第9讲：线性方程组的消元解法

1、-101-11= 16, z)1 =731= 16,-2-3-2-21 0d2 = 273 -3-11 =16,-21d3 = 2313-27 =32-3课 题：线性方程组的消元解法教学目的：掌握线性方程组的定义，矩阵表示式，消元解法教学重点：高斯消元法教学时数：二学时教学设计：i.引入课题在行列式的学习中，我们学到了克莱姆法则，可以利用行列式来解线性方程组，如1 1由克莱姆法则，有d= 233 -2故 xj = 1,= 1,无3 = 2 °克莱姆法则可以作为一种解方程组的方法，但计算量比较大，而且只能解方程个数与 未知数个数相同的线性方程组，比较有局限性，今天开始，我们来学习普通的

2、方程组的解 法，并由此引入向量组的相关问题。第三章线性方程组与向量组的线性相关性ii.新课设计3.1线性方程组的消元解法-.线性方程组q兀+02兀2 + 勺|兀1 +刎兀2 + anxn =5+偽“兀”=伤"2的方程组，称为线性方程组，若令/、+ amnxn =/ / t 、知a2a2an。22 a 2”系数矩阵，x =兀2未知数矩阵，b =b2 % %丿"丿a>形如-常数矩阵。则方程组可用矩阵可表示为：ax =b-方程组的矩阵表示%°124“ s、增广矩阵：（a/） = a22 ci2n b2 a 0m2amn叽丿以后，要求能根据方程组写出增广矩阵，反z,

3、给出增光矩阵，能写出对应的方程组。 （举例说明）线性方程组的分类若b =则线性方程组为ax =0,称为齐次线性方程组若bho，则线性方稈组为称为非齐次线性方程组。对于ax=h若只改变h = 0，则称ax=0为原方程组的到处方程组。二.线性方程组的消元解法高斯消元法例1解线性方程组（每写一个方程组，同时写出对应的增广矩阵）x + x2 - x3 = 01-10、22xl + 3x2 + x3 =72317a3%| 一 2兀2 一 2兀3 = _33-2-2-3；/解：x2 +(2),(1)x3 + 3x1 + x2 - x3 = 01-10、b,<x2 + 3x3 = 70137b5x7

4、+ 兀3 = 3-51-2?(4)x5 + x + x2 - x3 =q1 1 -1 0、x2 + 3%3 = 70 137c1 6x3 = 320 016 32(6)x116%! + x2 -= 0厂11-10、d,<兀2 - 3*3 = 70 137d兀3 = 2,0 0 12,xx = 1eax2 = 1xy 1ri o o r0 10 1 e.0 0 12,通过以上解方程的过程，可以看到方程组a-幺为通解方程组，而矩阵a-e是等价 的矩阵。消元法的过程可以看做是对增广矩阵施以初等行变换，得到一系列的等价矩阵， 虽然这些矩阵形式不同，但它们所对应的方程组为同解方程组，利用这个原理可

5、以解方程 组。这就是高斯消元法，其步骤如下：对增广矩阵（a%）施以初等行变换，直到将增广矩阵化为最简行阶梯形矩阵;根据最终的最简行阶梯形矩阵得到与原方程组的同解方程组，从而解出x,-o例1.解下列线性方程组2x -+ 3x3 = 3<-10 83、<1003/7、（1）3兀勺 一5兀3 - 0（ab） =3-1 -50010-6/74x 一兀2 + 兀3 =34-1 13丿<0013/7丿+ 兀2 一 兀3 = 0<1 1 -1 0 >< 1 1 -1 0、2 兀1 +3 兀2 +七=7（a:b） =2317->0 1373xj 2%2 18兀3 =

6、_3（3 -2 -18 _3丿<0 0032丿7此时，最后一行对应的方程为0西+0花+0七=32,不管心如何取值，都无法使该 方程成立，这个方程为矛盾方程。此时不管心如何取值，都可若将-3改为-35,则最后一行变为ox+0兀2 +0兀3 =0,以使方程成立，这个方稈称为恒等方程。q1-10、<10-47、01310137卫000；/000,/对应的方程组为=-7=7耳二4勺_7 3尢3 + 7= 4c-7在该方程组中心可以自由变化，称为自由未知量。三.线性方程组解的判定1.非齐次线性方程组举例说明有唯一解，无穷多组解，唯一解的情况。r(a) = r(a:b) o非英次线性方程组有解

7、r(a) = r(a:b)= ，有唯一解 r(a) = r(a:h) <仏有无穷多组解ka) h r(a':b) o非其次线性方程组无解。%1 + 5x9 兀3 “4 = _ 1例2.=3=1x 一 2x2 + 兀3 + 3兀4 3西 + 8x2 - x3 + x4xi =x2 =(最简方程组)42415-1-1-n<103/713/713/7、1-2133>01-2/7-4/7-4/738-11100000j-9377丿<0000°丿%)一 9x2 + 3兀3 + 7x4 = 7解:13 313xi =y-ci _yc24 24,<兀2 = +

8、 c +c2结论：自由未知量的个数-n- r(a) x3 = c1“ = c22.齐次线性方程组ax =0 定有解(至少兀=0为方程组的解)r(a) = n只有零解，r(a) < /?有无穷多组解(有非零解)(1110、<10-10、-1250t0120< i 2 -1-40丿<0000丿解：(加0)=兀+兀2 +兀3 = 1例3.已知”石+3兀2-勺二久，试讨论2取何值时，方程组无解？有唯一解？无穷多 4兀+ 5x2 + a2x3 = 3组解？"11i<1111 解：(a/) =2 3-1zt01-3a-3<4 5z23丿<00/i1_2丿要使方程组无解，需要从而需要a2-! =0而1 一几工0=几二一1例3.“一兀+ 2 兀2 + 5兀3 = °要使方程组有唯一解，需要r(a) = r(a:b) = n,才1工0=兄工±1%! = 1 / 2 + q兀2 = 5x3 = 1 / 2 + c2x4 =(2要使方程组有无穷多组解，需要r(a) = r(a:b)<n, a2-l = 0,/l-l = 0=>