湖南省常德市四新岗中学2020-2021学年高三数学文期末试题含解析

1、湖南省常德市四新岗中学2020-2021学年高三数学文期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“e”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2x10，记yf(x)，则yf(x)的图象是（   ） 参考答案：a2. 下列选项中与点位于直线的同一侧的是（    ）（a）     （b）    

2、0; （c）      （d）参考答案：d3. 在平面直角坐标系中，o为坐标原点，设向量      若，c点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是                             

3、0;                                                 

4、0;                                                 

5、0;   （ ）       参考答案：答案：a4. 过抛物线c：的焦点f的直线l交抛物线c于a，b两点，且，则原点到l的距离为（  ）a. b. c. d. 参考答案：c由抛物线的焦点， 设直线的方程为，由 ，则，所以，根据抛物线定义可知，解得，当时，直线的方程为，所以原点到的距离为，当时，直线的方程为，所以原点到的距离为，所以原点到直线距离为，故选c点睛：本题考查了抛物线的定义，点到直线的距离公式及直线与抛物线的位置关系的应用，其中对于直线与圆锥曲线问题，通常通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线

6、）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，进而求解问题，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等5. 在中，点满足，则的值为_参考答案：  法一：由知：点在线段上，且，又，所以中，.法二：由知：点在线段上，而即为在方向上的投影即为，.6. 设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（     ）a.充分不必要条件          b. 必要不充分条件c. 充分必要条件&#

7、160;          d.  既不充分也不必要条件参考答案：b. 或，而复数是纯虚数，是纯虚数，故选b.7. 已知集合=（）abcd2，0参考答案：c略8. 表示的曲线方程为（  ）a. b. c. d. 参考答案：c【分析】根据方程的几何意义可知已知方程表示的轨迹为双曲线的下半支，从而可根据双曲线的定义求得曲线方程.【详解】可看作动点到点的距离可看作动点到点的距离则表示动点到和的距离之差为符合双曲线的定义，且双曲线焦点在轴上又动点到的距离大于到的距离，所以动点轨迹为双

8、曲线的下半支则：，    曲线方程为：本题正确选项：【点睛】本题考查利用双曲线的定义求解标准方程的问题，关键是能够明确已知方程的几何意义.9. 我国古代名著庄子 天下篇中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完，现将该木棍一次规律截取，如图所示的程序的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则处可分别填入的是参考答案：b10. 设是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，则“，”      是“” 的    

9、60;                                   (      )a充要条件         

10、     b充分而不必要的条件   c必要而不充分的条件    d既不充分也不必要的条件参考答案：c略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，则     参考答案： 12. 函数的值域为                      。参考答案：略1

11、3. 已知数列an满足，且记数列an的前n项和为sn，若对一切的，都有恒成立，则实数m能取到的最大整数是_参考答案：9【分析】首先由数列的递推公式求通项公式，再求，并判断数列单调性，最后转化为，根据数列的单调性求最小值.【详解】由已知可知，数列是等差数列，并且首项，公差， ， ， ， ， ，数列是单调递增数列，若对一切的，都有恒成立， ，当时，的最小值是，即 ，能取到的最大整数是9.故答案为：9【点睛】本题考查数列的的递推公式求通项公式，以及数列求和，数列与函数结合的综合应用问题，意在考查转化与化归和分析问题解决问题的能力，本题的关键步骤是需要判断数列的单调性，根据数列的单调性求最小值.14.

12、 若非零向量，满足，则，的夹角的大小为_参考答案：        15. 正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，点p，q，r分别是棱a1a，a1b1，a1d1的中点，以pqr为底面作正三棱柱若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高h=     参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】分别取过c点的三条面对角线的中点，则此三点为棱柱的另一个底面的三个顶点，利用中位线定理证明于是三棱柱的高为正方体体对角线的一半【解答】解：连结a1c，ac，b1c，

13、d1c，分别取ac，b1c，d1c的中点e，f，g，连结ef，eg，fg由中位线定理可得pea1c，qfa1c，rga1c又a1c平面pqr，三棱柱pqrefg是正三棱柱三棱柱的高h=pe=a1c=故答案为16. 如图，在半径为2的扇形中，为弧上的一点，若，则的值为          参考答案： 17. 已知函数f（x）=，若对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）f（x1），则满足条件的实数a的取值范围是参考答案：a0【考点】函数单调性的性质【分析】对于定义域内的任意x1 总存在x2使得f（x2

14、）f（x1），即为f（x）在xa处无最小值；讨论a=0，a0，a0，求得单调区间和极值即可求出a的范围【解答】解：对于定义域内的任意x1 总存在x2使得f（x2）f（x1），即为f（x）在xa处无最小值；a=0时，f（x）=无最小值显然成立；a0时，f（x）的导数为f'（x）=，可得f（x）在（，a）上递减，在（a，3a）上递增，在（3a，+）递减，即有f（x）在x=3a处取得极大值；当xa时，f（x）0；xa时，f（x）0取x1a，x2a即可；当xa时，f（x）在（，a）递减，且x1a，f（x1）f（），故存在x2=x1+|x1+a|，使得f（x2）f（x1）；同理当ax1a时，令x

15、2=x1|x1+a|，使得f（x2）f（x1）也符合；则有当a0时，f（x2）f（x1）成立；当a0时，f（x）在（，3a）上递减，在（3a，a）上递增，在（a，+）上递减，即有f（x）在x=3a处取得极小值，当xa时，f（x）0； xa时，f（x）0f（x）min=f（3a），当x1=3a时，不存在x2，使得f（x2）f（x1）成立综上可得，a的取值范围是：0，+）故答案为：a0三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分）在abc中，角a、b、c的对边分别为、，且满足（）=（1）求角b的大小;（2）若, 求abc面积的最大值.参考

16、答案：(a-c)cosb=bcosc，根据正弦定理有(sina-sinc)cosb=sinbcosc，cosb=sinbcoscsinacosb=sin(c+b)，即 2 sinacosb=sina，因为sina0，所以cosb=，即b=.（6分）（2）因为| - |= ，所以| |= ，即b2=6，根据余弦定理b2=a2+c2-2accosb，可得6=a2+c2-ac，有基本不等式可知6=a2+c2-ac2ac- ac=(2- )ac，即ac3(2+  )，s=acsinb= ac，即当a=c=  时，abc的面积的最大值为（12分）19. 已知数列是

17、公比大于1的等比数列，是数列的前项和，满足，且，构成等差数列，数列满足，（）求数列的通项公式；（）证明：；（）证明：参考答案：（）由题意得，化简得，解得或（舍），所以；（）证明：时，由已知可得，所以，原题得证；（）证明：由（）可知，则20. （1）求不等式的解集;（2）已知，求证：.参考答案：（1）-2，2  (2)证明：     ，当且仅当时不等式取等号略21. 设，.已知函数，.（）求的单调区间；（）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：在处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.参考答案：（i）单调递增区间为，单调递减区间为.（ii）（i）见解析.（ii）.试题分析：求导数后因式分解根据，得出，根据导数的符号判断函数的单调性，给出单调区间，对求导，根据函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，解得，根据的单调性可知在上恒成立，关于x的不等式在区间上恒成立，得出，得，求出的范围，得出的范围.试题解析：（i）由，可得，令，解得，或.由，得.当变化时，的变化情况如下表： 所以，的单调递增区间为，单调递减区间为.（ii）（i）因为，由题意知，所以，解得.所以，在处的导数等于0.（ii）因为，由，可得.又因为，故为的极大值点，