线性代数向量空间自测题(附答案)

1、第四章向量空间自测题（75 分钟）一、选择、填空（20 分，每小题4 分）1. 下列向量集合按向量的加法和数乘运算构成R 上一个向量空间的是（）。（ A ） Rn 中，分量满足 x1+x2+ +xn=0 的所有向量；（ B） Rn 中，分量是整数的所有向量；（ C） Rn 中，分量满足 x1+x2+ +xn=1 的所有向量；（ D） Rn 中，分量满足 x1=1 ， x2， ， xn 可取任意实数的所有向量。2设 R4 的一组基为1,2, 3,4 , 令112 ,223 ,334 , 414 ，则子空间 W k1 1k2 2k33k44 | kiF , i1,2,3,4 的维数为，它的一组基为

2、。3.向量空间 Rn的子空间 W( x, x, xn 1,0) | xx20,xxn 1R的维数为，1211它的一组基为。4.设 W是所有二阶实对称矩阵构成的线性空间，即Wa11a12aijR ，则它的维数为，a12a22一组基为。a102若1为正交矩阵，且 |A|=1，则a=， b =。5A= b20001二、计算题（60 分）1. （ 15 分）设 R3 的两组基为：1 (1,0,1)T , 2 (1,1,0)T , 3 (0,1,1)T 和 1 (1,1,1)T , 2 (1,1,2)T , 3 (1,2,1)T ，向量 =（ 2，3， 3） T（1）求由基1,2 ,3 到基1,2,3

3、的过渡矩阵。（2）求 关于这两组基的坐标。（3）将1 ,2,3 化为一组标准正交基。2.（ 15 分）在 R4 中，求下述齐次线性方程组的解空间的维数和基，3x12x25 x34 x403x1x23x33x4 03x15 x213x311x403（ 20 分）已知1 ,2 ,3 是 3维向量空间R3 的一组基，向量组1 ,2 ,3 满足13123 ,1223 ,2313（1）证明：1,2,3是一组基。（2）求由基1,2,3到基 1,2 ,3 的过渡矩阵。（3）求向量1223 关于基1,2,3 的坐标。4（ 10 分）已知 A 是 2k+1阶正交矩阵，且 |A|=1，求 |AE|。三、证明题（

4、20 分）1. （ 5 分）设 k1k 2k30，且 k1 k30。证明： L( ,)L (,) 。2. （ 5 分）设 A 为正交矩阵，证明： A * 为正交矩阵。3（ 10 分）设 A 、 B 为 n 阶正交矩阵，且|A| |B|。证明： A+B 为不可逆矩阵。参考答案一、选择、填空1 A2 dimW=3 ，一组基为1 ,2 ,3.3 dimW=n-2 ，一组基为1(1,1,0,0,0)T ,2 (0,0,1,0,0) T , n 2 (0,0, ,0,1,0) T4 dimW 3，一组基为10,00,01。0001105 a = 1 ， b =122二、计算题11021(1) 基 1,

5、2 ,3 到基1 ,10123 的过渡矩阵 :21112(2) 关于1 ,2 ,3 的坐标是（ 0， 1， 1）关于1 ,2,3 的坐标是（ 1， 1，2）1113621,1,1。（ 3）623123602解空间的维数是 2，一组基为1( 1 ,8,1,0)T,2( 2 ,7,0,1)T 。93933（ 1）提示：证明1 ,2 ,3与 1,2 ,3 等价，从而 r( 1 ,2,3 )=3 ，线性无关。010（ 2）基1 ,2,3 到基1 ,2 ,3 的过渡矩阵为112。100（ 3）向量关于基1 ,2 ,3 的坐标为 (2， -5， 1)。4AE AEA1E ATATE ( 1) 2k 1 A E TA EAE0。三、证明题1.提示：证明两个向量组等价，即 , ，则生成子空