考研数学《线性代数》考点知识点总结

1、第一章行列式二元线性a11x a12 y b1Da11a12， D1b1a12， D 2a11b1D1D2a21xa22 yb2a21a22b2a22a21b2x， y方程组：DD排列的逆nt 为奇数奇排列， t 为偶数偶排tti（ ti为排列 p1 p2pn 中大于 pi且排于 pi 前的元素个数）序数：列， t0 标准排列。t1a11a12a1nn 阶行列Ddet(aij )a21a22a2n=(1)t a1 p a2 panpt 为列标排列的逆序数式：12nan1an 2ann定理 1：排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性推论：奇（偶）排列变为标准排列的对换次数为奇（偶）数定理 2：n

2、 阶行列式可定义为D(1)t ap1a p2apn =(1)t a1 pa2 p2anp12n1n行列式的性质：1201D =DT ， D T 为 D 转置行列式 (沿副对角线翻转，行列式同样不变)2互换行列式的两行 (列 )，行列式变号推论：两行 (列 )完全相同的行列式等于零记作： rir j（ cic j ）DD 记作： rirj （ cicj ）DD0 3行列式乘以 k 等于某行 (列 )所有元素都乘以k 推论：某一行 (列 )所有元素公因子可提到行列式的外面记作： kDrik （ kDck ）记作： kDrk（ kDck ）iii4两行 (列 )元素成比例的行列式为零记作：r jri

3、k （ cjcik ）D0a11a12(a1ia1i )a1na11a12a1ia1na11a12a1ia1na21a22(a2ia2i )a2nDa21a22a2ia2na21a22a2 ia2n5 Dan1an2(aniani )annan1an 2aniannan1an 2aniann上式为列变换，行变换同样成立6把行列式的某一列 (行 )的各元素乘以同一数然后加到另一列(行 )对应的元素上去，行列式不变记作： cicikcj ( ririkr j )， D 不变注：任何 n 阶行列式总能利用行运算ri +kr j 化为上 (下 )三角行列式对角行列式上 D（下 D T）三角形行列式00

4、1a1102n( n1)a21a22n ，( 1)2Da11a22ann1 21 2nnn0an1an 2ann大学数学a11a1ka11a1kaD1det(aij )ak1akk设ak1akk若 2n 阶行列式 D2n若对 Dc1kb11b1kb11，c11b1nD2det(bij )cck1ckk bk1bkkbn1bnn则有 D =D1D2有 D 2n=(ad-bc)n余子式：n 阶行列式中把 aij所在的第 i 行和第 j 列去掉后，余下 n-1 阶行列式代数余子式：引理：n 阶行列式 D 中，若第 i 行所有元素除 aij 外都为零，则有 Daij Aij行列式等于它的任一行(列 )

5、的各元素与其对应的代数余子式乘机之和定理 3：推论：行列式某一行(列 )的元素与另一行 ( 列)的对应元素的代数余子式乘机之和等于零(代数余子nD,当ij ,nD ,当ij ,1, 当 iD ijD式性质 )aki Akj0,当i或aik Ajkij0,当ij ;其中 ij当 ik 1j ;k 10,1111范德蒙德x1x2x3xnDn x12x22x32xn2( xix j ) 证明用数学归纳法行列式：n i j1bab，c dd2 nAij( 1)i j M ijj ,j.x1n 1x2n 1x3n 1xnn 1a11x1a12 x2a1n xnb1,a11a1na21x1a22 x2a2

6、n xnb2 , ，若 D设方程组0 ，则方程组有惟一解：克拉默法an1x1an2 x2ann xnbnan1ann则：a11a1, j 1 b1 a1, j 1a1nD1 , x2D2Dn ，其中 D jx1, , xn( j1,2, n) DDDan1an , j 1 bn an, j 1ann定理 4：若上线性方程组的系数行列式D 0，则方程组一定有惟一解；若无解或有两个不同解，则D0 定理 5：若齐次线性方程组(bn= 0)的系数行列式 D0 ，则齐次线性方程组无非零解；若有非零解，则D0 第二章矩阵及其运算n 阶单位矩阵 (单位阵 )：对角矩阵 (对角阵 )：纯量阵：100100 0

7、00100000E2E0010000nEA AEA 另可记作 diag( 1 , 2 , n ) (E) AA，A( E)A 矩阵与矩若 (aij) 是一个 ms 矩阵， B(bij ) 是一个 sn 矩阵，且 CAB ，则 C (cij) 是一个 mn 矩阵，阵相乘：大学数学且 cijai1b1 jai 2b2 jaisbsj(i1,2, m ; j1,2, , n) 若 ABBA ，称 A 与 B 是可交换的矩阵转置：若 (aij ) ，则 T(a ji )(AB) TA TBT ，( AB )TBTAT若 AAT，A 为对称阵方阵的行列式：n 阶方阵 A 元素构成的行列式，记A 或 de

8、t A 方阵行列式的运算规律：A11A21An1Aij为行列式 A 中对应元素的1 ATA ；伴随矩阵：A*A12A22An2代数余子式2An A ；A1nA2 nAnnAA *A*A AE3ABAB，AA11 逆矩阵：若 ABBAE ，则 A 可逆，且称 B 为 A 的逆矩阵，记 B = A -1 ， A 的逆阵是唯一的定理 1：若矩阵 A 可逆，则 A0 定理 2：若 A0 ，则矩阵 A 可逆，且 A 11 A*A奇异矩阵：当 A0 时， A 称为奇异矩阵矩阵 A 可逆的充要条件：A0 ，即矩阵 A 是非奇异矩阵。运算规律：1(A 1) 1A ； (A )111； (AB) 1B 1A1

9、；(AT) 1(A 1)T 2A34矩阵 A 的 m 次多项式：(A ) a0Ea1Aa1A 2am A m( A ) f (A )f (A )(A ) ，多项式可相乘或分解因式1若A1 ，则 A kkP1， 2diag(1 ,2 ,n ) （对角阵），则 kdiag( 1k ,2k , , kn ) ,P PP(A) P()P 1(A)diag(1 ),(2 ), (n ) 加减相乘与矩阵相同。分块对角矩阵： （其中 A 以及 A i 均为方阵）A 11A 1r分块矩阵若 A，A 1A 2A s1A sr的运算规A律：TT0A 11A1r则 A TA Ts1A srT性质： AA1 A2TA

10、(a1 , a2 ,1TA m n2，a1 j行向量：列向量：a2 jTa jmT(ai1 , ai 2 , , ain )amji0A 110，若 A0，则A 1A 21A s0A s1A s ，且 A i0 (i1,2, , s) ，则 A0 T, an )11T22mA m n若ATA0 ，T则 A0 mmAn( 1a1 , 2 a2 , , nan )第三章矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换：初等行 (列 ) 变换： 1 rirj ( cic j )； 2 rk ( cik )（ k0 ）；3 ri kr j ( ci kcj )i矩阵间等价：rcB ）行等价： A B ；列等价

11、：A B ；等价： A B （矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵大学数学行阶梯型矩阵：阶梯线下为零， 一行一台阶， 竖线后非零元。行最简形矩阵： 竖线后非零元为1，同列其它元为 0Er0或 FE r矩阵 Am n 经初等变换总能化为标准型 F 标准型：F00m n等价类： 所有等价矩阵组成的集合，标准型为其中形状最简单矩阵。单位矩阵 E 经一次初等变换所得矩阵E (f)（ f 为变换规则）：初等矩阵：1：r j(cicj)；2：k(ci k（)k 0）；3：kr j(kcic j)E (i , j )riE (i (k) riE (ij ( k)ri定理 1： 矩阵方阵定理 2：推论方阵A 初

12、等行变换，初等矩阵左乘E(f)A ；初等列变换，初等矩阵右乘AE (f)A 可逆的充要条件：存在有限个初等矩阵E1(f)。 E 2(f) ， ， E l(f)，使 A=E1(f)E2( f)El (f)1：方阵 A 可逆A r E 推论 2：A B存在可逆矩阵P 与 Q，使 PAQ=B r· -1r-1-1brA 可逆，则(A，E)(E，A ) (A，B)(E，AB )， Ax b ， x=A(A， b) (E ，x)···重要性质：1AcE1 或YT(CA 1 )T(AT) 1CTrY CACCA( AT,C T )(E,(AT ) 1CT )矩阵的秩

13、：定义：矩阵秩的性质：定理 4：定理 5：定理 6：定理 7：定理 8：定理 9：标准型 F 中非零行的行数r，记 R(A )且 r+1 阶子矩阵 A的取 A 中 k 行与 k 列交叉处的 k2 个元素且式全等于零， r 阶非零子式称 A 的最高阶非零子式。k 阶子式：不改变对应位置组成的k 阶行列式。零矩阵的秩为 0；满秩矩阵（可逆矩阵） ，降秩矩阵（不可逆即奇异矩阵）。 0R(A ×T)=R(A)； 若 A B ，则 R(A)= R(B )； 若 P、Q 可逆，则 R(PAQ )=R(A)；m n) min m，n ； R(A max R(A )， R( B) R(A ， B)R

14、(A )+R(B)，特例，当 B =b 为列向量时，有R(A )R(A， b)R(A)+1； R(A+B)R(A )+R( B)； R(AB )min R( A)， R(B ) ；若 Am×nn×lB=0，则 R(A )+R(B )nn 元线性方程组AxbR(A) R( A, b) ；线性方程组有解， 称它相容； 无解，就称（ i）无解的充分必要条件是（ ii ）有惟一解的充分必要条件是R(A)R( A,b) n ；它不相容（ iii ）有无限多解的充分必要条件是R( A) R( A, b)n 线性方程组 Axb 有解的充要条件是R( A)R( A,b) n 元齐次线性方程

15、组Ax0 有非零解的充要条件是 R( A )n 矩阵方程 AXB 有解的充要条件是 R(A )R(A,B)设 AB C ，则 R(C)min R( A ), R( B) 矩阵方程 Am n X n lO 只有零解的充要条件是R(A )n 第四章向量组的线性相关性注：列向量用黑体小写字母a、 b 、aT 、bT 、 等表示，行向量则用T 、T 等表示，若无指明均当列向量向量 b 能由向量组 A 线性表示 ： b=) 或可记为 b Ax (x 为一列向量 )1a1+2a2+mam( 为实数i定义：n 维向量 (组 )：向量 (组中每个向量 )由 n 个数组成。向量组等价：两向量组能相互线性表示向量

16、组 A 线性相关 ： k1122m mi0)，反之线性无关。a+ka + +k a =0（ k 不全为向量组的秩：从向量组A 中可选出 r 个向量线性无关，且任意r +1 向量都线性相关，r 为秩，记 RA性质：矩阵 A 与 B 行等价，则 A 的行向量组与B 的行向量组等价；列等价，则列向量组等价定理 1：向量 b 能由向量组 A ： a1， a2， ， am 线性表示的充要条件是R(A )=R(A， b)定理 2：向量组 B： b1， b2， ， bl 能由向量组 A ： a1，a2， ， am 线性表示的充要条件是R(A)=R(A， B )推论：向量组 A： a1， a2， ， am 与

17、向量组 B ： b1， b2， ， bl 等价的充要条件是R(A )=R(B)=R(A ，B )定理 3：若向量组 B ： b1， b2， ， bl 能由向量组 A ：a1， a2， ， am 线性表示，则 R(B )R(A )逆阵推广：n 维单位坐标向量组 E：e12l12m线性表示的充要条件是R(A)=n，e ， ， e 能由 n 维向量组A ：a ，a ， ， a定理 4：向量组 A： a1， a2， ， am 线性相关的充要条件是R(A)<m；线性无关充要条件是R(A )=m定理 5：设向量组 A ： a1， a2， ， am 与向量组 B： a1， ， am， am+1，若 A

18、 线性相关，则B 线性相关；反之，若 B 线性无关，则A 线性无关。大学数学定理 6：推论：定理 7：解的结构：向量空间：变换公式：内积性质：向量长度：向量夹角：定理 1：定义：施密特正交化(基规范正交化 )：正交矩阵：正交阵：正交变换：方阵特征定义：特征性质：定理 2：定义：定理 3：定义：定理 4：（ n+m）个 n 维向量组成的向量组在m>0 时一定线性相关。设向量组 A ： a1， a2， ， am 线性无关，而向量组B： a1， ， am，b 线性相关，则向量b 必能由向量组 A 线性表示，且表示式是唯一的。矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩由向量组 A 中部

19、分向量组成向量组A 0，若满足 A 0线性无关且 A 中任一向量都能由A 0 线性表示，则向量组 A 0 便是向量组 A 的一个最大无关组设 mn 矩阵 A 的秩 R(A)=r ，则 n 元齐次线性方程组Ax 0的解集 S 的秩 RSr=n方程Ax 0通解： x=k11 2 2t tAx1 1 22tt* 基础解系， t=n-r +k + +k ；方程b 通解： x=k +k+ +k+非空，封闭（加法、数乘运算均在集合内进行）的n 维向量的集合称向量空间由线性无关 向量组 a1，a2， ，ar (基) 所生成的 r 维( 维数 )向量空间为： V= x=1a1+2a2+rar|1，2， rR

20、，i称为 x 在基 a1 ，a2， ， ar 中的坐标，若基取单位坐标向量组，则该基称自然基 。空间向量 V 的基就是向量组的最大无关组，V 的维数就是向量组的秩。基变换公式： B=AP ；坐标变换公式： xB1A11 1=PxP=AB ，P=BA，其中 A 为旧基矩阵， B 为新基矩阵，xA 为旧基中的坐标列向量， xB 为新基中的坐标列向量。P=A 1B 称为过渡矩阵 第五章相似矩阵及二次型1. x，y= y，x；2.x，y= y，x ；3.x+y，z= x，z+ y，z；4.当 x=0 时， x，x=0 ；当 x0 时， x，x>0 施瓦茨不等式：x，y 2x，x y，y n 维向

21、量 x 的长度 (范数 )： x x, x x12 x22xn2 性质： 1.非负性：当x0 时， |x|>0；当 x=0 时， |x|=0；2.其次性 |x|=|x|； 3.三角不等式 |x+y|x|+|y|arccos x, y（ x0， y0），当 x， y=0 时，称向量 x 与 y 正交；若 x=0，x 与任何向量都正交。xy若 n 维向量 a1， a2， ， ar 是一组两两正交的非零向量，则a1， a2， ， ar 线性无关规范正交基 ：基中向量两两正交且都是单位向量；规范正交基中坐标计算公式：ieiT a a, ei ；a2 b1, a2 ；b2ar b1, arb2 ,

22、 ar br 1,ar 1 b1a1 b2b1b1b2br 1b1, b1 b1, b1 b2 , b2 br 1 , br 1 2单位化 e11 b1， e21 b2， ， er1br，就是一个规范正交基b1b2brn 阶矩阵 A 满足 ATA=E（即 A 1=AT ） A 为正交阵的充要条件： A 的列 (行 )向量均是单位向量， 且两两正交正交阵构成一个规范正交基。性质： 1.若 A 为正交阵，则A 1=AT 也为正交阵，且 |A |=1 或(-1) ；y=Px（ P 为正交阵），且 |y|=|x|2.若 A 和 B 均为正交阵，则AB 也是正交阵若 Ax =x 成立，数 称为方阵 A

23、的特征值 ，非零向量 x 称为 A 的对应于特征值的特征向量 。特征方程 ： |A E|=0；特征多项式 ： f()=|A E|=()( 2-) (n-)， f()是 的 n 次多项式。1-设 n 阶矩阵 A =（aij）的特征值为i12n1122nn12n，则 1 + +=a+a + +a ； 2 =|A|若 pi是方阵 A的对应特征值ii（ k0）也是对应于i的特征向量，则kp的特征向量kk1的特征值； 3()是 (A )若 是方阵 A 的特征值，则： 1是 A的特征值； 2当 A 可逆时， 1/是 Amm的特征值 (其中 ()=a0+a1+ +am；(A )=a0E+a1A+ +amA

24、）， ， 是方阵 A 的特征值， p ，p ， ， pm是对应的特征向量，若各不相等，则 p线性无关设 12m12ii若对矩阵 A ， B 有， P1AP=B，则称 B 是 A 的相似矩阵 对 A 进行运算 P1AP 称对 A 进行相似变换 若 A 与 B 相似，则 A 与 B 的特征多项式相同，且A 与 B 的特征值亦相同推论：若 A 与对角阵 相似，则 即是nA 的 n 个特征值1， ， ，2把方阵 A 对角化 ：P1AP=；可求得 =diag(12ni， ， ， ) ，其中 为 A 特征值n 阶矩阵 A 与对角阵相似（即A 能对角化）的充要条件：A 有 n 个线性无关的特征向量。推论：若

25、 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等，则A 与对角阵相似。大学数学定理 5：定理 6：定理 7：对称阵 A对角化的步骤：二次型：定义：定理 8：f 变换：配方变换：定理 9（惯性定理）：定义：定理 10：定理 11（霍尔维茨定理）：补充：对称阵的特征值为实数。， 是对称阵 A 的两个特征值， p ，p是对应的特征向量若，则 p与 p正交设 12121 212设 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 P，使 P1AP=PTAP=，其中 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵推论：设 A 为 n 阶对称阵， 是 A 的特征方程的k 重根，则矩阵 A E 的秩 R( A E)=n-k，从而对

26、应特征值 恰有 k 个线性无关的特征向量1求出 A 的全部特征值1， 2， ， s，它们的重数依次为k1，k2， ， ks(k1 +k2+ +ks=n)2分别对 k重特征值 ，求(A E)x=0 的基础解系， 得 k个线性无关特征向量，把它们正交化、单位化iii3把求出的总共n 个正交、单位向量构成正交阵1T列向量与 的对角元对应P，便有 PAP=P AP =，P1基本函数式：222f(x1，x2， ， xn)= a11x1+a22x2+ +annx n +2a12x1x2+2a13x1x3+2an-1, nxn-1 xnn3 f=xTAx ， 2 中记对称阵 A =（aij ）， xT=（

27、x1， x2， ， xn）2 fi, jaij xixj （ 1 中满足 a jiaij）4 标准形 (或法式 )： f=y22+y2（ x=Cy 代入 1）11+yn122n2222TTT5规范形 ：f=z1+ +z p z p+1 z r6 f=(Cy)ACy=y (C AC )y（ x=Cy 代入 3）(x=Pz 代入 1，即 4 中 i只取 1，-1 或 0)Ty，412nT12n7f=y中记 =diag( ， ， )，y =（ y ，y ， ，y ）二次型与对称阵A 之间一一对应， A 叫做 二次型 f 的矩阵 ，f 叫做 A 的二次型 ，A 的秩叫做 二次型 f 的秩 设 n 阶矩阵 A 与 B ，若有可逆矩阵C，使 B =CTAC ，则称矩阵 A 与 B 合同（若 A 对称则 B 对称且 R(A )=R(B )）二次型 f 总有正交变换 x=Cy，使 f 化为标准形 f= 222f 的矩阵 A=（ aij ）的特征1y1+2y 2+ny n，其中 是i值。推论：二次型f=xTAx (A T=A )，总有可逆变换x=Pz，使 f( Pz)为规范形已知 x=Cy，CT12