弹性力学板弯曲ding新

1、会计学1弹性力学板弯曲弹性力学板弯曲ding新新第1页/共90页 3. 薄板弯曲问题属于空间问题。薄板弯曲理论，是从空间问题的基本方程和边界条件出发，应用薄板的三个计算假定进行简化，并按位移法导出薄板弯曲问题的基本方程和边界条件。 最后归结的基本位置函数（挠度w(x,y)）和相应的方程、边界条件。薄板问题也属于二维问题。 4. 对于矩形薄板，基本的解法是纳维法和莱维法。 5. 对于圆板问题，类似于极坐标中的平面问题，可以建立相应的圆板弯曲问题的方程。对于轴对称圆板的弯曲问题，其通解已经解出。第2页/共90页第3页/共90页第4页/共90页薄板是一种常见的工程构件形式机械、航空和土建工程中应用广

2、泛特殊形式小挠度薄板第5页/共90页第6页/共90页第7页/共90页第8页/共90页板板中面为平面中面为平面壳壳曲面曲面小挠度的弯曲薄板小挠度的弯曲薄板薄板薄板宽度与厚度的比值在宽度与厚度的比值在15以上。以上。第9页/共90页第10页/共90页第11页/共90页 Plate middle plane（中面）（中面） The plane parallel to the faces of the plate and bisecting the thickness is called the middle plane of the plate. 中面：中面：平分厚度的平面称为板的中间平面，或简称板

3、的平分厚度的平面称为板的中间平面，或简称板的 中面。中面。第12页/共90页第13页/共90页第14页/共90页第15页/共90页第16页/共90页第17页/共90页xyz第18页/共90页第19页/共90页第20页/共90页Loads（荷载）第21页/共90页 xMwEI 薄板弹性曲面：薄板弹性曲面：当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面。当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面。qwD4 xqxxM22dd第22页/共90页第23页/共90页z00zwz),(yxww 即即：横向位移：横向位移w(x,y)只是只是x,y的函数，不随的函数，不随z变化。变化。因此因此，在中面的任一根法线上各点都具有相同的横向，

4、在中面的任一根法线上各点都具有相同的横向位移，也就等于挠度。位移，也就等于挠度。z第24页/共90页zyzxz和,0, 0yzxz0, 0ywzvxwzuxwzuywzv弹性曲面的法线。保持不伸缩，并且称为板弯曲时，可见中面的法线在薄和由于00, 0zyzxz思考： 梁弯曲时中性轴的概念？第25页/共90页zyzxz和,xyxyxyyyxxEEE)1 (2)(1)(1 薄板小挠度问题中的物理方程与薄板平面应力问题的薄板小挠度问题中的物理方程与薄板平面应力问题的物理方程相同（但两种问题中应力和形变分量沿厚度方物理方程相同（但两种问题中应力和形变分量沿厚度方向的分布是不同的）。向的分布是不同的）。

5、第26页/共90页0)(, 0)(00zzvuyuxvyvxuxyyx,因为：0)(, 0)(, 0)(000zxyzyzx 也就是说：也就是说：中面的任意一部分，虽然弯曲成弹性曲面的一部分，但中面的任意一部分，虽然弯曲成弹性曲面的一部分，但它在它在xy面上的投影性状却保持不变面上的投影性状却保持不变。 在材料力学里分析直梁的弯曲时，也采用了与上相似的计算假设，只在材料力学里分析直梁的弯曲时，也采用了与上相似的计算假设，只是在这里，是在这里，薄板的中面代替了梁的轴线，薄板的弹性曲面代替了直梁的弹薄板的中面代替了梁的轴线，薄板的弹性曲面代替了直梁的弹性曲线，性曲线，薄板的双向弯曲（实际上是薄板的

6、双向弯曲（实际上是连弯带扭连弯带扭）代替了直梁的单向弯曲。）代替了直梁的单向弯曲。第27页/共90页xyyx,xyyx,yzxz,z第28页/共90页基本未知函数: w(x,y)小挠度薄板位移解法小挠度薄板位移解法zywvzxwu,zyxwxvyuzywyvzxwxuxyyx222222位移与应变：位移与应变：第29页/共90页薄板薄板应力：应力：yxwEzxwywEzywxwEzxyyx2222222222221)(1)(1第30页/共90页yxwDMxwywDMywxwDMxyyx222222222)1 ()()()1 (1223EDyxwywxwxyyx22222广义力 广义应变 曲率扭

7、率 薄板弯曲内力：薄板弯曲刚度第31页/共90页Dqywyxwxw44224442q22wD薄板平衡方程：第32页/共90页xwzuywzv前面已经导出：对 z 进行积分),(1yxfzywv),(2yxfzxwu0)(0zu由于：0),(2yxf0),(1yxf0)(0zv因此：zxwuzywv ，第33页/共90页xyyx,zywvxuxzxwuzxwx22yvyzywy22xvyuxyzxwuzyxwxy22zywv第34页/共90页由薄板的物理方程：xyxyzyyyxxEEE)1 (2)(1)(1xyxyxyyyxxEEE)1 (2)(1)(122zxwx22zywy22zyxwy22

8、yxwEzxwywEzywxwEzxyyx22222222222)1 ()(1)(1由于 w 不随 z 而变，三个主要应力分量都与z 成正比，与梁的弯曲应力相似。第35页/共90页 由于次要应力分量zx,zy引起的形变忽略不计，相应的物理方程已经放弃。使用平衡方程推导。yxzyxxzx平衡方程前两式：xyzyxyzy0, 0yxff体力分量：yxwEzxwywEzywxwEzxyyx22222222222)1 ()(1)(1将应力分量代入后，得：wyEzxywywEzzwxEzyxwxwEzzzyzx222333222233321)(11)(1对 z 进行积分第36页/共90页wyEzxwxE

9、zxzyzx22222211对 z 进行积分),()1 (2),()1 (222221222yxFwyEzyxFwxEzzyzx上下板面边界条件：0| )(2zzxwxEyxF2221)1 (2)2/(),(wyEyxF2222)1 (2)2/(),(0| )(2zzxwyzEzwxzEzyzx222222222)4()1 (2)4()1 (2两个切应力沿横向为抛物线分布，与材料力学中梁的切应力相似。第37页/共90页平衡方程第三式：0zf体力分量：表示。即：并用上板面的面力中去，一归入到面积内的体力和面力都，可以把薄板的每单位若体力分量qfz02/2/22dz)()(zzzzzfffq这样处

10、理只会对z引起误差，对其他应力分量无影响。这样处理，和材料力学中对梁的处理相同。yxzzyzxz对 z 进行积分),()34()1 (234322yxFwzzEzwzEzz4222)4()1 (2第38页/共90页),()34()1 (234322yxFwzzEz下板面边界条件：0)(2zzwEyxF43323)248()1 (2),(wzzEz43322)8(31)2(4)1 (2wzzE4223121)1 (6第39页/共90页由上板面的边界条件：qzz2)(zwzzE4223121)1 (6qwE423)1 (12q为薄板每单位面积内的横向荷载，包括横向面力及横向体力。)1 (1223E

11、DqwD4D薄板的弯曲刚度薄板的弹性曲面微分方程，或挠曲线微分方程。在上述推导过程中，已经考虑并完全满足空间问题的平衡方程、在上述推导过程中，已经考虑并完全满足空间问题的平衡方程、几何方程和物理方程，以及薄板上下板面的主要边界条件，并得几何方程和物理方程，以及薄板上下板面的主要边界条件，并得出了求解挠度出了求解挠度w的基本微分方程。基本微分方程结合薄板侧面的的基本微分方程。基本微分方程结合薄板侧面的边界条件，可以求出挠度边界条件，可以求出挠度w,然后可以求得应力分量然后可以求得应力分量。第40页/共90页第41页/共90页第42页/共90页yxwDMxwywDMxyy22222)1 ()()(

12、2222ywxwDMx)1 (1223EDyxwywxwxyyx22222广义力 广义应变 曲率扭率 薄板弯曲内力：薄板弯曲刚度第43页/共90页wyEFwxEFMyxwEMxwywEMywxwEMSySxxyyxyx22222223222223222223)1 (12)1 (12)1 (12)()1 (12)()1 (12第44页/共90页从薄板中取出一个平行六面体，如下图所示：).()(,xyxxyxxzxyxMMzx和扭矩只可能分别合成弯矩上的主矢量都等于零，所以他们在薄板全厚度零，成正比，且在中面上为都与及。因为着为常量的截面上，作用在第45页/共90页合成扭矩合成弯矩合成横向剪力xx

13、MxyxyMSxxzF2/2/dzzMxx2/2/dzzMxyxy2/2/dzFxzSx2/2/222222)(1dzzywxwEMx)()1 (12222223ywxwE第46页/共90页合成扭矩合成弯矩合成横向剪力xxMxyxyMSxxzF2/2/dzzMxx2/2/dzzMxyxy2/2/dzFxzSxxM)()1 (12222223ywxwE2/2/22)1 (dzzyxwEMxyyxwE23)1 (12第47页/共90页合成扭矩合成弯矩合成横向剪力SxxzF2/2/dzFxzSx)()1 (12222223ywxwEMxyxwEMxy23)1 (122/2/2222)4()1 (2d

14、zzwxEFSxwxE222)1 (12第48页/共90页合成扭矩合成弯矩合成横向剪力)()1 (12222223ywxwEMxyxwEMxy23)1 (12wxEFsx222)1 (12第49页/共90页方法与方法与x面上类似：面上类似：合成扭矩合成弯矩合成横向剪力wyEFMyxwEMxwywEMSyxyyxy22223222223)1 (12)1 (12)()1 (12yyMyxyxMSyyzF第50页/共90页wyEFwxEFMyxwEMxwywEMywxwEMSySxxyyxyx22222223222223222223)1 (12)1 (12)1 (12)()1 (12)()1 (12

15、第51页/共90页由应力的正负方向的规定得出：正的应力合成的主矢量为正，正的应力乘以正的矩臂合成的主矩为正；反之为负。第52页/共90页前面讲过：yxwEzxwywEzywxwEzxyyx22222222222)1 ()(1)(1wyzEzwxzEzyzx222222222)4()1 (2)4()1 (2wzzEz4223121)1 (6wyEFwxEFMyxwEMxwywEMywxwEMSySxxyyxyx22222223222223222223)1 (12)1 (12)1 (12)()1 (12)()1 (12第53页/共90页3312,12yyxxMzM)4(6)4(6223223zFz

16、FSyyzSxxzzzqz12122zMxyyxxy312各应力分量与弯矩、扭矩、横向剪力或荷载之间的关系。第54页/共90页面。的最大值发生在板的上的最大值发生在中面，的最大值发生在板面，zyzxzxyyx,2226)()(xzxzxM23)(23)(00SyzyzSxzxzFFqzz2/)(22/2/6)()(xyzxyzxyM2226)()(yzyzyM注意：以上提到的内力，都是作用在薄板每单位宽度上的内力，所以弯矩和扭矩的量纲为：LMT-2,横向剪力的量纲为：MT-2。注意：在薄板弯曲问题中，弯应力和扭应力在数值注意：在薄板弯曲问题中，弯应力和扭应力在数值上最大，因而是上最大，因而是主

17、要应力主要应力；横向切应力在数值上较；横向切应力在数值上较小，是小，是次要应力次要应力；挤压应力在数值上最小，是；挤压应力在数值上最小，是更次更次要的应力要的应力。因此在计算薄板的内力时，主要计算弯。因此在计算薄板的内力时，主要计算弯矩和扭矩，横向剪力一般无需计算。因此有关手册矩和扭矩，横向剪力一般无需计算。因此有关手册中只给出弯矩和扭矩的计算公式或图表，而并不提中只给出弯矩和扭矩的计算公式或图表，而并不提及横向剪力。及横向剪力。成正比，称为挤压应力与荷载力，成正比，称为横向切应与横向剪力切应力成正比，称为扭应力，与扭矩切应力成正比，称为弯应力；分别与弯矩正应力qFFMMMzSySxyzxzx

18、yxyyxyx,第55页/共90页第56页/共90页利用平衡方程：力矩式和投影式。0; 0)(; 0)(zxyFMM第57页/共90页00)(0)(zxyFMM0)(yMyMxMFxyxSx0)(xMxMyMFxyySy第58页/共90页00)(0)(zxyFMM0zFqyFxFSySxwyEFwxEFSySx222222)1 (12)1 (120)()(qdxdydydxxFFdxFdxdyyFFdxFSxSxSxSySySyqwE423)1 (12第59页/共90页满足基本方程和给定的边界条件基本方程 为四阶偏微分方程矩形薄板，每个边界必须给出两个边界条件。q22wD第60页/共90页 1

19、 几何边界条件几何边界条件在边界上给定边界挠度w和边界切线方向转角 。固定边界2混合边界条件混合边界条件边界同时给出广义 力和广义位移简支边界 tw 薄板弯曲问题的薄板弯曲问题的典型边界条件典型边界条件第61页/共90页3 面力边界条件 在边界上给定横向在边界上给定横向剪力和弯矩剪力和弯矩自由边界第62页/共90页 与板的上下板面相比，板边是板边是次要边界条件。次要边界条件。 因此，在板边可以应用圣维南原理，把应力边界条件替换称为内力的边界条件，即横向剪力及横向剪力及弯矩边界条件弯矩边界条件。 同时，板边的位移边界条件也相应地替换为中面的挠度及转角为中面的挠度及转角的条件的条件。第63页/共9

20、0页如右图：OA边为固定边，OC边是简支边，AB边和BC边为自由边。0, 0)(022220yyxwyww简支边简支边OC边边(y=0):0, 0)(00yyyMw0, 0| )0 ,(0220yyxwxw0, 0)(0220yyyww如果简直边上有分布的力矩荷载M(一般是x的函数)，则(My)y=0=M。但仍可以化简为挠度w的形式。第64页/共90页如右图：OA边为固定边，OC边是简支边，AB边和BC边为自由边。固定边OA边(x=0):简支边OC边(y=0):0, 0)(00 xxxww0, 0)(0220yyyww第65页/共90页自由边自由边AB边边(y=b):0, 0, 0)(bySy

21、byyxbyyFMM薄板任一边的扭矩都可以变换薄板任一边的扭矩都可以变换为等效的横向剪力为等效的横向剪力，即，即扭扭矩的等效剪力矩的等效剪力。与原来的横向剪力合并，。与原来的横向剪力合并，边界条件由三边界条件由三个归并为两个个归并为两个。第66页/共90页边界AB上的分布扭矩就变换为等效的分布剪力。xMxy等效的分布剪力为：xMFFxySytSy总的分布剪力为：。（也就等于集中反力）点没有抵消的集中剪力点和在BAByxRBAAyxRABMFMF)(,)(第67页/共90页自由边AB边(y=b):0, 0, 0)(bySybyyxbyyFMM0)(, 0)(byxySybytSybyyxMFFM

22、用挠度w表示0)2(, 023332222bybyyxwywxwyw自由边边界条件注意：若在这个自由边上由分布的力矩荷载M和分布的横向荷载Ft，上式边界条件右边不等于零。第68页/共90页自由边BC边(x=a)(与y=b)类似。0, 0, 0)(axSxaxxyaxxFMM0)(, 0)(axyxSxaxtSxaxxyMFFM用挠度w表示0)2(, 023332222axaxxywxwywxw自由边边界条件注意：若在这个自由边上由分布的力矩荷载M和分布的横向荷载Ft，上式边界条件右边不等于零。BxyRBCCxyRCBMFMF)(,)(第69页/共90页自由边AB与BC的交点(x=a,y=b)用

23、挠度w表示BBRxywDF2)1 (2两个自由边交点集中力表达式。注意：若在注意：若在B点没有任何支柱对薄板对薄点没有任何支柱对薄板对薄板施以此项集中反力，则在板施以此项集中反力，则在B点还需要补点还需要补充以交点条件：充以交点条件：FRB=00)()(,byaxRBCRBAbyaxRBFFF0)(,2,byaxbyaxRBxywF如果在B交有支柱阻止挠度发生。则上述交点的边界条件变为：0)(,byaxw第70页/共90页0, 0)(0220 xxxww边界条件为：0, 0)(0220yyyww0, 0)(22bybyyww0, 0)(22axaxxww第71页/共90页纳维把挠度w的表达式取

24、为重三角级数：11sinsinnmnmbymaxmAwm，n为正整数。上式满足全部边界条件。qwE423)1 (12qbymaxmAbnamDimni1222214sinsin把q=q(x,y)展开为重三角级数：11sinsinimnibymaxmCqdydxsinsin400 bamnbymaxmqabC第72页/共90页纳维把挠度w的表达式取为重三角级数：11sinsinnmnmbymaxmAw1222214sinsinimnibymaxmAbnamD11sinsinimnibymaxmCqdydxsinsin400 bamnbymaxmqabC2222400dydxsinsin4bnam

25、abDbymaxmqabAbamn11sinsinnmnmbymaxmAw第73页/共90页利用均布荷载作用的结果，可以求出集中力F作用的结果。bmambnamabDFbmamyxFbnamabDAmnsinsin4dxdysinsindd422224222241222214sinsinsinsin4nmbymaxmbnambmamabDFw),(第74页/共90页均布荷载作用下：22224000dydxsinsin4bnamabDbymaxmqabAbamn11sinsinnmnmbymaxmAw0qq22226016bnamDmnqAmn)5 , 3 , 1;5 , 3 , 1(nm5 ,

26、 3 , 15 , 3 , 1sinsinnmnmbymaxmAw求出内力。第75页/共90页0, 0)(0220 xxxww边界条件为：0, 0)(22axaxxww承受任意横向荷载：),(yxq莱维将表达式取为：1sinmmaxmYw第76页/共90页莱维把挠度w的表达式取为单三角级数：qwE423)1 (12DqaxmYamdyYdamdyYdmmmm1422244sin2把q=q(x,y)展开为三角级数： 10sin2maaxmdxaxmDqaDq)(coshsinhsinhcoshyfaymaymDaymCaymaymBaymAYmmmmmm1sinmmaxmYw第77页/共90页莱

27、维把挠度w的表达式取为单三角级数：)(coshsinhsinhcoshyfaymaymDaymCaymaymBaymAYmmmmmm1sinmmaxmYw)(yfm非其次方程的任意一个特解。非其次方程的任意一个特解。待定系数由边界条件求得。（参考书上待定系数由边界条件求得。（参考书上P193194）重三角函数解和单三角函数解的比较（参考书上重三角函数解和单三角函数解的比较（参考书上P194）第78页/共90页Dqw004)(弹性曲面的微分方程：差分方程：Dhq401211109876543210)()(2)(820第79页/共90页差分方程：Dhq401211109876543210)()(2)(820边界条件：只有简支边和固定边界：0w简支边：022Constxxw022Constyyw固定边：0Constxxw0Constyyw第80页/