线性代数第1章行列式试卷及答案

1、第一章行列式一、单项选择题1.行列式 D 非零的充分条件是(D )(A) D 的所有元素非零(B) D 至少有 n 个元素非零(C) D 的任何两行元素不成比例(D) 以 D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解2二阶行列式k12 0 的充分必要条件是（C）2k1A k-1B k 3C k -1 且 k 3D k -1 或 33已知 2 阶行列式 a1a2 =m , b1b2=n ,则 b1b2=（B）b1b2c1c2a1c1 a2c2A. m-nB.n-mC.m+nD.- （ m+n ）xyz2 x2 y2z4.设行列式4031, 则行列式 401（A）11131112B.1C.28A.D.

2、335下列行列式等于零的是(D)321003010316A.321B.010C300D22400113000116201116行列式1011 第二行第一列元素的代数余子式A21 =（B ）11011110A -2B-1C 1D 23x1kx2x308如果方程组4x2x30 有非零解 ,则 k=（ B）4x2kx30A.-2B.-1C.1D.20ab0a00bB ）9（考研题）行列式cd=（00c00d2B. ad2C. a2d 2b2 c2D. b2 c2a2d 2A. ad bcbc二、填空题1. 四阶行列式中带负号且含有因子a12 和 a21 的项为a12 a21a33 a44 。2. 行

3、列式111中（ 3，2）元素的代数余子式 A 32234=_-2_.4916157811113. 设D09，则 5A14+A24+A44=_ 。2634371575解答： 5A+A+A11111501424=4409023431a210 ，则数 a =_3_.4已知行列式230111ab05若 a,b 是实数，则当a=_ 且 b=_时，有ba00。101ab0ab(a2b2 )解答：ba00a=0, b=0ba101x2236. 设 f (x)12x34，则 x2 的系数为23。213x 100013000327. 五阶行列式00183_ 。020753002600013000321)2 31

4、31解答： 00183(24232020753300261a1a2a38. （考研题）多项式f (x)1a1xa2a3的所有零1a1a2x1a31a1a2a3x2点为x0 ， x21 ， x32。1xbcd9、（考研题）设 f (x)bxcd ，则方程 f (x)0 的根为 x。bcxdbcdx【分析】 f ( x) 是关于 x 的四次多项式，故方程f (x) 0 应有四根，利用行列式的性质知， 当 x b,c,d 时，分别会出现两行相等的情况，所以行列式为零，故 x b,c,d 是方程的三个根。再将后三列均加到第一列上去可以提取一个公因子为xbcd ，所以当 x( bcd ) 时，满足 f

5、(x)0 ，所以得方程的第四根 x(bcd ) 。故方程的四个根分别是：b,c, d , (bcd ) 。二、计算题00010002001、计算 D201200。002013000000002014【 分 析 】 方 法 一 ： 此 行 列 式 刚 好 只 有 n 个 非 零 元 素a1 n 1 , a2 n 2 , an 11 ,ann ，故非零项只有一项：( 1)t a1n 1 a2n2an 11ann ，其中 t( n 1)(n 2)，2(20141)(20142)因此D(1)22014!2014!方法二：按行列展开的方法也行。123423412、计算行列式D。34124123分析： 如

6、果行列式的各行（列）数的和相同时，一般首先采用的是将各列（行） 加到第一列 （行），提取第一列 （行） 的公因子 (简称列 （行 )加法 ).解 这个行列式的特点是各列4 个数的和为10 ，于是，各行加到第一行，得1234101010101111234123412341D41234121041233412341234123111111110121012116010121004001003210004122222223计算 2232 的值。222n1222120022220200解：22320210222n020n22002102( n2)!=20n2a1000a20a50a604、计算5 阶行

7、列式： D00a900 的值。0a70a80a3000a4【分析】仿照上题的思路。a1a2D (a9)a5a6a7a8a3a4a1a2(aa3a49)a5a6a7a8(aa1a2a5a69)3a4a7a4( a 9)a8111111115、计算行列式的值。139271248分析经过仔细观察会发现，这个行列式是个4 阶范德蒙行列式的转置，所以利用范德蒙行列式的结论就可轻松算出行列式的值为240。43000143006、行列式 01430 =。0014300014分析对于此类三对角行列式，一般采用的是递推法。按第一列展开，有430030004301430(1)211430D5 44D431434D

8、4 3D30143014301400140014故有 D5D43(D4D3 )32 (D3D2 )33(D2D1) 33 (1634)35于是 D5D435(D334)35 (D233)34 35D1 32333435364111x17.求行列式1x1x11的值。1111x1111【分析】利用行列式的性质，将第2， 3， 4 列加到第1 列上得111 x 1 x11 x 1111 x 111 x 11 x1 x 1111 x 111 x 111 x x 111xx 1111x 1111 x1111111111x1xx00x0x0xx4xx0x x0x0x0000xabbbbbabbb8、计算

9、n 阶行列式bbabb 。Dnbbbabbbbba【分析】行列式特点是各列（各行）元素之和都是a(n1)b ，故可把各行（各列）元素均加至第一行，提出公因子a(n1)b ，然后各行再减去第一行：a(n1) ba(n1) ba( n1)ba(n1)ba ( n1)bbabbbDnbbabbbbbabbbbba1111111111b a bb b0 a b000a(n1)bb b ab ba(n00a b001)bb b ba b000a b0b b bb a0000a ba( n1)b( a b) n 11 a11111a21，其中 a1a2an 09.计算行列式 D n111 an【分析】方法

10、一：利用行列式性质，将原行列式化为上三角行列式。1 a111n111 a1 a11a1a20i 1ain1 )0a20 a1a2an (1Dni 1aia10an00an方法二：利用加边的方法1111111101 a1111a100D n 1 011 a2110a200111 1 an1 0 0 0 an1n1111aii10a100a1a2n100a20an (1)i 1ai0000an111110.计算行列式 Dabcd的值。a 2b 2c 2d 2a 4b 4c 4d 411111abcdx【分析】利用范作范德蒙行列式D1a 2b 2c 2d 2x 2，则行a3b3c3d 3x 3a 4b 4c 4d 4x 4列式 D 就是行列式 D1 元素 x3 的余子式 M 45，即 DM 45又()()()()()()()()()()D1x a x b x c x d d a