动力学中的临界极值问题

1、动力学中的临界极值问题临界和极值问题是物理中的常见题型，结合牛顿运动定律求解的也很多，临界是一个特殊的转换状态，是物 理过程发生变化的转折点。分析此类问题重在找临界条件，常见的临界条件有：1. 细线：拉直的临界条件为T=0，绷断的临界条件为T=Tmax2. 两物体脱离的临界条件为：接触面上的弹力为零3. 接触的物体发生相对运动的临界条件为：静摩擦力达到最大静摩擦临界或极值条件的标志有些题目中有 “刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态；(3) 若题

2、目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点；(4) 若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度.【例3 (2013 山东22)如图5所示，一质量m= 0.4 kg的小物块，以v° = 2 m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t= 2 s的时间物块由 A点运动到B点，A、B之间的距离L =10 m.已知斜面倾角A 30。，物块与斜面之间的动摩擦因数峪.重力加速度g取10 m/s2.3图5求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小.(2) 拉力F与斜面夹角多大时，拉

3、力 F最小？拉力F的最小值是多少？解析 (1)设物块加速度的大小为a,到达B点时速度的大小为 v,由运动学公式得, x 1 2L= V0t + ?atV= V0+ at联立式，代入数据得2a= 3 m/sv= 8 m/s(2)设物块所受支持力为Fn,所受摩擦力为Ff,拉力与斜面间的夹角为a,受力分析如图所示，由牛顿第二定律得Fcos a mgsin 0 Ff= maFsin a+ Fn mgcos 0= 0又 F f= p. Fn联立式得mg (sin e+ cos。汁 macos a+ (Bin a.由数学知识得cos a+ 3 sin a= 3 sin(60 + a)由式可知对应最小 F的

4、夹角a= 30联立式，代入数据得F的最小值为匚13 Fmin 5 N答案 (1)3 m/s2 8 m/s (2)30 ° 捋(2007江苏)如图所示，光滑水平面上放置质量分别为 N规律总结动力学中的典型临界条件(1) 接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力Fn = 0.(2) 相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值.(3) 绳子断裂与松驰的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松驰的临界条件是：Ft= 0.(4) 加速度变化时，速

5、度达到最值的临界条件：当加速度变为零时.【突破训练3】 如图6所示，水平地面上放置一个质量为m的物体，在与水平方向成。角、斜向右上方的拉力F的作用下沿水平地面运动.物体与地面间的动摩擦因数为卬，重力加速度为 g.求：(1)若物体在拉力F的作用下能始终沿水平面向右运动且不脱离地面，拉力 F的大小范围；已知m= 10 kg,咛0.5, g = 10 m/s2,若F的方向可以改变，求使物体以恒定加速度a= 5 m/s2向右做匀加速直线运动时，拉力 F的最小值.答案 (1)-3 < F < jm (2)40 V5 Ncos M psin 0 sin 0解析 (1)要使物体运动时不离开水平面

6、，应有： Fsin德mg要使物体能一直向右运动，应有:Fcos O Kmg Fsin 0)联立解得：一七mgF <皿；cos 0+ 归in 0 sin 00)= ma根据牛顿第二定律得：Fcos 0- p(mg- Fsin”/口卬 mg ma解得：F=.cos 0+ gin 0上式变形F 2,1 + 1 sin (。+ a)其中a= sin 1，当sin( 0+ a)= 1时F有最小值。1+ 11"/口卬 mg ma解碍：Fmin = j2 ,卬 mg ma1 + p.代入相关数据解得：Fmin = 40寸5 N.B组动力学中的临界极值问题2. 如图所示，一质量为0.2 kg的

7、小球系着静止在光滑的倾角为53。的斜面上，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，当斜面以10 m/s2加速度水平向右做匀加速直线运动时，求线对小球的拉力和斜面对小球的弹力.(g = 10 m/s2)m和2m的四个木块，其中两个质量为m的木块间用一不可伸长的轻绳相连， 木块间的最大静摩擦力是卬mg现用水平拉力F拉其中一个质量为 2 m的木块,使四个木块以同一加速度运动，则轻绳对m的最大拉力为（）m| 一3、mg53mg b .43mg c . 三D 3Pmg例2.一根劲度系数为 k、质量不计的轻弹簧上端固定，下端系一质量为m的物块，有一水平的木板将物块a（a<g）匀加速向下移动，经过多

8、长托住，并使弹簧处于自然长度，如图所示.现让木板由静止开始以加速度 时间木板与物块分离？跟踪训练2.如图所示，物体A叠放在物体B上，B置于光滑水平面上.A、B质量分别为6.0 kg和2.0 kg,A、B之间的动摩擦因数为0.2.在物体A上施加水平方向的拉力F,开始时F= 10 N,此后逐渐增大，在增B.两物体间从受力开始就有相对运动大到45 N的过程中，以下判断正确的是（）3如图3- 3 3所示，光滑水平面上放置质量分别为m、2m的A、B两个物体，A、B间的最大静摩擦力为1 mg现用水平拉力 F拉B,使A、B以同一加速度运动，贝U拉力F的最大值为()B. 2从 mgD. 4 卬 mg【解析】当

9、A B之间恰好不发生相对滑动时力F最大，此时，对于 A物体所受的合外力为 it mg由牛顿第二定律知 3a=.背% g；对于A、B整体，加速度 a = aA= g,由牛顿第二定律得 F= 3m村3 mg图 3-3-44如图3-3 4所示，一轻质弹簧的一端固定于倾角0= 30。的光滑斜面的顶端，另一端系有质量m= 0.5 kga = 2 m/s2沿斜面的小球，小球被一垂直于斜面的挡板挡住，此时弹簧恰好为自然长度.现使挡板以恒定加速度向下运动(斜面足够长)，已知弹簧的劲度系数k = 50 N/m , g取10 m/s2.(1) 求小球开始运动时挡板对小球的弹力的大小.(2) 求小球从开始运动到与挡板分离时弹簧的伸长量.(3) 判断小球与挡板分离后能否回到原出发点？请简述理由.【审题指导】(1)初始时刻，弹簧处于自然长度，小球受重力和挡板的支持力.(2)球与挡板分离的临界条件为二者之间作用力恰为零.【解析】(1)设小球受挡板的作用力为Fi,因为开始时弹簧对小球作用力为零，由牛顿第二定律得：m§in 0 Fi = maFi= 1.5 N.(2) 设小球受弹簧的拉力为 F2,因为小球与挡板分离时，挡板对小球的作用力为零，由牛顿第二定律得:m§in 0 F2= maF2= 1.5 N由胡克定律得：F2= kx, x= 3 c