2018年安徽数学竞赛(初赛)试题及答案

1、vip 会员免费2018 全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(考试时间：20182018 年 6 6 月 3030 日上午 9:009:0011:3011:30)注意：1 本试卷共 12 小题，满分 150 分；2 请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答;3 书写不要超过装订线；4 不得使用计算器.一、填空题(每题 8 分，共 64 分，结果须化简)1.设三个复数 l,i,z 在复平面上对应的三点共线，且|z|=5，则 z=_ .52.设 n 是正整数，且满足 n =438427732293 贝Un=_.3.函数 f(x)=|sin(2x)+sin(3x)+sin(4x)| 的最小正周期=_ .4.设点 P

2、,Q 分别在函数 y=2x和 y=log2x 的图象上，贝PQ|的最小值=_ .5.从 1,2,10 中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s2、3，使得对于任意实数 x,y,z 下式成立？x2+ 2y2+ 3z2, 3(xy + yz+ zx)试证明你的结论.vip 会员免费12. 在正 2018 边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色求 此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.vip 会员免费参考答案和评分标准一、填空题（每题 8 8 分*共 6464 分123456784-3i或-3 + 4i2132n1 + ln(ln2)尸ln214-76卫(34,95)15

3、56解答题（第 9 9 一山题每题 2121 分，第 11-1211-12 题每题 2222 分，共跖分）9.由5F分别是AD.BC的中点，得EFHAB 丄且 D *设尸是巴关于f的对称点，则EPHAG丄匚 故四边形AEPG是等腰梯形.ZPAG = ZEGA = ZGAB . ZAPG = ZGEA,从而AP_HG、再由HP = DE = EA 二 PG、得ZHAPZPAGZGAB .因此，乙 HAR 小 ZGAR .10. （1） A/（Jt0,y0）处的切线方程辱-臂“（3分）a b与渐近线方程联立.得/估）彳f.士、已小）宀.耗樓分） !&42b / b43b J从而，S - x

4、y2-A2JJ= | 是定值（9分（2）由 可设禺肋，旳，垃号-勞，P（x）丄为非零常数.（12分）由彳 w 二IPB.得（工_加）+（-Ab）2= / _/ 二（x_号尸十（y +（15分）从而有ax + by =4（/ +/J: ,ax - by = （a2+ b2） .（I咅分）上述两式相乘，得P的轨迹方程为a2x2-h2y2=i（a2+b2）2（21分）II* (1)由均值不等式，|jt2+ |/73 4x2+|z2A/3.tz, fy + |z2V3j2.故+ 2y2+ 3z2 (xy + yz + zx) .(8分)(2)x1十2長-3z=-kxyJryz+zx-(x |z):十(2-y)j/=-(3 y)z2+G)yz(14分) 上式恒成立当且仅当2-40且書*)L4(2-劄(3-孚)(怡分)化简得k V3满足要求.(22分)12.设N是此图形中三边颜色都相同的三角形数目，M是此图形中三边颜色不全相同 的三角形数FL也呈以第i个顶点为端点的红色线段数Ph则有20LHM -N = Ctxi（207-xi） = 2M .（10分E si当且仅当每个 =1008或1009时，2 収得最小值Q卅】009|008二（16分N 二 2