1989年全国高中数学联合竞赛试题及解答

1、1989 年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分。1989*1 若 A, B 是锐角ABC 的两个内角，则复数 z = (cos B - sin A) + i(sin B - cos A)在复平面内所对应的点位于()21 世纪教育网A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案：B解析：由于

2、 00 < A, B < 900 < A + B < 1800 故 900 > A > 900 - B > 00 ，所以 sin A > cos B ， cos A < sin B 故 

3、cos B - sin A < 0 , sin B - cos A > 0 即点 Z 位于第二象限选 B1989*2函数 f ( x) = arctan x +1 arcsin x2的值域是(   )C ç -    

4、p ,   p ö÷ D  -    p ,   p ùúp ,   p ùúA (-p , p )    B  -è4  4øë   4&

5、#160; 4   û                       ë   2  2   ûé    p  p ù1é&

6、#160;  p  p ùp,ú ， arcsin x Î ê- ,ú ， 且  f (-1) = - ， 解 析 ： 因 x Î - 1,1  ， 故 a r c t axnÎ&

7、#160; -2ë   4   4 ûë   4   4 û22  选 Dé 33æ33é 11êê答案：Dêf (1) = p1989*3.对任意函数 y = f ( x) ，在同一个直角坐标系中，函数

8、60;y = f ( x - 1) 与 y = f (- x + 1) 的图像恒（）A. 关于 x 轴对称B. 关于 x = 1 对称C. 关于 x = -1 对称D. 关于 y 轴对称答案：B解析：令 x -1 = t ，则得 

9、f (t ) = f (-t ) ，即 f (t ) 关于 t = 0 对称，即此二图象关于 x = 1 对称选B1989*4.以长方体 8 个顶点中任意 3 个为顶点的所有三角形中，锐角三角形的个数为（ ）A. 0B. 6C. 8D. 24答案：C解析：以不相邻的 4 个顶点为顶点的四面体的

10、60;8 个面都是锐角三角形其余的三角形都不是锐角三角形选 C1989 年全国高中数学联合竞赛试题第 1 页 共 7 页+ i   , t Î R, t ¹ -1, t ¹ 0ý ，ì1989*5.若 M = í z | z =ît

11、0;   1 + t              ü1 + t    t               þ      

12、60;                ,N = z | z = 2cos(arcsin t ) + i cos(arccost ) t Î R, t £ 1 ，则 M I N 中元素的个数为

13、（）A. 0B.1C. 2D. 4答案：A解析： M 的图象为双曲线 xy = 1 ( x ¹ 0 ， x ¹ 1 )， N 的图象为 x 2 + y 2 = 2 ( x ³ 0 )，二者无公共点选 A1989*6.集合 M =&

14、#160;u | u = 12m + 8n + 4l, m, n, l Î z ，N = u | u = 20 p + 16q + 12r, p, q, r Î z 的关系为（）A. M = NB. M Ë&#

15、160;N , N Ë MC. M Ì ND. N Ì M¹¹答案：A解析： u = 12m + 8n + 4l = 4(3m + 2n + l ) ，由于 3m + 2n + l 可以取任意整数值，故 M 表示所有4&

16、#160;的倍数的集合同理 u = 20 p + 16q + 12r = 4(5 p + 4q + 3r ) 也表示全体 4 的倍数的集合于是 M = N 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。1989*7若 log2 < 1 ，则

17、0;a 的取值范围是        (0,1)U ( 2,+¥ )答案：a解析：不等式等价于 í     或 í    解得 a Î 0,1 Uì0 < a < 1ì a > 1(&

18、#160;)î a < 2îa > 2( 2,+¥ )(   )1989*9设函数 f ( x) = x ， f ( x) =  f ( x) -1 ， f ( x) =  f ( x) - 2&#

19、160;，则函数 y = f  ( x) 的图象与 x1989*8已知直线 l : 2 x + y = 10 ，过点 (-10,0) 作直线 l /  l ，则 l / 与 l 的交点坐标为答案： 2,6解析：直线 l / 方程为 (x + 

20、;10)- 2 y = 0 ，解得交点为(2，6)0102121989 年全国高中数学联合竞赛试题第 2 页 共 7 页图形，作该图形的在  x 轴下方的部分关于 x 轴的对称图形得出图   2，其中在 x 轴上方的部分即是轴所围成图形中的封闭部分的面积是.答案： 7解析：图 1 是函数 f ( x) = x

21、 的图形，把此图形向下平行移动 1 个单位就得到函数 f ( x) = x -1 的00f ( x) = f ( x) -1 的图象，再把该图象向下平行移动 2 个单位得到 f ( x) = x - 2 的图象，作该图象100在 x 轴下方的部分关于 x 轴的对称图形得到图

22、60;3，其中 x 轴上方的部分即是 f ( x) = f ( x) - 2 的图21象。易得所求面积为 7。1989*10一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则该数为答案：5 - 12解析：设其小数部分为a ( 0 < a < 1 )，整数部分为 n ( n Î N * 

23、;)，则得，a (a + n)= n 2 ， n 2 < n + a < n + 1解得1 - 5     1 + 5< n <     ，2         2但&

24、#160;n Î N * ，故 n = 1 ，得， a 2 + a - 1 = 0 ， a =- 1 ± 5                   5 -

25、0;1           5 - 1，由 a > 0 ，知， a =      原数为     2                &

26、#160;     2              21989*11如果从数 1,2,3,14 中，按由小到大的顺序取出 a , a , a ，使同时满足 a - a ³ 3 ，12321a - a ³ 3

27、60;，那么，所有符合上述要求的不同取法有种32答案：120解析：令 a / = a ，a / = a - 2 ，a / = a - 4 ，则得1 £ a / < a / < a / £ 10 所求取法为 C 3 = 120 1

28、12233123101989 年全国高中数学联合竞赛试题第 3 页 共 7 页+  s - 2 sin t  )(       )   (1989*12  当 s 和 t 取 遍 所 有 实 数 时 ， 则 s

29、 + 5 - 3 cos t 22 所能达到的最小值为答案： 2+   = 1 在第一象限内的弧段解析：令 x = 3cos t ， y = 2 sin t ，则得椭圆x 2  y 29   4(       

30、)   ()再令 x = s + 5 ， y = s ，则得 y = x - 5 ，表示一条直线 s + 5 - 3 cos t+  s - 2 sin t   2 表示椭圆弧(   )2段上点与直线上点距离平

31、方其最小值为点 3,0 与直线 y = x - 5 距离平方等于 2 1989*13. (本题满分 20 分)已知 a , a ,L , a 是 n 个正数，满足 a a L a = 1 12n1 2n(求证： 2 + a12)( + a 

32、)L (2 + a )³ 3n2 n证明： 2 + a = 1 + 1 + a ³ 33 a ，( i = 1,2,L, n )iii( 2 + a12(1()( + a )L(2 + a )= 1 + 1 +

33、 a )( + 1 + a )L 1 + 1 + a )³ 3n2 n 1 2 n3a a La = 3n 1 2 n1989*14(本题满分 20 分)已知正三棱锥 S - ABC 的高 SO = 3 ，底面边长为 6 

34、;，过点 A 向其所对侧面 SBC 作垂线，垂足为O O，在 AO 上取一点 P ，使APPOS= 8 ，求经过点 P 且平行于底面的截面的面积解析：正三棱锥 SABC 的高为 SO，故 AOBC，设 AO 交 BC于 E，连 SE则可证 BC面 AES故面 AES面 SBC由 AO¢面 SBC 于

35、 O¢，则 AO¢在面 AES 内，O¢在 SE 上AO¢与 SO 相交于点 FAOC ABC 为正三角形，AB=6，故 AE=3 3，OE= 3 SO=3， tanOES= 3，E=60°BS  O¢E=AEcos60°=  3作 O¢G平面 ABC，则垂足 G 在&

36、#160;AE 上O¢G=O¢Esin60°=  3294ABOPO'ECPO¢      O¢G  9APPH 8=8，= ，ÞPH=2设过 P 与底面平行的截面面积为 s，截面与顶点 S 的距离=32=1SF PO'1989 年全国高中数学联合竞赛试题第 4 页 共 7 

37、;页 AOH G E   ABC=    34              Ss1·62=9 3=( )2，故 s= 3DABC31989*15(本题满分 20 分)= çç  å a  ö&

38、#247;÷求证： a  = n > 0 ，且 å aè  j =1j ø已知：对任意的 n Î N * ，有 anæ   nn               

39、60;   23j nj =1设 n £ k   ( k Î N ，且 k ³ 1 )时，由 å a 3 = ç å a  ÷  成立可证 a  = k 成立è 

40、; j =1j ø当 n = k + 1 时， å a 3 = ç å a  ÷  = ç å a  ÷  + 2aç å a  ÷ + a 

41、;2   è  j =1j ø  è  j =1j ø     è  j =1j ø4               4    &#

42、160;          2证明：由已知， a 3 = a 2 ， a > 0 ， a = 11111næ nö2jç÷kj =1k +1æ k +1ö2æ kö2æ k +1öj&

43、#231;÷ç÷k +1ç÷k +1j =1111即k 2 (k + 1)2 + a3 =k 2 (k + 1)2 + 2a×k (k + 1) + a 2 k +1k +1k +1 a 2 - ak +1k +1-&#

44、160;k (k + 1) = 0 ，解此方程，得 ak +1= -k 或 ak +1= k + 1 由 a > 0 知，只有nak +1= k + 1 成立即 n = k + 1 时命题也成立由数学归纳原理知对于一切 n Î N *

45、 ， a = n 成立n1989 年全国高中数学联合竞赛二试1989*一、（本题满分 35 分）已知在 DABC 中， AB > AC ， ÐA 的一个外角的平分线交 DABC 的外接圆于点 E ，过 E 作 EF  AB ，垂足为 F 。求证： 2 AF = A

46、B - ACE5 A4G证明：在 FB 上取 FG = AF ，连 EG 、 EC 、 EB ，B13F2C于是 DAEG 为等腰三角形， EG = EA 又 Ð3 = 1800 - ÐEGA = 1800 - ÐEAG = 1800 -&

47、#160;Ð5 = Ð4  Ð1 = Ð2 1989 年全国高中数学联合竞赛试题第 5 页 共 7 页于是 DEGB  DEAC  BG = AC ，故证 2 AF = AB - AC .另证：连接 EB ,由正弦定理得 AB - 

48、;AC = 2R(sin C - sin B) = 4R cosB + C   C - Bsin2      2，B + CB + CB + CC - B, ÐEBC = ÐEAP =, ÐEBA =Ð

49、;EAF = ÐEAP =- B =2222.于是由正弦定C - BB + CB + C理得 AE = 2R sin，从而 AB - AC = 2 AE cos，在 RtDAEF 中， ÐEAF =，222B + CAE cos= AF ，故 2 A

50、F = AB - AC 。21989*二、（本题满分 35 分）已知 x Î R ,（ i = 1,2,L, n ， n ³ 2 ）满足  å x= 1， å x  = 0 ，iini=1ni=1iå x求证：i=1n 1

51、0; 1i £  -   。i   2  2njm  =-证明：由已知可知，必有 x > 0 ，也必有 x < 0 ( i, j Î 1,2,L, n，且 i ¹ j )ij设 x , x ,L, 

52、x 为诸 x 中所有 > 0 的数， x , x ,L, x为诸 x 中所有 < 0 的数由已知得iiiijjji12l12m11j1j2A = x + x + L + x =， B = x + x + L + xi1i2il22l &#

53、160;  > -åå xå x   = å x   + å x£ å x  -1 å  x   =于是当k ml =1 h=1ilxjhh时，n k ki=1 l =1 h=1i&#

54、160;l hi il       jhkl =1iln jhmh=1A  - B  1  1-    =  -   2   2   2  2nl   < -åå xå x= -å - å&