线性代数复习

1、线性代数复习题11105. D2112第一章 行列式, Aij 为 D 中 i, j 元素的代数余子式，求1321行列式的概念与性质12111. 确定 i, j ，使 6 元排列 2i 316 j 为奇排列 .A21A22A23A24 .2.当 i， j时a11a2 j a33a4 i 为 4 阶行列式 Daij 4 中的一项。3.写出 4 阶行列式中含有a13 a21 的项 .1116. A234 ， Aij 为 A 中 i, j元素的代数余子式，求 A31 A32 A335674. 写出 4 阶行列式中含有 aa a34的项 .1323大学数学计算行列式000a1n00a2n 101.N0

2、00an1000111112342. D49；1161827642aLaa2La3. D n =；M M OMaaL22008198619644. 2009 1987 1965 ；2010 1988 19661a1a2a35.a11 a2a3；a1a21 a3a1a2Lan6. Dna1a2LanLLLLa1a2Lan大学数学第二章 矩阵及其运算1200矩阵基本运算4. A2, B011, f ( x) = x3 - 2x + 5 ，求 f ( A) 及 f (B)320301030011.已知A1, B121，且X+A=（2B- X）,212求 X .1,2,1T, 求T，TT 101.2.

3、a = ()a aaa(a a )1011105.设A011，B012 , 求（1）AB ，（2）BA ；（ 3）AT BT .111023a11a12a13xa11a12b1x3. x y z a21a22a23y； x y 1 a12a22b2y .a31a32a33zb1b2c 1大学数学1210, AP P ，求 An方阵与行列式，方阵的伴随矩阵6. P4,2AO101. 已知 A是3阶方阵,且 A2, 计算 (1)2A ；(2)A A ；(3).E2A7. A 是 n 阶方阵 , 问 ( A + B)( A - B) = A2 - B2 成立吗？为什么？8A, B为 n 阶对称阵，证

4、明AB是对称阵的充分必要条件为AB BA。、设2. A是3阶方阵, B是 2阶方阵,且 A2 AO2, B 1，求； 2A*O3B9. 设 n 维列向量 a 满足 a T a =1， B = E + 2a a T , C = E - a a T ,2证明： 1） B 是对称矩阵；2） BC E.大学数学3.设 A(aij )3 3 ，若 Aa ，求 A A* ；可逆矩阵1.命题： A, B,C 都是 n 阶方阵，满足AB AC,且A可逆，则B C1命题 2： A, B, C 都是 n 阶方阵，满足 ABAC,且AO，则 BC哪个命题成立？为什么？4.Aaij, B bij 都是 n 阶方阵，问

5、 A Baijbij 与111000ABaijbij 哪个成立？哪个不成立？121002.求矩阵 A 的逆矩阵：（ 1） A100；（2） A02311100012大学数学证明矩阵可逆第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1. 设 A 是 n 阶方阵 , 且满足 A25A E O, 利用定义证明 : A3E 可逆，11112311.设A100, B234,求矩阵 X 使得 AX B.并求A3E .1111432. 设 A 是 n 阶方阵 , 且满足 A2AEO , 利用定义证明 : A2E 可逆，1并求A2E.3.A满足A22A3EO，证明A 3E,E 3A都可逆，并求其1设 n 阶方阵逆矩阵。2

6、. 设 A,B 满足 ABA2BA E,其中 A2,求B14.设 A 是 n 阶方阵 , 且 AkO （ k 为正整数），利用定义证明： EA 可逆，且1L Ak 1EAEAA2大学数学100313.设 A 1XA6A XA,其中A00，求 X.40017114.已知 A11，讨论为何值时（ 1） R( A) 1;(2)11R( A) 2;(3)R( A)3 .（ ）讨论 n 元非齐次线性方程组Am n xn 1bm 1，当 mn 时解的可能情况；5. 1（ 2）讨论 n 元齐次线性方程组Am n xn 1bm 1 ，当 mn 时解的可能情况.（ 3）命题 1： n 元齐次线性方程组Ax 0

7、只有零解，则 n 元非齐次线性方程组 Ax b 有唯一解；命题 2： n 元非齐次线性方程组 Axb 有唯一解，则 n 元齐次线性方程组Ax 0 只有零解。这两个命题是否都正确？为什么？大学数学x2x3x5x60,x13x2x3x43x50,6. 求方程组2x3x46x53x6的基础解系和通解x10,x15x23x3x4x52x60.x12x23x34x40,2x13x24x35x40,7. 求齐次线性方程组的基础解系和通解3x14x25x36x40,4x15x26x37x40.2x1x23x31,8. 求非齐次线性方程组4x12x25x34, 的通解6x13x28x35.9. 讨论 a 取何

8、值时，下面线性方程组： （1）有惟一解；（ 2）没有解；（ 3）有无穷多个解？并在有解时求解 .(a1)x1x2x30,x1( a1)x2x33,x1x2(a1)x3a.大学数学10. 讨论 a, b 取何值时 , 下面线性方程组有解, 并在有解的情况下求其通解 .第四章 向量组的线性相关性x1x2x3 x401.在向量组 a1 ,a2 , a3 , a4 ,a5 中，证明：若 a2 , a3 , a4 线性相关， 则 a1, a2 ,a3 , a4 , a5x22x32x41线性相关x2(a3)x32x4b3x12x2x3ax412 设 b1a12a2Lnas,L ,bs 1a12a2 ,

9、bsa1 ，且 向量组a1, a2 ,L , as 线性无关，证明向量组b1, b2 ,L , bs 线性无关。3.设1 , 2 ,3 线性无关，且11t2 , 22t3 , 33t1 ，讨论 t 为何值时1,2 , 3 线性无关， t 为何值时1 ,2 ,3 线性相关 .大学数学4. 求下面向量组的秩和一个极大线性无关组，并用其线性表示向量组中其余向.6. 设(1,2,7) T ，1(2, ,5 )T, 2 ( , 1, 2 )T, 3 ( 1,1,2)T ，量讨论（ 1） 为何值时，不能由 a1 , a 2 , a 3 线性表示？T(4, 1, 5, 6)T, 3(1, 3, 4, 7)T

10、, 4(2,1, 1,0)T1 (1,2,1,3) , 2（ 2）为何值时，能由 a 1, a 2 ,a 3唯一的线性表示？（ 3）为何值时，能由 a 1, a 2 , a3线性表示，但表示方法不唯一？并求一般表达式5. 求下列矩阵的秩和列向量组的极大线性无关组，并用其表示向量组中其余向量 .7 设1,0,0,3TT1111101, 22,1, 1,2 , 3 (3,2, a 3,1)T , 4 (3,2, 2,a)T ,(1,1,b 1,1)T ，讨论：101122（ 1） a,b 为何值时，不能由 a1 , a2 ,a 3 , a 4 线性表示？A0020.11（ 2） a,b 为何值时，

11、能由 a1 ,a 2 ,a 3,a 4唯一的线性表示？110233（ 3） a,b 为何值时，能由 a1 ,a 2 ,a 3,a 4线性表示，但表示方法不唯一？大学数学9.设(0, k , k2 )T可由 1 (1 k,1,1)T , 2 (1,1 k,1)T , 3 (1,1,1 k )T2. 若 n 维非零向量组 a1 , a 2 , a 3 正交，证明 a 1, a 2 , a3 线性无关。唯一的线性表示，求k 满足的条件 .3. 设 3 阶方阵 A 有特征值 1,1,2 ，求（ 1） A3A 2E 的特征值；（2） A 1的特征值；（ 3） 2A 1E 的特征值 .第五章相似矩阵1. 设(1,1,0)T ,( ,1,1)T , （ 1）求使得 ,正交；（ 2）求一个单位向量，使,两两正交 .大学数学4. 已知 3 阶方阵 A 的特征值为 4, 2, 1 ，求 (1) A ；（ 2） A2A E；(3)A 1220的特征值；（ 4） A 1A* ( 其中 A* 为 A的伴随矩阵 ).6.设A 821