奈奎斯特稳定判据09

1、奈奎斯特稳定判据 奈奎斯特（奈奎斯特（Nyquist）稳定判据是奈奎斯特于）稳定判据是奈奎斯特于1932年提出年提出的，是频率法的重要内容，简称奈氏判据。奈氏判据的主要的，是频率法的重要内容，简称奈氏判据。奈氏判据的主要特点有：特点有：1. 根据系统的开环频率特性，来研究闭环系统稳定性，而不必根据系统的开环频率特性，来研究闭环系统稳定性，而不必求闭环特征根；求闭环特征根；2. 能够确定系统的稳定程度（相对稳定性）。能够确定系统的稳定程度（相对稳定性）。3. 可用于分析系统的瞬态性能，利于对系统的分析与设计；可用于分析系统的瞬态性能，利于对系统的分析与设计；4. 基于系统的开环奈氏图，是一种图解

2、法。基于系统的开环奈氏图，是一种图解法。 Nyquist判据的主要理论依据是复变函数理论中的判据的主要理论依据是复变函数理论中的Cauch(柯西柯西)幅角定理。幅角定理。1212()()() ( )()()()mnK szszszF sspspsp一、映射原理一、映射原理 式中式中zi(i=1,2,m)为为F(s)的零点，的零点， pj(j=1,2,n)为为F(s)的极点。的极点。 函数函数F(s)是复变量是复变量s的单值函数，的单值函数，s可以在整个可以在整个s平面上变化，对于其平面上变化，对于其上的每一点，除有限上的每一点，除有限(n)个极点外，函数个极点外，函数F(s)都有唯一的一个值与

3、之对应。都有唯一的一个值与之对应。5.4.1 幅角原理幅角原理设辅助函数设辅助函数 s平面平面 F(s)平面平面 F(s)的零点的零点 原点原点 F(s)的极点的极点 无限远点无限远点 s平面上的其他点平面上的其他点 原点外的有限点原点外的有限点s平面上的点与平面上的点与 F(s)平面上的点有对应关系平面上的点有对应关系1212()()()( )()()()mnK szszszF sspspsp 注意，虽然函数注意，虽然函数F(s)从从s平面到平面到F(s)平面的映射是一一对应的，然而逆过平面的映射是一一对应的，然而逆过程往往并非如此。例如已知程往往并非如此。例如已知 ( )(1)(2)KF

4、ss ss 这个函数在有限的这个函数在有限的s平面上除平面上除s=0,1, 2以外均解析，除此三点外，以外均解析，除此三点外，s平平面上的每一个面上的每一个s值在值在F(s)平面只有一个对应点，但是平面只有一个对应点，但是F(s)平面上的每一个点在平面上的每一个点在s平面上却有三个映射点。最简单的说明方式就是将方程改写成平面上却有三个映射点。最简单的说明方式就是将方程改写成当当F(s)取一个常数时上式是一个三次方程，应有三个根与之对应。取一个常数时上式是一个三次方程，应有三个根与之对应。(1)(2)( )Ks ssF s 现考虑现考虑s平面上一点平面上一点s1映射到映射到F(s)平面上的点平面

5、上的点F(s1)可以用一个向量来表示，可以用一个向量来表示，即当即当111()1()111()11( )( )ijmjszij F sinjspjjKsz eF sF sesp e向量的幅值为向量的幅值为11111( )()()mnijijF sszsp1111()()1111mnijijmjszspiinjjKszesp11111()( )()miinjjKszF ssp11111( )miinjjKszF ssp向量的相角为向量的相角为二、幅角定理二、幅角定理 ReImReImS平面平面F(s)平面平面)(s)(sF 当当S平面上动点平面上动点s从从s1经过某曲线经过某曲线CS到达到达s2

6、，映射到，映射到F(s)平面上也将是一段平面上也将是一段曲线曲线CF ，该曲线完全由，该曲线完全由F(s)表达式和表达式和s平面上的曲线平面上的曲线CS决定。若只考虑动点决定。若只考虑动点s从从s1到达到达s2相角的变化量，则有相角的变化量，则有21( )()( )F sF sF s 例例设：设： ,当当s平面上的动点沿平行于虚轴的直线，从平面上的动点沿平行于虚轴的直线，从(-1，j1)到到(-1，j0) ，映射到映射到F(s)平面上的点将沿某曲线从平面上的点将沿某曲线从(0，-j1)到到(-1，-j0) ，相角的变化为：，相角的变化为：sssF2)(045 )(180135 )90 2211

7、()()()()ijijszspszsp 21( )()( )F sF sF s 22111111()()()()mnmnijijijijszspszsp21211111()()()()mmnniijjiijjszszspsp2121()()()()iijjszszspsp 现考虑现考虑s平面上既不经过零点也不经过极点的一条封闭曲线平面上既不经过零点也不经过极点的一条封闭曲线CS 。当变点。当变点s沿沿CS顺时针方向绕行一周，连续取值时，则在顺时针方向绕行一周，连续取值时，则在F(s)平面上也映射出一条封闭曲线平面上也映射出一条封闭曲线CF 。在。在s平面上，用阴影线表示的区域，称为平面上，用

8、阴影线表示的区域，称为CS的内域。由于我们规定沿顺时的内域。由于我们规定沿顺时针方向绕行，所以内域始终处于行进方向的右侧。在针方向绕行，所以内域始终处于行进方向的右侧。在F(s)平面上，由于平面上，由于CS映射映射而得到的封闭曲线而得到的封闭曲线CF的形状及位置，严格地决定于的形状及位置，严格地决定于CS 。顺时针FC平面)(sF示意图示意图平面s顺时针sC 在这种映射关系中，有一点是十分重要的，即：不需知道围线在这种映射关系中，有一点是十分重要的，即：不需知道围线CS的确切的确切形状和位置，只要知道它的内域所包含的零点和极点的数目，就可以预知围形状和位置，只要知道它的内域所包含的零点和极点的

9、数目，就可以预知围线线CF是否包围坐标原点和包围原点多少次；反过来，根据已给的围线是否包围坐标原点和包围原点多少次；反过来，根据已给的围线CF是否是否包围原点和包围原点的次数，也可以推测出围线包围原点和包围原点的次数，也可以推测出围线CS的内域中有关零、极点数的内域中有关零、极点数的信息。的信息。1. 围线围线CS既不包围零点也不包围极点既不包围零点也不包围极点 如图所示，在如图所示，在s平面上当变点平面上当变点s沿围线沿围线CS按按顺时针方向运动一周时，我们来考察顺时针方向运动一周时，我们来考察F(s)中中各因子项的幅角的变化规律。各因子项的幅角的变化规律。ABCDEFGH12平面s顺时针S

10、C123现以图中未被包围的零点现以图中未被包围的零点-2为例。当变点为例。当变点s沿沿CS绕行一周后，因子绕行一周后，因子(s+2)的幅角的幅角a的变化的变化为为0。同理，对未被包围的极点也是一样，因子项同理，对未被包围的极点也是一样，因子项(s+0) 的幅角的幅角b在变点在变点s沿沿CS绕行一周后的变绕行一周后的变化也等于化也等于0。于是，映射到于是，映射到F(s)平面上，当变点平面上，当变点F(s)沿沿CF绕行一周后的幅角变化也应等于绕行一周后的幅角变化也应等于0。这表这表明，围线明，围线CF此时不包围原点。此时不包围原点。a ab b2. 围线围线CS只包围零点不包围极点只包围零点不包围

11、极点 如图所示围线如图所示围线CS包围一个零点包围一个零点z=-2，考察因子，考察因子(s+2)幅角幅角a a，当变点，当变点s沿沿CS顺时针绕行一周时，顺时针绕行一周时，a的变化为的变化为-360。映射到。映射到F(s)平面上对应变点平面上对应变点F(s)沿沿CF绕行一周后的幅角变化也应等于绕行一周后的幅角变化也应等于-360。 同理，同理，当围线当围线CS的内域包含的内域包含Z个零点时个零点时(但不包含极点但不包含极点)，CF 应顺时应顺时针包围原点针包围原点Z次。次。ABCDEFGH12平面s顺时针SCa a 围线围线CS只包围极点不包围零点只包围极点不包围零点 这种情况如图所示，如果围

12、线这种情况如图所示，如果围线CS包围一个极点包围一个极点 ，则当变点，则当变点s沿沿CS顺时针绕顺时针绕行一周时，因子行一周时，因子(s+0)1的幅角的幅角b b将变化将变化360。映射到。映射到 F(s)平面上，围线平面上，围线CF应逆时针包围原点一次。应逆时针包围原点一次。同理，同理，当围线当围线CS的内域只包含的内域只包含P个极点时，个极点时， CF应逆时针包围原点应逆时针包围原点P次，次，或者说，或者说， CF顺时针包围原点顺时针包围原点P次。次。ABCDEFGH12平面s顺时针SCb b 围线围线CS包围包围Z个零点和个零点和P个极点个极点 由上述讨论显然可知，由上述讨论显然可知，当

13、变点当变点s沿沿CS顺时针绕行一周时，顺时针绕行一周时，CF应顺时针包围应顺时针包围原点原点ZP次。亦即次。亦即CF顺时针包围原点次数顺时针包围原点次数N=ZP。这就是所谓这就是所谓幅角原理幅角原理。ABCDEFGH12平面s顺时针SC 设设CS为为s平面上不含平面上不含F(s)任何奇点的封闭曲线，该曲线内包含了任何奇点的封闭曲线，该曲线内包含了F(s)的的P个极点和个极点和Z个零点，当动点个零点，当动点s沿沿CS顺时针运动一周，映射到顺时针运动一周，映射到F(s)平面上的曲线平面上的曲线CF包围原点的方向和周数为：包围原点的方向和周数为：NZP0,N CF顺时针包围原点顺时针包围原点N周；周

14、；0,N CF不包围原点；不包围原点；0,N CF逆时针包围原点逆时针包围原点N周；周； 柯西幅角原理柯西幅角原理 1,Z 0,P NZP1顺时针包围顺时针包围原一周；原一周；0,Z 1,P N 逆时针包围逆时针包围原一周；原一周；12,Z 2,P 0N 不包围原点；不包围原点；一、控制系统的辅助函数一、控制系统的辅助函数 开环传递函数为：开环传递函数为：( )( )( )( )( )kM sGsG s H sN s特征多项式为：特征多项式为：( )1( )( )1( )M sG s H sN s ( )( )( )M sN sN s 取取( )( )( )1( )( )( )M sN sF

15、sG s H sN s 为辅助函数，为辅助函数，闭环极点，也就是特征方程的根；闭环极点，也就是特征方程的根；F(s)的零点的零点 ： (1( )( )0)G s H sN(s)=0的根，即开环极点；的根，即开环极点；)(sR)(sC)(sG)(sH闭环传递函数为：闭环传递函数为：( )( )1( )( )G ssG s H sF(s)的极点的极点 ：( )0)N s 5.4.2 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据 对于一个控制系统，若其特征根处于对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是不稳定的。右半平面，则系统是不稳定的。对于上面讨论的辅助函数对于上面讨论的辅助函数 F(s)1Gk(

16、s)，其零点恰好是闭环系统的极点，其零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清因此，只要搞清F(s)的零点在的零点在s右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如如果果F(s)的右半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。的右半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。 奈奎斯特为了应用柯西幅角原理研究闭环系统的稳定性，因此设想：奈奎斯特为了应用柯西幅角原理研究闭环系统的稳定性，因此设想： 如果有一个如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据柯西幅角原右半平面，则根据柯西幅角原理知：该封闭曲线在理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点

17、的次数应为：平面上的映射包围原点的次数应为： N = F(s)的右半零点数的右半零点数F(s)的右半极点数的右半极点数 = 闭环系统右半极点数开环系统右半极点数闭环系统右半极点数开环系统右半极点数当已知当已知开环右半极点数时开环右半极点数时，便可由，便可由N判断闭环右极点数。判断闭环右极点数。二、奈奎斯特轨迹二、奈奎斯特轨迹 这里需要解决两个问题：这里需要解决两个问题：1、如何构造一个能够包围整个、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是满足柯西幅右半平面的封闭曲线，并且它是满足柯西幅角条件的？角条件的？2、如何确定相应的映射、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数对原点的包

18、围次数N，并将它和开环频率特性，并将它和开环频率特性Gk(jw w)相联系？相联系？ 正虚轴：正虚轴：0sjww 第第1个问题：个问题：先假设先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线CS包围整个包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为右半平面，这条封闭曲线称为奈奎斯特路径奈奎斯特路径。如下图所示。它。如下图所示。它可分为三部分：可分为三部分：wjew0sC22jsR eR ， 从 右半平面上半径为无穷大的半圆：右半平面上半径为无穷大的半圆：0sjww 负虚轴：负虚轴：F(s)平面上的映射是这样得到的：平面上的映射是这样得到的： 得到映射

19、曲线后，就可由柯西幅角定理计算得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算 N = ZP，式中，式中Z、P是是F(s)在在s右半平面的零点数和极点数。右半平面的零点数和极点数。 若已知若已知P，并能确定，并能确定N，可求出，可求出Z = N + P 。当。当Z = 0时，系统稳定；否则时，系统稳定；否则不稳定。不稳定。 以以 s = jw w 代入代入F(s)，令，令w w 从从0变化，得第一部分的映射；变化，得第一部分的映射； 以以 s = jw w 代入代入F(s)，令，令w w从从0 ，得第三部分的映射。，得第三部分的映射。 以以 s=Rej 代入代入F(s)，令，令R， : ，得第二部分的映

20、射；，得第二部分的映射；22F(s)的极点就是的极点就是Gk(s)的极点，因此的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就是在右半平面的极点数就是Gk(s)在在右半平面的极点数。右半平面的极点数。F(s)对原点的包围，相当于对原点的包围，相当于Gk(s)对对(-1,j0)的包围；即映射曲线的包围；即映射曲线F(s)对原对原点的包围次数点的包围次数N与与Gk(s)对对(-1,j0)点的包围的次数一样。点的包围的次数一样。奈奎斯特路径的第奈奎斯特路径的第I部分的映射是部分的映射是Gk(jw w)曲线向右移曲线向右移1；由由Gk(jw w)可求得可求得F(jw w) ，而，而Gk(jw w)是开环频率特

21、性。是开环频率特性。第第2个问题：个问题：如何确定相应的映射如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数对原点的包围次数N，并将它和开环频，并将它和开环频率特性率特性Gk(jw w)相联系？相联系？ 奈奎斯特所构造的的奈奎斯特所构造的的F(s)1Gk(s)，Gk(s)为开环传递函数。因此，有以为开环传递函数。因此，有以下三点是明显的：下三点是明显的： 第第II部分的映射，一般在部分的映射，一般在Gk(s)中，分母阶数比分子阶数高，所以当中，分母阶数比分子阶数高，所以当s=Rej 时，时， Gk(s)0，即，即F(s)=1。若分母阶数。若分母阶数=分子阶数，则分子阶数，则Gk(s)K(零极点形式零

22、极点形式的开环增益的开环增益)，即，即F(s)=1+K。第第III部分的映射是第部分的映射是第I部分的映射关于实轴的对称。部分的映射关于实轴的对称。F(s)G(s)H(s)与与平平面面的的关关系系：( )( ) 1( )G s H sF s 将将GH平面原点左平面原点左移一个单位，即移一个单位，即F(s)的原点的原点( 1, 0)j 幅角定理可以用幅角定理可以用GH平面上对（平面上对（-1，j0）点的包围来讨论。）点的包围来讨论。奈奎斯特稳定判据的另一种描述奈奎斯特稳定判据的另一种描述： 设开环系统传递函数设开环系统传递函数Gk(s)在右半在右半 s 平面上的极点数为平面上的极点数为 P，则闭

23、环系统稳，则闭环系统稳定的充分必要条件为：定的充分必要条件为：在在 Gk(s)平面上的开环频率特性曲线及其镜象当平面上的开环频率特性曲线及其镜象当 w w 从从 变化到变化到+时，将以逆时针的方向围绕时，将以逆时针的方向围绕(1，j0)点点P圈。圈。 对于开环系统稳定的情况，对于开环系统稳定的情况，P = 0，则闭环系统稳定的充分必要条件是，则闭环系统稳定的充分必要条件是开开环频率特性曲线及其镜象不包围环频率特性曲线及其镜象不包围(1，j0)点。点。 不稳定的闭环系统在不稳定的闭环系统在 s 右半平面的极点数为：右半平面的极点数为：Z = N + P。 根据上面的讨论，如果将柯西幅角定理中的封

24、闭曲线取奈奎斯特路径，根据上面的讨论，如果将柯西幅角定理中的封闭曲线取奈奎斯特路径，则可将柯西幅角定理用于判断闭环控制系统的稳定性。就是下面所述的奈奎则可将柯西幅角定理用于判断闭环控制系统的稳定性。就是下面所述的奈奎斯特稳定判据。斯特稳定判据。奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据：若系统的开环传递函数在右半平面上有若系统的开环传递函数在右半平面上有P个极点，个极点，且开环频率特性曲线对且开环频率特性曲线对(1，j0)点包围的次数为点包围的次数为 N，（，（N 0顺时针，顺时针，N 0 逆逆时针），则闭环系统在右半平面的极点数为：时针），则闭环系统在右半平面的极点数为：Z = N + P。若。若Z

25、= 0 ，则闭环，则闭环系统稳定，否则不稳定。系统稳定，否则不稳定。三、奈奎斯特稳定判据三、奈奎斯特稳定判据 例例开环传递函数为：开环传递函数为： ，试用奈氏判据判断闭环系，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。统的稳定性。12( )(1)(1)kKGsT sT s解解：22222111)(wwwTTKA)1)(1 ()1 ()(222221221wwwwTTTTKPwww2111)(TtgTtg)1)(1 ()()(22222121wwwwTTTTKQ0)()(0)()(0wwwwwQKPKA，时当212121)(10)(TTTTKQTTPwww，此时，解得令0)(0)()(0)(wwwwwQP

26、A，时当 当参数当参数K，T1和和T2为任何为任何正值时，正值时， P = 0 。 开环系统的奈氏图如右。开环系统的奈氏图如右。在在 s 右半平面的极点数为右半平面的极点数为 0，绕绕(1，j0)点的圈数点的圈数 N = 0，则闭环系统在则闭环系统在 s 右半平面的右半平面的个数：个数： Z = N + P = 0 。故闭。故闭环系统是稳定的。环系统是稳定的。 另外，作为对比可求出闭环传递函数另外，作为对比可求出闭环传递函数01)(21221KsTTsTT 由劳斯判据知闭环系统是稳定的。由劳斯判据知闭环系统是稳定的。) 1)(1()(21sTsTKsGk例例设开环系统传递函数为：设开环系统传递

27、函数为： ，试用奈氏判据判断闭，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。环系统的稳定性。2( )(2)(25)kKG ssss22224)5(4)(wwwwKA222222)9()410()410()(wwwwwKP211522)(wwwwtgtg0)(10)(0)(10)(0wwwwwQKPKA，时当0)(0)(270)(0)(wwwwwQPA，时当解解：222222)9()410()9()(wwwwwwKQ令令 ，解得，解得 ，此时，此时( )0Pw2.5w( 2.5)2.56.5KQ令令 ，解得，解得 和和 ，此时，此时( )0Qw0w(3)26KP3w 当当K=52时，开环极点为时，开环极点

28、为2， 1j2，都在，都在 s 左半平面，所以左半平面，所以P = 0。奈氏图如右。从图中可。奈氏图如右。从图中可以看出：奈氏图顺时针围绕以看出：奈氏图顺时针围绕 (1，j0)点点2圈。所以闭环系统在圈。所以闭环系统在s右半极点数为：右半极点数为：Z= N + P = 2 ，闭环系统是不稳定的。闭环系统是不稳定的。若要系统稳定，则若要系统稳定，则126) 3(KP即即K 26时，奈氏图不围绕时，奈氏图不围绕 (1，j0)点。点。 当当K 1，则要求，则要求 K 10。于是系统稳定的条件为于是系统稳定的条件为10 K 26。 上述结论同样可由劳斯判据得到。上述结论同样可由劳斯判据得到。01094

29、23Ksss劳斯阵：劳斯阵：321019410260410KKKssss要使系统稳定，则第一列都大于要使系统稳定，则第一列都大于0于是得：于是得： 10 K 1时时,奈氏曲线逆时针包围奈氏曲线逆时针包围 (1，j0)点一圈，点一圈，N=1，而，而P = 1，则，则Z = N + P = 0闭环系统是稳定的。闭环系统是稳定的。显然，显然，K 1时，包围时，包围 (1，j0)点，点，K 1时不包围时不包围(1，j0)点。点。 K=1时穿过时穿过(1，j0)点。点。当当K=1时，奈氏曲线通过时，奈氏曲线通过(1，j0)点，属临界稳定状态。点，属临界稳定状态。当当K0、T20) 1)(1()(21sT

30、sTsKsG22222111)(wwwwTTKA)1)(1 ()1 ()(222221221wwwwwTTTTKQwww211190)(TtgTtg)1)(1 ()()(22222121wwwTTTTKP)()()(90)()(021wwwwwQTTKPA，时当0)(0)(270)(0)(wwwwwQPA，时当2121TTTKT211TTw012121TTTKT212121110TTTTTTKjeRjeR 0w 0www-1-1P = 0，若要稳定则奈奎斯特，若要稳定则奈奎斯特图不包围图不包围(1，j0)例例某某型系统的开环频率特性如下图所示，且型系统的开环频率特性如下图所示，且s右半平面无极

31、点，试用奈氏判右半平面无极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。据判断闭环系统稳定性试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。1 0ww0ww 从图上可以看出：映射曲线顺时针从图上可以看出：映射曲线顺时针包围包围( -1 , j0 )两圈。因为两圈。因为 ，所以，所以 闭环系统是不稳定的。闭环系统是不稳定的。2ZNP0P解解：首先画出完整的奈氏曲线的：首先画出完整的奈氏曲线的映射曲线。如右图：映射曲线。如右图：奈奎斯特稳定判据的应用步骤奈奎斯特稳定判据的应用步骤1. 画出开环系统奈奎斯特图（包括正负频率及画出开环系统奈奎斯特图（包括正负频率及s平面中特定路径在平面中特定路径在

32、Gk(s)平面的映射）；平面的映射）；2. 确定开环右极点数确定开环右极点数P；3. 确定确定N；4. 计算计算Z=N+P，当，当Z=0时闭环系统稳定，当时闭环系统稳定，当Z0时闭环系统不稳定，当时闭环系统不稳定，当Z0时计算有误。时计算有误。( )002(0)( 2)86KKQPPwww 令，解得和，对应和例例已知非最小相位系统开环传递函数为已知非最小相位系统开环传递函数为 ，确定闭环系统，确定闭环系统 稳定的稳定的K值范围。不稳定时求出闭环右极点数。值范围。不稳定时求出闭环右极点数。(1)( )(2)(4)kK sG sss2221( )416KAwwww222(85)( )(4)(16)

33、KPwwww0( )( )180( )( )088KKAPQww www ，当时( )0( )90( )0( )0APQww www ，当时解解：111( )(180)(180)(180)24tgtgtgww ww11118024tgtgtgwww 222(2)( )(4)(16)KQwwwww 当当K6时，奈氏曲时，奈氏曲线不包围线不包围(1，j0)点，点，N=0，Z=N+P=2，系统，系统不稳定。不稳定。(1，j0)(1，j0)(1，j0) 开环系统有开环系统有2个右极点，个右极点，P=2。 当当6K8时，奈氏曲线逆时，奈氏曲线逆时针包围时针包围(1，j0)点点1圈，圈，N=1，Z=N+P

34、=1,系统不稳系统不稳定。定。 只有当开环增益保持在只有当开环增益保持在一定范围内才稳定的系统称一定范围内才稳定的系统称为条件稳定系统。为条件稳定系统。例例5.5.3设设I型系统的开环频率特性如下图所示。开环系统在型系统的开环频率特性如下图所示。开环系统在s右半平面没有右半平面没有极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。解解：I型系统，先根据奈氏路径画出完整型系统，先根据奈氏路径画出完整的映射曲线。的映射曲线。w 0w1w 0w从图上看出：映射曲线顺时针包围从图上看出：映射曲线顺时针包围(1，j0)一圈，逆时针包围一圈，逆时针包围(1，j0)一圈，所一圈，所

35、以以N=11=0，而，而P=0，故，故Z=N+P=0，闭，闭环系统是稳定的。环系统是稳定的。条件稳定系统例题条件稳定系统例题能否只画出正频率部分的极坐标图来判断闭环系统的稳定性能否只画出正频率部分的极坐标图来判断闭环系统的稳定性 通常，只画出通常，只画出w w从从0+的开环奈氏图，这时闭环系统在的开环奈氏图，这时闭环系统在s右半平面上的右半平面上的极点数为：极点数为：Z = 2N + P = 0。式中，。式中，N 为为 w w 从从0 +变化时，开环奈氏图顺变化时，开环奈氏图顺时针包围时针包围(1，j0)点的圈数。点的圈数。111不不包围包围(1，j0)点，点， N =00型系统型系统包围包围

36、(1，j0)点，点， N =1 I型系统和型系统和型系统型系统对应的奈奎斯特路径分别为：对应的奈奎斯特路径分别为：0ww 0ww 这时奈奎斯特稳定判据可以描述为：这时奈奎斯特稳定判据可以描述为：设开环系统传递函数设开环系统传递函数Gk(s)在右半平在右半平面的极点为面的极点为P，则闭环系统稳定的充要条件是：当，则闭环系统稳定的充要条件是：当w w 从从+时，频率特性时，频率特性曲线在实轴曲线在实轴(，1)段的正负穿越次数差为段的正负穿越次数差为P。若只画正频率特性曲线，则若只画正频率特性曲线，则正负穿越次数差为正负穿越次数差为P/2。 频率特性曲线对频率特性曲线对(1，j0)点的包围情况可用频

37、率特性的正负穿越情况点的包围情况可用频率特性的正负穿越情况来表示。来表示。当当w w 增加时，频率特性从上半增加时，频率特性从上半 s 平面穿过负实轴的平面穿过负实轴的(，1)段到段到下半下半 s 平面，称为频率特性对负实轴的平面，称为频率特性对负实轴的(，1)段的正穿越（这时随着段的正穿越（这时随着w w 的增加，频率特性的相角也是增加的）；意味着逆时针包围的增加，频率特性的相角也是增加的）；意味着逆时针包围(1，j0)点。点。反之称为负穿越。反之称为负穿越。1正穿越正穿越负穿越负穿越)(22NNNN 奈氏图频率特性曲线在奈氏图频率特性曲线在(，1)上的正负穿越在对数坐标图上的对应关上的正负

38、穿越在对数坐标图上的对应关系：系：在对数坐标图上在对数坐标图上L(w w) 0( A(w w) 1)的范围内，当的范围内，当w w 增加时，相频特性曲增加时，相频特性曲线从下向上穿过线从下向上穿过180度相位线称为正穿越。因为相角值增加了。反之称为负度相位线称为正穿越。因为相角值增加了。反之称为负穿越。穿越。5.4.4 奈奎斯特稳定判据在伯德图中的应用奈奎斯特稳定判据在伯德图中的应用 开环系统的极坐标图（奈氏图）和对数坐标图（波德图）有如下开环系统的极坐标图（奈氏图）和对数坐标图（波德图）有如下的对应关系：的对应关系：1、 奈氏图上单位圆对应于对数坐标图上的零分贝线；奈氏图上单位圆对应于对数坐

39、标图上的零分贝线； A(w w)=1，20lg A(w w)=0 。2、 奈氏图上的负实轴对应于对数坐标图上的奈氏图上的负实轴对应于对数坐标图上的180度相位线。度相位线。 180o o- - w对照图如下：对照图如下：正穿越正穿越负穿越负穿越)(w)(wLwwcw1正穿越正穿越负穿越负穿越相角方向为正相角方向为正w w增加时，相角增大增加时，相角增大对数坐标图上奈氏稳定判据如下：对数坐标图上奈氏稳定判据如下： 设设开环频率特性开环频率特性Gk(s)在在s右半平面的极点数为右半平面的极点数为P，则闭环系统稳定的充要，则闭环系统稳定的充要条件是：条件是：对数坐标图上幅频特性对数坐标图上幅频特性L

40、(w w)0的所有频段内，当频率增加时，对数的所有频段内，当频率增加时，对数相频特性对相频特性对180度线的正负穿越次数差为度线的正负穿越次数差为P/2。闭环系统右半闭环系统右半s极点数为：极点数为：Z=2 N+P，式中，式中 N为负、正穿越次数差。若为负、正穿越次数差。若Z=0，闭环系统稳定；若，闭环系统稳定；若Z0，闭环系统不稳定。闭环系统不稳定。最小相位系统闭环稳定的充要条件可简化为：奈氏图（开环频率特性曲线）最小相位系统闭环稳定的充要条件可简化为：奈氏图（开环频率特性曲线）不包围不包围(-1，j0)点。点。因为若因为若N=0，且，且P=0，所以，所以Z=0。1cwgw)(cw奈氏图幅值和相角关系为：奈氏图幅值和相角关系为：当当 时，时，1)(wA180)(,ccwww