、）符号(fho)说明：）（15,2 , 1;7 ,2 , 1jiis：从 到 之间的距离（单位(dnwi)：千米）；jA1jAipdeijcjb：钢厂 的最大生产能力；：钢厂 的出厂钢管单位价格（单位：万元）；：公路上1单位钢管的每公里运费（万元）；：铁路上1单位钢管的运费（分段函数见表一）；iSiSiSjA第24页/共52页第二十五页，共53页。 ：运到 地的钢管向左铺设(p sh)的数目；jAjAjyjz 钢厂 提供(tgng)钢管iS 钢厂 不提供(tgng)钢管iSW ： 所求钢管订购、运输的总费用（单位：万元）。：运到 地的钢管向右铺设的数目；01it：钢厂 运到 的钢管数；iSjA

20、ijx第25页/共52页第二十六页，共53页。 目标函数是总费用 ：钢管出厂(ch chng)总价 ,运WQPTWQPT=+，3 3、模型、模型(mxng)(mxng)的建立的建立iijijpxQ7115171151ijijijxcP(1)(1)决策决策(juc)(juc)变量变量jyjz01itijx)15, 1()7 , 1(ji(2)(2)目标函数目标函数输费 ,及铺设费 ,即 其中：1 1单位钢管从钢厂单位钢管从钢厂 运到运到 的最小费用（单位：万元）的最小费用（单位：万元）ijciSjA第26页/共52页第二十七页，共53页。从 开始向左右两个方向铺设(p sh)，铺设(p sh)的

21、数量分别用 与 来表示。jAjyjz铺设(p sh)费 可以如下确定：T单位(dnwi)长钢管的费用为d2)1 (21jjjyydyddd1512)1 (2)1 (jjjjjzzyydT故第27页/共52页第二十八页，共53页。（3 3）约束条件）约束条件()01itor=jAjA1jA与的钢管(gnggun)：1jjjzyb+= 生产能力(shn chn nn l)的限制:)7 , 1(500151itsxtiijiji 运到 的钢管(gnggun)用完： )15, 2 , 1(71jzyxjjiij )14, 2 , 1(j 变量非负性限制：)15, 1()7 , 1(0, 0, 0jiz

22、yxjjij 端点限制：01y015z第28页/共52页第二十九页，共53页。.15171151711512)1 (2)1 (minjjjjjijijijijijizzyydxcxpW()01itor=)7 , 1(500151itsxtiijiji)15, 2 , 1(71jzyxjjiij1jjjzyb+=)14, 2 , 1(j)15, 1()7 , 1(0, 0, 0jizyxjjij(4)(4)数学模型数学模型01y015z第29页/共52页第三十页，共53页。iSjAijc其中(qzhng)每一 表示单位钢管从 到 的最小运输费用，因而(yn r)，求解 实际上是一个求最短“最短路

23、经”问题是图论(t ln)中最基本的问题之一。4 4、模型的求解、模型的求解关键1 求出目标函数中的系数 ijc关键2 确定约束条件中的 it 157ijcijc路径的问题。“最短路经”问题的标准算法-弗洛伊德算法。第30页/共52页第三十一页，共53页。A13258010103120124270108810706270302020304501043017506061942052016804803002202104205006003060195202720690520170690462160320160110290115011001200A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13

24、A14A15S1S2S3S4S5S6S7图一第31页/共52页第三十二页，共53页。其中(qzhng) 表示从 到 的最短路程，若不能相连，求出铁路和公路(gngl)的最短路径矩阵ijaiAjA用 表示(biosh)。运用Floyd算法，得出局部最短路径矩阵。39393939)(ijaA铁路和公路自身分别构成权矩阵，记为 和 。ija1A2A铁路和公路的最短路径矩阵的统一对公路，将 为公路局部最小运费矩阵。221.0AA第32页/共52页第三十三页，共53页。对铁路，用铁路的费用 进行(jnxng)转换，得局部铁路e最小运费(yn fi)矩阵 。2A令()12min,AAA=jA对得到(d d

25、o)的A,再使用一次Floyd算法，得到(d do)全局的最短每两点间最小运费矩阵，从中抽取出 到 之间的子矩阵即为所需的 。is求最小费用矩阵157)(ijcC第33页/共52页第三十四页，共53页。最小费用(fi yong)矩阵1234567891011121314151170716031402986380205312126429209601060121212801420221572053190217161110955860712114214201460156017121780192032307220320021816121010559608624828208609601112118013

26、2042607250323522166156014051310116284262051061076283097052557245322522066146013051210111279257033051071273087062657255323522166156014051310121284262051045026211028072757265324522266166015051410131299276066056038226020注：表中的数据乘以为对应注：表中的数据乘以为对应(duyng)(duyng)的最小费用矩阵的元的最小费用矩阵的元素。素。157)(ijcC第34页/共52页第三十五页

27、，共53页。最小费用(fi yong)矩阵123456789101112131415117071603140298638020531212642920960106012121280142022157205319021716111095586071211421420146015601712178019203230722032002181612101055960862482820860960111211801320426072503235221661560140513101162842620510610762830970525572453225220661460130512101112792570

28、33051071273087062657255323522166156014051310121284262051045026211028072757265324522266166015051410131299276066056038226020注：表中的数据(shj)乘以为对应的最小费用矩阵的元素。157)(ijcC第35页/共52页第三十六页，共53页。()01itor=)7 , 1(500151itsxtiijiji)7 , 1(0151isxijij模型就转化为典型(dinxng)的二次规划问题。 如果其最优解符合(fh)原有的约束条件，则便是原问题的最优解。 如果(rgu)存在 i 使

29、 那么)500, 0(151jijx针对这些 i 分两种情况5000151jijijxorx找出其中的最优的结果。第36页/共52页第三十七页，共53页。.15171151711512)1 (2)1 (minjjjjjijijijijijizzyydxcxpW)7 , 1(0151isxijij)15, 2 , 1(71jzyxjjiij1jjjzyb+=)14, 2 , 1(j)15, 1()7 , 1(0, 0, 0jizyxjjij根据二次规划软件求解(qi ji)模型或者运用数学(shxu)软件Lingo5.0,编程求解01y015z第37页/共52页第三十八页，共53页。将 从供应商

30、中除去(ch q)，再将第7家工厂的供货量最优解中500, 015174jjjxx4S改为(i wi)0以及不小于500两种情况重做。相比之下，取0的情况(qngkung)总费用较小，从而也把 删除。7S第38页/共52页第三十九页，共53页。钢管钢管(gnggun)(gnggun)的的订购计划：订购计划：1234567供货量800800100001366120501234567供货量8008001000010151556084.127W亿元亿元5 5、结果、结果(ji gu)(ji gu)表示表示第39页/共52页第四十页，共53页。钢管的运输钢管的运输(ynsh)(ynsh)方方案：案：3

31、3420026617932130018714966460035141535186333621165合计合计17950801083200266300664351415863336211651S2S3S5S1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15A0104226010741851901255053212707519928616507528209157617515930145111343350iziy1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15A6S第40页/共52页第四十一页，共53页。 1）确定哪个钢厂的销价(xio ji)的变化对购运计划

32、和总费用的影响最大6 6、灵敏度分析、灵敏度分析(fnx)(fnx)15171151711512)1 (2)1 (minjjjjjijijijijijizzyydxcxpWs.t.)7 , 1(0151isxijij)15, 2 , 1(71jzyxjjiij1jjjzyb+=)14, 2 , 1(j)15, 1()7 , 1(0, 0, 0jizyxjjij01y015z第41页/共52页第四十二页，共53页。 假设该钢厂的销价(xio ji)变化在 万元以内，0010ip1234567160155155160155150160176170.5170.5176170.516517615413

33、9.5139.5154139.5135154iip00iipp WW84.127W结论： 或 的销价的变化(binhu)影响最大。5S6S第42页/共52页第四十三页，共53页。钢管的订购钢管的订购(dnggu)(dnggu)计划：计划：1234567供货量800800100001366120501234567供货量8008001000010151556084.127W亿元亿元第43页/共52页第四十四页，共53页。 2）确定哪个钢厂的生产上限的变化(binhu)对购运计划和总费用的影响最大 在变化 的情况下目标函数(hnsh)减小量及减小的比率1%8720.0683280.0253100.0

34、2400002%17440.1366560.0516200.04800004%34880.27213120.10212400.09600006%52320.40819680.15318600.14500008%69760.54426240.20424800.193000010%87200.68532800.25631000.2420000结论： 的生产上限的变化(binhu)影响最大。1Sisss1s2s3s5s6sWWW第44页/共52页第四十五页，共53页。最小费用(fi yong)矩阵1234567891011121314151170716031402986380205312126429

35、2096010601212128014202215720531902171611109558607121142142014601560171217801920323072203200218161210105596086248282086096011121180132042607250323522166156014051310116284262051061076283097052557245322522066146013051210111279257033051071273087062657255323522166156014051310121284262051045026211028072757265324522266166015051410131299276066056038226020注：表中的数据乘以为对应(duyng)的最小费用矩阵的元素。157)(ijcC第45页/共52页第四十六页，共53页。A13258010103120124270108810706270302020304501043017506061942052016804803002202104205006003060195202720690520170690462160320160110290115011001200A19130190260100A2A3A4A5A6A7A8A9A1