单元二 平面力系

1、1学习情境一2 一、一、 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系是指各力的作用线在同一平面平面汇交力系是指各力的作用线在同一平面内且汇交于一点的力系。内且汇交于一点的力系。 如图如图( (左左) )所示的所示的作用在型钢作用在型钢MNMN 上的力系及图上的力系及图( (右右) )所示的力所示的力系。系。 13平面汇交力系平面汇交力系3（一）力在坐标轴上的投影（一）力在坐标轴上的投影ABxabABxabcosxFabF 二、二、 汇交力系合成与平衡的解析法汇交力系合成与平衡的解析法4FFFXxcosFFFYycos22yxFFF力在平面坐标轴上的投影力在平面坐标

2、轴上的投影 X=Fx=Fcos ： Y=Fy=Fsin=F cos5（二）合力投影定理（二）合力投影定理由图可看出，各分力在由图可看出，各分力在x轴和在轴和在y轴投影的和分别为：轴投影的和分别为： XXXXRx421YYYYYRy4321YRyXRx合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。力在同一轴上投影的代数和。即：6合力的大小：合力的大小： 方向：方向： 作用点：作用点：xyRRtgXYRRxy11tgtg为该力系的汇交点为该力系的汇交点2222xyRRRXY30F2F1F3O 例例 固定在墙内的螺钉上作用有三固定在

3、墙内的螺钉上作用有三个力，如图示，大小分别为个力，如图示，大小分别为F F1 1=3kN, =3kN, F F2 2=4kN, =4kN, F F3 3=5kN, =5kN, 求三力的合力求三力的合力. .110,3kNxyFF 224kN,0 xyFF335cos 304.33kN,5sin 302.5kNxyFF7044.338.33kNRxxFF302.50.5kNRyyFF 22228.330.58.345kNRxyFFF 8.33cos0.9988.3453.6xRFF8（三）汇交力系平衡条件的解析法（三）汇交力系平衡条件的解析法222RxyzFFFF0 xF 0yF 平面汇交力系有

4、0 xF 0yF 合力FR为0，必定有根式中的三项同时为0平面汇交力系的平衡方程空间汇交力系的平衡方程9解：解：研究研究ABAB杆杆 画出受力图画出受力图 列平衡方程列平衡方程 解平衡方程解平衡方程0X0Y045coscos0CDASR045sinsin0CDASRP 例例 已知已知 P P=2kN, =2kN, 求求S SCDCD , ,R RA A由EB=BC=0.4m，312.14.0tgABEB解得：kN 24. 4tg45cos45sin00PSCDkN 16. 3cos45cos0CDASR；10 是代数量。)(FMO当F=0或d=0时， =0。)(FMO 是影响转动的独立因素。)

5、(FMO =2AOB=Fd ,2倍形面积。)(FMOdFFMO)(一、力对点的矩一、力对点的矩-+说明：说明： F,d转动效应明显。单位Nm，工程单位kgm。平面内力平面内力F对刚体产生绕对刚体产生绕O的转动效的转动效应的度量应的度量-力对点之矩力对点之矩记作记作Mo（F）矩心矩心力臂力臂1-4 1-4 平面力偶系平面力偶系11F ( Fx ,Fy ,Fz )r ( x , y , z )()oFdMF()o MFrF力对点之矩的矢量运算力对点之矩的矢量运算OAr其中12按右手定则按右手定则oMrF 力矩的方向13力对点之矩几点结论力对点之矩几点结论 力对点力对点 之矩是一种之矩是一种 矢量矢

6、量; 矢量的模矢量的模 矢量方向由右手定则确定矢量方向由右手定则确定; ; 矢量作用在矢量作用在O点点, ,垂直于垂直于r 和和F 所在的平面所在的平面。Fd)(FMo14 定理：定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所有各分力对同一点的矩的代数和有各分力对同一点的矩的代数和即：即：三、合力矩定理三、合力矩定理由合力投影定理有：证毕现)()()(21FmFmRmooo证证niiOOFmRm1)()(od=ob+ocoboAoABFMo2)(1ocoAoACFMo2)(2odoAoADRMo2)(又15例例 已知：如图 F、Q、l, 求： 和

7、 解解：用力对点的矩法用力对点的矩法 应用合力矩定理应用合力矩定理)(FmO)(Qmo sin)(lFdFFmOlQQmo)(ctg)( lFlFFmyxOlQQmo)(16力对物体可以产生力对物体可以产生 移动效应移动效应-取决于力的大小、方向取决于力的大小、方向转动效应转动效应-取决于力矩的大小、方向取决于力矩的大小、方向作用在汽车方向盘和电机转子上的两个力作用在汽车方向盘和电机转子上的两个力 四、力偶17力偶力偶作用在刚体上的大小相等、方向相反且不共线的力作用在刚体上的大小相等、方向相反且不共线的力组成的力系称为力偶组成的力系称为力偶力所在的平面力所在的平面力偶作用面力偶作用面二力作用线

8、之间的距离二力作用线之间的距离力偶臂力偶臂F FF Fd d力偶对物体的转动效应用力偶矩度量。力偶对物体的转动效应用力偶矩度量。它等于力偶中的力的大小与两个力之间的距离（力偶臂）的它等于力偶中的力的大小与两个力之间的距离（力偶臂）的乘积，记为乘积，记为 ，简记为，简记为 ,FFM18力偶矩是代数量。取逆时针转向为正，反之为负。力偶对任一点之矩等于力偶矩而与矩心位置无关。dFM综上所述，力偶对物体的作用效应，决定于（1）力偶矩大小；（2）力偶在其作用面（称力偶作用面）内的转向。 FdFMFMOO.力偶对点的矩力偶对点的矩19 平面力偶系平衡的充要条件是平面力偶系平衡的充要条件是: :所有各力偶矩

9、的和等于零。所有各力偶矩的和等于零。 即10niiM平面力偶系的平衡条件平面力偶系的平衡条件20 例例 在一钻床上水平放置工件在一钻床上水平放置工件, ,在工件上同时钻四个等直径在工件上同时钻四个等直径的孔的孔, ,每个钻头的力偶矩为每个钻头的力偶矩为求工件的总切削力偶矩和求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力端水平反力? ? mN154321mmmmmN60)15(4 4321mmmmM02 . 04321mmmmNBN3002 . 060BNN 300BANN解解: : 各力偶的合力偶距为各力偶的合力偶距为根据平面力偶系平衡方程有根据平面力偶系平衡方程有: :由力偶只能与力偶平衡的性质，

10、由力偶只能与力偶平衡的性质，力力NA与力与力NB组成一力偶。组成一力偶。211-51-5 平面任意力系平面任意力系平面任意力系：平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫又不相互平行的力系叫平面任意力系平面任意力系。例例力系向一点简化：力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已知把未知力系（平面任意力系）变成已知 力系（平面汇交力系和平面力偶系）力系（平面汇交力系和平面力偶系）22一、一、 力线平移定力线平移定理理力的平移定理力的平移定理：可以把作用在刚体上点可以把作用在刚体上点A A的力的力 平行移到任一平行移到任

11、一 点点B B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶，但必须同时附加一个力偶。这个力偶 的矩等于原来的力的矩等于原来的力 对新作用点对新作用点B B的矩。的矩。FF证证 力力 力系力系），力偶（力FFF FFF ,F23ABdFABdFFF”F=F=F”ABdFFF”MM=FdM=MB(F)24A2AnA1F2F1FnOA2AnA1F2F1FnOF1M1MnFnM2F2FROMo3-2 3-2 平面一般力系向一点简化平面一般力系向一点简化 25一般力系（任意力系）一般力系（任意力系）向一点简化向一点简化汇交力系汇交力系+ +力偶系力偶系 （未知力系）（未知力系） （已知力系）（已知力系） 汇交力系

12、汇交力系 力力 ， RR( (主矢主矢) ) ，( (作用在简化中心作用在简化中心) ) 力力 偶偶 系系 力偶力偶 ，M MO O ( (主矩主矩) ) ， ( (作用在该平面上作用在该平面上) ) 26 大小大小： 主矩主矩M MO O 方向方向： 方向规定方向规定 + + 简化中心：简化中心： ( (与简化中心有关与简化中心有关) ) （因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）（因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）)(iOOFmM（转动效应转动效应）固定端（插入端）约束固定端（插入端）约束在工程中常见的在工程中常见的雨 搭车 刀27固定端（插入端）约束固定端（插入端）约束说明说明 认为认

13、为F Fi i这群力在同一这群力在同一 平面内平面内; ; 将将F Fi i向向A A点简化得一点简化得一 力和一力偶力和一力偶; ; R RA A方向不定可用正交方向不定可用正交 分力分力Y YA A, , X XA A表示表示; ; Y YA A, , X XA A, , M MA A为固定端为固定端 约束反力约束反力; ; Y YA A, , X XA A限制物体平动限制物体平动, , M MA A为限制转动。为限制转动。28 平面一般力系简化的结果平面一般力系简化的结果一一 般般 力力 系系汇汇 交交 力力 系系力力 偶偶 系系 合合 力力 FR=Fi 合合 力力 偶偶 MO= MO

14、( Fi )二、二、 平面一般力系的平衡条件与平衡方程平面一般力系的平衡条件与平衡方程29为力偶平衡条件为力偶平衡条件所以平面任意力系平衡的充要条件为平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢力系的主矢 和主矩和主矩 MO 都等于零都等于零，即： 0)()(22YXR0)(iOOFmM00oRM为力平衡条件为力平衡条件由于由于R30上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。0X0Y0)(iOFm一矩式一矩式一般力系的平衡方程一般力系的平衡方程一般形式一般形式31项目一项目一 边长为边长为a a的直角弯杆的直角弯杆ABCABC的的A A段与固定铰链支座联接，

15、段与固定铰链支座联接，C C段与杆段与杆CDCD用销钉联接，而用销钉联接，而CDCD与与水平线成水平线成6060角，不计杆的重量，角，不计杆的重量，已知已知F F=60N,=60N,求求A,CA,C两点的约束力。两点的约束力。60项目二项目二 简易压榨机如图简易压榨机如图示，求水平压榨力示，求水平压榨力DFABCABCD32 项目三项目三 已知：已知：P P, , a a , , 求：求：A A、B B两点的支座反力？两点的支座反力？33项目一项目一 边长为边长为a a的直角弯杆的直角弯杆ABCABC的的A A段与固定铰链支座联接，段与固定铰链支座联接，C C段与杆段与杆CDCD用销钉联接，而

16、用销钉联接，而CDCD与与水平线成水平线成6060角，不计杆的重量，角，不计杆的重量，已知已知F F=60N,=60N,求求A,CA,C两点的约束力。两点的约束力。60解解:xyCC0,sin45cos6000,cos45sin600 xAyAFFFFFFFA43.92N,53.79NCFF 代入已知量求解得代入已知量求解得ABCD34项目二项目二 简易压榨机如图简易压榨机如图示，求水平压榨力示，求水平压榨力解：解：DFABCxyFFABFBCB先选取销钉先选取销钉B作为研究对作为研究对象，画受力图；再选定象，画受力图；再选定坐标系坐标系Bxy,0sinsin, 00coscos, 0FFFF

17、FFFBCAByBCABx解得解得sin2FFFABBC列平衡方程列平衡方程35再再 选取压板选取压板D D为研究对象，其受力图如右为研究对象，其受力图如右示，在示，在DxDx轴上投影的平衡方程为轴上投影的平衡方程为DFBCFDF1x0cos, 01FFFBCx其中BCBCFFBCBCFF最后求得最后求得cot2coscos1FFFFBCBC36 项目三项目三 已知：已知：P P, , a a , , 求：求：A A、B B两点的支座反力？两点的支座反力？解：解：选选ABAB梁研究梁研究 画受力图（画受力图（以后注明以后注明 解除约束，可把支反力直接解除约束，可把支反力直接画在整体结构的原图上

18、画在整体结构的原图上）0)(iAFm由32 , 032PNaNaPBB0X0AX0Y3 , 0PYPNYABB解除约束解除约束37一、力线平移定理是力系简化的理论基础一、力线平移定理是力系简化的理论基础 力 力+力偶 平衡; 0, 0OMR合力矩定理合力矩定理)()(1iniOOFmRm; 0, 0; 0, 0OOMRMR或合力（主矢）; 0, 0OMR合力偶（主矩） 二、平面一般力系的合成结果二、平面一般力系的合成结果本章小结：本章小结：38三、三、平面一般力系的平衡方程平面一般力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程 成为恒等式 一矩式 二矩式 0X0)(0FmYA0)(0)(FmFmBABA连线不平行于力线平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程 成为恒等式 0)(FmA00YX平面力偶系的平衡方程平面力偶系的平衡方程0im39六、解题步骤与技巧六、解题步骤与技巧 解题步