数学函数单调性学习教案

1、会计学1数学数学(shxu)函数单调性函数单调性第一页，共44页。能用图象上动点能用图象上动点P P（x x，y y）的横、纵坐标关系来）的横、纵坐标关系来说明上升说明上升(shngshng)(shngshng)或下降趋势吗？或下降趋势吗？xyo1yxxyo1yx xyo2yx 在某一区间内，在某一区间内，当当x的值增大时的值增大时,函数值函数值y也增大也增大图像在该区间内逐渐上升；图像在该区间内逐渐上升；当当x的值增大时的值增大时,函数值函数值y反而减小反而减小图像在该区间内逐渐下降。图像在该区间内逐渐下降。函数的这种性质(xngzh)称为函数的单调性此起彼伏此起彼伏(c q b f)每况愈

2、下每况愈下蒸蒸日上蒸蒸日上第1页/共43页第二页，共44页。函数函数(hnsh)(hnsh)的单调性的单调性第2页/共43页第三页，共44页。回顾回顾(hug)我们我们(w men)初中学过的函数初中学过的函数xyOxyOxyO22)(xxf32)(2xxxfxxf1)(-1第3页/共43页第四页，共44页。例例1 1：画出下列：画出下列(xili)(xili)函数的图函数的图象象（1）y = x第4页/共43页第五页，共44页。xyy = xO11例例1 1：画出下列函数：画出下列函数(hnsh)(hnsh)的图象的图象（1）y = x第5页/共43页第六页，共44页。xyy = xO11例

3、例1 1：画出下列函数：画出下列函数(hnsh)(hnsh)的图象的图象（1）y = x 此函数在区间此函数在区间(q jin) 内内y随随x的增大而增大的增大而增大，在区间，在区间(q jin) y随随x的增大而减小；的增大而减小；第6页/共43页第七页，共44页。xyy = xO11例例1 1：画出下列函数：画出下列函数(hnsh)(hnsh)的图象的图象（1）y = x 此函数在区间此函数在区间(q jin) 内内y随随x的增大的增大而增大，在区间而增大，在区间(q jin) y随随x的增大而的增大而减小；减小；x1f(x1)第7页/共43页第八页，共44页。xyy = xO11例例1

4、1：画出下列函数：画出下列函数(hnsh)(hnsh)的图象的图象（1）y = x 此函数此函数(hnsh)在区间在区间 内内y随随x的增大而的增大而增大，在区间增大，在区间 y随随x的增大而减小；的增大而减小；x1f(x1)第8页/共43页第九页，共44页。xyy = xO11例例1 1：画出下列函数：画出下列函数(hnsh)(hnsh)的图的图象象（1）y = x 此函数此函数(hnsh)在区间在区间 内内y随随x的增大而增大的增大而增大，在区间，在区间 y随随x的增大而减小；的增大而减小；x1f(x1)第9页/共43页第十页，共44页。xyy = xO11例例1 1：画出下列函数：画出下

5、列函数(hnsh)(hnsh)的图象的图象（1）y = x 此函数在区间此函数在区间(q jin) 内内y随随x的增的增大而增大，在区间大而增大，在区间(q jin) y随随x的增的增大而减小；大而减小；x1f(x1)第10页/共43页第十一页，共44页。xyy = xO11例例1 1：画出下列函数：画出下列函数(hnsh)(hnsh)的图象的图象（1）y = x 此函数在区间此函数在区间(q jin) 内内y随随x的增大而的增大而增大，在区间增大，在区间(q jin) y随随x的增大而减小；的增大而减小；x1f(x1)（- -, + ）第11页/共43页第十二页，共44页。（2）y = x2

6、例例1 1：画出下列：画出下列(xili)(xili)函数的图象函数的图象第12页/共43页第十三页，共44页。Oxyy = x2（2）y = x2例例1 1：画出下列函数：画出下列函数(hnsh)(hnsh)的图象的图象11第13页/共43页第十四页，共44页。Oxyy = x2（2）y = x2例例1 1：画出下列：画出下列(xili)(xili)函数的图函数的图象象11 此函数此函数(hnsh)在区间在区间 内内y随随x的增大而的增大而增大，在区间增大，在区间 内内y随随x的增大而减小。的增大而减小。第14页/共43页第十五页，共44页。Oxyy = x2（2）y = x2例例1 1：画

7、出下列：画出下列(xili)(xili)函数的图象函数的图象11 此函数此函数(hnsh)在区间在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 内内y随随x的增大而减小。的增大而减小。x1f(x1)第15页/共43页第十六页，共44页。Oxyy = x2（2）y = x2例例1 1：画出下列：画出下列(xili)(xili)函数的图象函数的图象11 此函数在区间此函数在区间(q jin) 内内y随随x的增大而的增大而增大，在区间增大，在区间(q jin) 内内y随随x的增大而减的增大而减小。小。f(x1)x1第16页/共43页第十七页，共44页。Oxyy = x2（2）y = x

8、2例例1 1：画出下列：画出下列(xili)(xili)函数的图象函数的图象11 此函数此函数(hnsh)在区间在区间 内内y随随x的增大的增大而增大，在区间而增大，在区间 内内y随随x的增大而减小的增大而减小。f(x1)x1第17页/共43页第十八页，共44页。Oxyy = x2（2）y = x2例例1 1：画出下列函数：画出下列函数(hnsh)(hnsh)的图象的图象11 此函数在区间此函数在区间(q jin) 内内y随随x的增大而的增大而增大，在区间增大，在区间(q jin) 内内y随随x的增大而减的增大而减小。小。f(x1)x1第18页/共43页第十九页，共44页。Oxyy = x2（

9、2）y = x2例例1 1：画出下列：画出下列(xili)(xili)函数的图象函数的图象11 此函数在区间此函数在区间(q jin) 内内y随随x的增大的增大而增大，在区间而增大，在区间(q jin) 内内y随随x的增大的增大而减小。而减小。f(x1)x1第19页/共43页第二十页，共44页。Oxyy = x2（2）y = x2例例1 1：画出下列：画出下列(xili)(xili)函数的图函数的图象象11 此函数此函数(hnsh)在区间在区间 内内y随随x的增大的增大而增大，在区间而增大，在区间 内内y随随x的增大而减小的增大而减小。f(x1)x1第20页/共43页第二十一页，共44页。Ox

10、yy = x2（2）y = x2例例1 1：画出下列函数：画出下列函数(hnsh)(hnsh)的图象的图象11 此函数在区间此函数在区间(q jin) 内内y随随x的增的增大而增大，在区间大而增大，在区间(q jin) 内内y随随x的的增大而减小。增大而减小。f(x1)x1（- -, 0 0 0, + )第21页/共43页第二十二页，共44页。0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I I内内在区间在区间I I内内图象图象 y=y=f f( (x x) ) y= y=f f( (x x) )图象图象特征特征数量数量特征特征第22页/共43页第二十三页，

11、共44页。0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I I内内在区间在区间I I内内图象图象 y=y=f f( (x x) ) y=y=f f( (x x) )图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升数量数量特征特征第23页/共43页第二十四页，共44页。0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I I内内在区间在区间I I内内图象图象 y=y=f f( (x x) ) y= y=f f( (x x) )图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升数量数量特征特征y y随随x x的增大而增大的增

12、大而增大第24页/共43页第二十五页，共44页。0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I I内内在区间在区间I I内内图象图象 y= y=f f( (x x) ) y= y=f f( (x x) )图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降数量数量特征特征y y随随x x的增大而增大的增大而增大第25页/共43页第二十六页，共44页。0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I I内内在区间在区间I I内内图象图象 y=y=f f( (x x) ) y= y=f f

13、( (x x) )图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降数量数量特征特征y y随随x x的增大而增大的增大而增大y y随随x x的增大而减小的增大而减小第26页/共43页第二十七页，共44页。0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I I内内在区间在区间I I内内图象图象 y=y=f f( (x x) ) y=y=f f( (x x) )图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降数量数量特征特征y y随随x x的增大而增大的增大而增大当当x x1 1x x2

14、 2时，时， f f( (x x1 1) ) f f( (x x2 2) )y y随随x x的增大而减小的增大而减小第27页/共43页第二十八页，共44页。0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I I内内在区间在区间I I内内图象图象 y= y=f f( (x x) ) y= y=f f( (x x) )图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降数量数量特征特征y y随随x x的增大而增大的增大而增大当当x x1 1x x2 2时，时， f f( (x x1 1) ) ) f f( (x x2 2) )第

15、28页/共43页第二十九页，共44页。对区间对区间(q jin)I内内 x1，x2 ，当当x1x2时，时， 有有f(x1)f(x2)图象图象(t xin)在区间在区间I逐渐上升逐渐上升？OxIy区间区间I内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大x1x2f(x1)f(x2)MN第29页/共43页第三十页，共44页。对区间对区间(q jin)I内内 x1，x2 ，当当x1x2时，时， 有有f(x1)f(x2)xx1x2？Iyf(x1)f(x2)OMN任意任意(rny)区间区间(q jin)I内随着内随着x的增大，的增大，y也增大也增大图象在图象在区间区间I逐渐上升逐渐上升第30页/共43页第三

16、十一页，共44页。一般地，设函数一般地，设函数(hnsh)y (hnsh)y f(x) f(x) 的定义域为的定义域为I I，区间，区间D D I I 如果对于区间如果对于区间D内的任意两个内的任意两个(lin )值值x1、x2，当，当x1x2时，都时，都有有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说yf(x)在区间在区间D上是单调增函数，上是单调增函数， D称为称为yf(x)的单调的单调增区间增区间 如果如果(rgu)对于区间对于区间D内的任意两个值内的任意两个值x1、x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说yf(x)在区间在区间D上是单调减函数，上是单调减

17、函数，D称为称为yf(x)的单调的单调减区间减区间 若函数若函数yf(x)在区间在区间D上是单调增函数或单调减函数上是单调增函数或单调减函数，那那么就说函数么就说函数yf(x) 在区间在区间D上具有单调性上具有单调性单调增区间和单调减单调增区间和单调减区间统称为单调区间区间统称为单调区间 1 1、单调增函数与单调减函数单调增函数与单调减函数区间区间D任意任意当当x1x2时，都时，都有有f(x1)f(x2)2 2、单调性、单调区间单调性、单调区间第31页/共43页第三十二页，共44页。第32页/共43页第三十三页，共44页。如果函数如果函数f（x）：在（）：在（1,2）上单调递）上单调递增，在增

18、，在2,3)也单调递增，那么也单调递增，那么(n me)函数在（函数在（1,3）上是否一定单调递增？）上是否一定单调递增？第33页/共43页第三十四页，共44页。例、下图为函数例、下图为函数 ， 的图像，的图像，指出它的单调区间。指出它的单调区间。 4,7x y= f x123-2-3-2-1123456 7xo-4-1y-1.5-1.5-1.5，33，55，66-4-4，-1.5-1.5，33，55，66，77解：单调增区间为解：单调增区间为单调减区间为单调减区间为第34页/共43页第三十五页，共44页。第35页/共43页第三十六页，共44页。22)(xxf证明：函数证明：函数 在在R R上

19、是单调减函数上是单调减函数证：在证：在R R上任意取两个值上任意取两个值 ，且，且 ，21,xx21xx 21xx , 021 xx0)(221xx, 0)()(21xfxf).()(21xfxf 即即 22)(xxf在在R R上是单调减函数上是单调减函数取值取值作差变形作差变形(bin xng)定定号号下结论下结论例例2)()(21xfxf则)22()22(21xx)(221xx 第36页/共43页第三十七页，共44页。证明证明(zhngmng)(zhngmng)：函数：函数 在区间在区间( (1 1，）上是单调增函数）上是单调增函数证：在区间证：在区间( (1 1，）上任意取两个值）上任意

20、取两个值 ，且，且 ，21,xx21xx 32)(2xxxf 在区间（在区间（1 1，）上是）上是单调增函数单调增函数32)(2xxxf211xx , 021 xx0221 xx, 0)()(21xfxf).()(21xfxf 即即 取值取值作差变形作差变形(bin xng)定定号号) 32() 32()()(22212121xxxxxfxf)2)(2121xxxx)(2)(212121xxxxxx则则下结论下结论例例3第37页/共43页第三十八页，共44页。证：在区间（证：在区间（，0 0）上任意取两个值）上任意取两个值 ，且，且 ，21,xx21xx 021 xx, 012 xx021xx

21、, 0)()(21xfxf).()(21xfxf 即即 证明：函数在区间（证明：函数在区间（，0）上是单调减函数上是单调减函数xxf1)( 在区间（在区间（，0 0）上是单调减函数）上是单调减函数xxf1)(取值取值作差变形作差变形(bin xng)定定号号212111)()(xxxfxf2112xxxx 则则下结论下结论例例4第38页/共43页第三十九页，共44页。例例5 试判断试判断(pndun)函数函数y= x2 + x 在（在（0，）上是增函数还是减函数？并给予证明。）上是增函数还是减函数？并给予证明。解：函数解：函数(hnsh)y= x2 + x 在（在（0，）上是增函数）上是增函数(hnsh)下面下面(xi mian)给给予证明：予证明：设设 x1 1，x2 2 为区间为区间(0,)上的任意两个值，且上的任意两个值，且x1