对数函数课时学习教案

1、会计学1对数函数对数函数(du sh hn sh)课时课时第一页，共74页。问题问题(wnt)提提出出 1. 1.截止到截止到19991999年底，我国人口约年底，我国人口约1313亿亿. .如果今后能将人口年平均增长率控制在如果今后能将人口年平均增长率控制在1%1%，那么，那么(n me)(n me)经过经过2020年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？到哪一年我国的人口数将达到年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？到哪一年我国的人口数将达到1818亿？亿？ 1313 (1(11 1) )x x1818，求，求x=?x=?第1页/共73页第二页，共74页。3.3.上面的实际上面的实际(s

2、hj)(shj)问题归结为一个什么数学问题？问题归结为一个什么数学问题？ 2. 2.假设假设20062006年我国国民生产总值为年我国国民生产总值为a a亿元，如果亿元，如果(rgu)(rgu)每年的平均增长率为每年的平均增长率为8% 8% ，那么经过多少年我国的国民生产总值是，那么经过多少年我国的国民生产总值是20062006年的年的2 2倍？倍？ (1(18 8) )x x2 2，求，求x=?x=?已知底数已知底数(dsh)(dsh)和幂的值，求指数和幂的值，求指数. . 第2页/共73页第三页，共74页。第3页/共73页第四页，共74页。知识探究（一）：对数知识探究（一）：对数(du s

3、h)的的概念概念 思考思考(sko)1:(sko)1:若若2424M M，则，则M M？ 若若2 22 2N N，则，则N N？ 思考思考2:2:若若2 2x x1616，则，则x x？ 若若2 2x x , ,则则x x？ 若若4 4x x8 8， 则则x x？ 若若2 2x x3 3， 则则x x？ 41第4页/共73页第五页，共74页。思考思考3:3:满足满足2 2x x3 3的的x x的值，我们用的值，我们用loglog2 23 3表示，即表示，即x xloglog2 23 3，并叫做，并叫做“以以2 2为底为底3 3的对数的对数”. .那么满足那么满足2 2x x1616，2 2x

4、x ，4 4x x8 8的的x x的值可分别怎样表示？的值可分别怎样表示？ 41思考思考4:4:一般地，如果一般地，如果(rgu)ax(rgu)axN N（a0a0，且，且a1a1），那么数），那么数x x叫做什么？怎样表示？叫做什么？怎样表示？ x xlogloga aN N第5页/共73页第六页，共74页。思考思考6: 6: 满足满足 , , ， （其中（其中e=2.7182818459045e=2.7182818459045）的）的x x的值可分别怎样表示？这样的对数有什么特殊名称？的值可分别怎样表示？这样的对数有什么特殊名称？10 xNxeN思考思考5:5:前面问题中，前面问题中， ,

5、 , 中的中的x x的值可分别怎样表示？的值可分别怎样表示？181.0113x1.082x第6页/共73页第七页，共74页。思考思考1:1:当当a0a0，且，且a1a1时，若时，若axaxN N，则，则x xlogaNlogaN，反之，反之(fnzh)(fnzh)成立吗？成立吗？ 思考思考2:2:在指数式在指数式axaxN N和对数和对数(du sh)(du sh)式式x xlogaNlogaN中，中，a a，x x，N N各自的地位有什么不同？各自的地位有什么不同？ 知识探究知识探究(tnji)（二）：对数与指数的关系（二）：对数与指数的关系 a a N N x x 指数式指数式a ax x

6、N N 指数的底数指数的底数 幂幂 幂指数幂指数 对数式对数式x xlogloga aN N 对数的底数对数的底数 真数真数 对数对数 第7页/共73页第八页，共74页。思考思考3:3:当当a0a0，且，且a1a1时，时，logaloga（-2-2），），loga0loga0存在吗？为什么存在吗？为什么(shn me)(shn me)？由此能得到什么？由此能得到什么(shn me)(shn me)结论？结论？ 思考思考(sko)4:(sko)4:根据对数定义，根据对数定义，logallogal和和logaalogaa（a0a0，a1a1）的值分别是多少？）的值分别是多少？ 思考思考(sko)5

7、:(sko)5:若若axaxN N，则，则x xlogaN logaN ，二者组合可得什么等式？，二者组合可得什么等式？ 第8页/共73页第九页，共74页。理论理论(lln)迁迁移移 例例1.1.将下列指数式化为对数式，对数式将下列指数式化为对数式，对数式 化为指数式：化为指数式： (1) 51) 54 4625625 ; (2) 2; (2) 26 6 ; ; (3) (3) ( )( )m m5.735.73 ; (4) ; (4) ; ; (5) lg0.01= (5) lg0.01=; (6) ln10; (6) ln102.303.2.303.3116log21第9页/共73页第十页

8、，共74页。 例例2.2.求下列各式中的值：求下列各式中的值： (1)log1)log6464x x ; (2) log; (2) logx x8 86 ; 6 ; (3)lg100=x; (4) (3)lg100=x; (4)lnelne2 2 . .23第10页/共73页第十一页，共74页。作业：作业：P P练习练习(linx):(linx):1,1, , ,. .P P习题习题2.2.A A组：组：1,1,. .第11页/共73页第十二页，共74页。第二第二(d r)(d r)课时课时 对数的运算对数的运算2.2.1 2.2.1 对数对数(du sh)(du sh)与对数与对数(du s

9、h)(du sh)运算运算 第12页/共73页第十三页，共74页。问题问题(wnt)提提出出1.1.对数对数(du sh)(du sh)源于指数，对数源于指数，对数(du sh)(du sh)与指数是怎样互化的？与指数是怎样互化的？ 2.2.指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，指数运算有一系列性质指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，指数运算有一系列性质(xngzh)(xngzh)，那么对数运算有那些性质，那么对数运算有那些性质(xngzh)(xngzh)呢？呢？ 第13页/共73页第十四页，共74页。第14页/共73页第十五页，共74页。知识探究知识探究(tnji)（一）：积与

10、商的对数（一）：积与商的对数思考思考2:2:将将log232log232log24log24十十log28log28推广到一般情形有什么推广到一般情形有什么(shn me)(shn me)结论？结论？思考思考1:1:求下列三个对数求下列三个对数(du sh)(du sh)的值：的值：log232log232， log24 log24 ， log28 log28你能发现这三个对数你能发现这三个对数(du sh)(du sh)之间有哪些内在联系？之间有哪些内在联系？思考思考3:3:如果如果a a0 0，且，且a1a1，M M0 0，N N0 0，你能证明等式，你能证明等式logloga a（MNM

11、N）logloga aM M十十logloga aN N成立吗？成立吗？第15页/共73页第十六页，共74页。思考思考(sko)4:(sko)4:将将log232log232log24=log28log24=log28推广到一般情形有什么结论？怎样证明？推广到一般情形有什么结论？怎样证明？ 思考思考(sko)5:(sko)5:若若a a0 0，且，且a1a1，M1M1，M2M2，MnMn均大于均大于0 0，则，则loga(M1M2M3Mnloga(M1M2M3Mn）？）？ 第16页/共73页第十七页，共74页。知识知识(zh shi)探究（二）探究（二）:幂的对数幂的对数思考思考1:log23

12、1:log23与与log281log281有什么有什么(shn me)(shn me)关系？关系？思考思考(sko)2:(sko)2:将将log281=4log23log281=4log23推广到一般情形有什么结论？推广到一般情形有什么结论？ 思考思考3:3:如果如果a a0 0，且，且a1a1，M M0 0，你有什么方法证明等式，你有什么方法证明等式logloga aM Mn nnlognloga aM M成立成立 思考思考4:4:loglog2 2x x2 2=2log=2log2 2x x对任意实数对任意实数x x恒成立吗？恒成立吗？第17页/共73页第十八页，共74页。思考思考6:6:

13、上述关于对数运算的三个基本性质如何用文字上述关于对数运算的三个基本性质如何用文字(wnz)(wnz)语言描述？语言描述？思考思考5:5:如果如果a a0 0，且，且a1a1，M M0 0，则，则 等于什么？等于什么？lognaM两数积的对数，等于各数的对数的和；两数积的对数，等于各数的对数的和；两数商的对数，等于被除数两数商的对数，等于被除数(ch sh)(ch sh)的对数减去的对数减去 除数除数(ch sh)(ch sh)的对数；的对数；幂的对数等于幂指数乘以底数的对数幂的对数等于幂指数乘以底数的对数第18页/共73页第十九页，共74页。理论理论(lln)迁移迁移例例1 1 用用loglo

14、ga ax x，logloga ay y，logloga az z表示下列表示下列 各式：各式：(1)(1) ; (2) . ; (2) . logaxyz23logaxyz第19页/共73页第二十页，共74页。例例2 2 求下列各式的值：求下列各式的值： (1) log(1) log2 2（4 47 72 25 5）；）； (2) lg(2) lg ；(3) log(3) log3 318 -log18 -log3 32 2 ；(4) .(4) .510031 log 23第20页/共73页第二十一页，共74页。例例3 3 计算计算(j sun)(j sun)： 第21页/共73页第二十二页

15、，共74页。小结作业小结作业: :性质性质(xngzh)(xngzh)的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是个降级运算个降级运算. .性质性质(xngzh)(xngzh)的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算. .性质性质(xngzh)(xngzh)从左往右仍然是降级运算从左往右仍然是降级运算利用对数的性质利用对数的性质(xngzh)(xngzh)可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和

16、、差运算，大大的方便了对数式的化简和求值可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，大大的方便了对数式的化简和求值. .第22页/共73页第二十三页，共74页。作业作业(zuy)： P68练习：练习：1, 2，3.P74习题习题2.2A组：组：3,4,5.第23页/共73页第二十四页，共74页。2.2.1 2.2.1 对数对数(du sh)(du sh)与对数与对数(du sh)(du sh)运算运算 第三课时第三课时 换底公式及对数运算换底公式及对数运算(yn sun)(yn sun)的应用的应用 第24页/共73页第二十五页，共74页。问题问题(wnt)提出提出.（1

17、1） （2 2） （3 3）loglognaaMnMlogloglog ()aaaMNM NlogloglogaaaMMNN（1 1） ; ; （2 2） ; ; （3 3） . .log1aa log 10alogaNaN1.1.对数对数(du sh)(du sh)运算有哪三条基本性质？运算有哪三条基本性质？2.2.对数运算对数运算(yn sun)(yn sun)有哪三个常用结论？有哪三个常用结论？第25页/共73页第二十六页，共74页。 3. 3.同底数的两个对数可以同底数的两个对数可以(ky)(ky)进行加、减运算，可以进行加、减运算，可以(ky)(ky)进行乘、除运算吗？进行乘、除运算

18、吗？ 4.4.由由 得得 ，但这只，但这只是一种表示，如何求得是一种表示，如何求得x x的值？的值？ 181.0113x1.0118log13x 第26页/共73页第二十七页，共74页。第27页/共73页第二十八页，共74页。知识探究（一）：对数知识探究（一）：对数(du sh)的换底公式的换底公式 思考思考(sko)2:(sko)2:你能用你能用lg2lg2和和lg3lg3表示表示log23log23吗？吗？ 思考思考1:1:假设假设 ，则，则 ，从而有，从而有 .进一步可得到什么结论？进一步可得到什么结论？ 22log 5log 3x222log 5log 3log 3xx35x第28页/

19、共73页第二十九页，共74页。思考思考4:4:我们把我们把 （a a0 0，且，且a1a1；c c0 0，且，且c1c1；b b0 0）叫做）叫做对数换底公式对数换底公式，该公式有什么特征？，该公式有什么特征？logloglogcacbba思考思考3:3:一般地，如果一般地，如果a a0 0，且，且a1a1；c c0 0，且，且c1c1；b b0 0，那么，那么 与哪个对数相等？如何证明这个结论？与哪个对数相等？如何证明这个结论？ loglogccba第29页/共73页第三十页，共74页。思考思考6:6:换底公式在对数运算换底公式在对数运算(yn sun)(yn sun)中有什么意中有什么意

20、义和作用？义和作用？ 思考思考5:5:通过查表可得任何一个正数的常用通过查表可得任何一个正数的常用对数，利用换底公式如何求对数，利用换底公式如何求 的值？的值？ 1.0118log13第30页/共73页第三十一页，共74页。知识知识(zh shi)探究（二）：换底公式的变式探究（二）：换底公式的变式 思考思考1: 1: 与与 有什么关系？有什么关系？ logablogba思考思考2: 2: 与与 有什么关系？有什么关系？ lognaNlogaN思考思考3: 3: 可变形为什么？可变形为什么？ (log) (log)aaMN第31页/共73页第三十二页，共74页。理论理论(lln)迁迁移移 例例

21、1 1 计算：计算： (1) 1) ; ; (2) (2)（loglog2 2125125loglog4 42525loglog8 85)5) （loglog5 52 2loglog25254 4loglog1251258 8）32log9log278第32页/共73页第三十三页，共74页。作业：作业：P68 P68 练习练习(linx)(linx)：4.4.P74 P74 习题习题2.2A2.2A组：组： 6 6，1111，12.12.第33页/共73页第三十四页，共74页。2.2.1 2.2.1 对数对数(du sh)(du sh)与对数与对数(du sh)(du sh)运算运算 第四课时

22、第四课时 对数对数(du sh)(du sh)运算习题课运算习题课 第34页/共73页第三十五页，共74页。知识知识(zh shi)回顾回顾.1.1.指数指数(zhsh)(zhsh)与对数的换算与对数的换算: :2.2.对数运算的三个常用对数运算的三个常用(chn yn)(chn yn)结论结论: :第35页/共73页第三十六页，共74页。3.3.对数运算对数运算(yn sun)(yn sun)的三条基本性质的三条基本性质: :4.4.对数对数(du sh)(du sh)换底公式换底公式: :第36页/共73页第三十七页，共74页。理论理论(lln)迁移迁移55(1) 2log 10log 0

23、.25127(2) log81例例1 1 求下列各式的值求下列各式的值: :41291(3) log 8log 3log42lg5)lg2 lg50(4)（lg27lg83lg 10(5)lg1.2 2 2 -2 -2 1 1第37页/共73页第三十八页，共74页。例例2 2 已知已知 ，求，求 的值的值. .a12log324log3例例3 3 设设 ，已知，已知 , , 求求 的值的值. .35abm112abm第38页/共73页第三十九页，共74页。 例例4 204 20世纪世纪3030年代，里克特制订了一种表明年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地地震能量大

24、小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越地震曲线的振幅就越. . 这就是我们这就是我们(w men)(w men)常常说的里氏震级说的里氏震级M M，其计算公式为，其计算公式为M MlgAlgAlgA0. lgA0. 其中其中A A是被测地震的最大振幅，是被测地震的最大振幅，A0A0是是“标准地震标准地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测震仪距的振幅（使用标准振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）实际震中的距离造成的偏差）. .（1 1）假设在一次地震中，一个距离震中）假设在一次地震中，一个距离震

25、中100100千米千米的测震仪记录的地震最大振幅是的测震仪记录的地震最大振幅是2020，此时标准，此时标准地震的振幅是地震的振幅是0.0010.001，计算这次地震的震级（精，计算这次地震的震级（精确到确到0.10.1）；）； 4.3 4.3第39页/共73页第四十页，共74页。 20 20世纪世纪3030年代，里克特制订了一种表明年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越录的地震曲线的振幅就越. . 这就是我们常说这就是我们常说的里氏震

26、级的里氏震级M M，其计算公式为，其计算公式为M MlgAlgAlgA0. lgA0. 其中其中A A是被测地震的最大振幅，是被测地震的最大振幅，A0A0是是“标准标准地震地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测的振幅（使用标准振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成震仪距实际震中的距离造成(zo chn)(zo chn)的的偏差）偏差）. .（2 2）5 5级地震给人的震感已比较明显，计算级地震给人的震感已比较明显，计算7.67.6级地震的最大振幅是级地震的最大振幅是5 5级地震的最大振幅级地震的最大振幅的多少倍（精确到的多少倍（精确到1 1）. . 398 398第40页/共73页第四十一页

27、，共74页。 例例5 5 生物生物(shngw)(shngw)机体内碳机体内碳1414的的“半衰期半衰期”为为57305730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳1414的残余量约占原始含量的的残余量约占原始含量的76.776.7，试推算马王堆古墓的年代，试推算马王堆古墓的年代. . 2193 2193,lg) 2(lg)(2bxaxxf思考题思考题: :设函数设函数已知已知 且对一切且对一切 恒成立，求恒成立，求 的最小值的最小值. ., 2) 1(f,Rxxxf2)()(xf第41页/共73页第四十二页，共74页。2.2.2 2.2.2 对数函数对数函数(d

28、u sh hn sh)(du sh hn sh)及其性质及其性质第一第一(dy)(dy)课时课时 对数函数的概念与图象对数函数的概念与图象 第42页/共73页第四十三页，共74页。问题问题(wnt)提提出出 1. 1.用清水漂洗含用清水漂洗含1 1个单位质量污垢个单位质量污垢(wgu)(wgu)的衣服，若每次能洗去污垢的衣服，若每次能洗去污垢(wgu)(wgu)的四分之三，试写出漂洗次数的四分之三，试写出漂洗次数y y与残留污垢与残留污垢(wgu)x(wgu)x的关系式的关系式. . 2. 2. （x0）是函数吗？若是，这是什么类型的函数？14logyx第43页/共73页第四十四页，共74页。

29、第44页/共73页第四十五页，共74页。知识探究知识探究(tnji)（一）：对数函数的概念（一）：对数函数的概念 思考思考1:1:在上面的问题中，若要使残留的污垢为原来的在上面的问题中，若要使残留的污垢为原来的 ，则要漂洗几次？，则要漂洗几次？ 641思考思考2:2:在关系式在关系式 中，取中，取 对应的对应的y y的值存在吗？怎样计算？的值存在吗？怎样计算？ 14logyx(0)xa a思考思考3:3:函数函数 称为称为对数函数对数函数，一般地，什么叫对数函数？一般地，什么叫对数函数？ 14logyx第45页/共73页第四十六页，共74页。思考思考4:4:为什么在对数函数为什么在对数函数(d

30、u sh hn sh)(du sh hn sh)中要求中要求a a0 0， 且且alal？ 思考思考5:5:对数函数对数函数(du sh hn sh)(du sh hn sh)的定义域、值域分别是什么？的定义域、值域分别是什么？思考思考6:6:函数函数 与与 相同吗？为什么？相同吗？为什么？ 23logyx32logyx第46页/共73页第四十七页，共74页。思考思考(sko)1:(sko)1:研究对数函数的基本特性应先研究其图象研究对数函数的基本特性应先研究其图象. .你有什么方法作对数函数的图象？你有什么方法作对数函数的图象？知识知识(zh shi)探究（二）：对数函数的图探究（二）：对数

31、函数的图象象 思考思考2:2:设点设点P(mP(m，n)n)为对数函数为对数函数 图象上任意一点，则图象上任意一点，则 ，从而有，从而有 . .由此可知点由此可知点Q Q（n n，m m）在哪个函数的图象上？）在哪个函数的图象上？logayxloganmnma第47页/共73页第四十八页，共74页。思考思考3:3:点点P(mP(m，n)n)与点与点Q(nQ(n，m)m)有怎样的位置关系？由此说明对数函数有怎样的位置关系？由此说明对数函数 的图象与指数函数的图象与指数函数 的图象有怎样的位置关系？的图象有怎样的位置关系？ logayxxyaPQxyo第48页/共73页第四十九页，共74页。思考思

32、考4:4:一般地，对数函数的图象可分为几类？其大致一般地，对数函数的图象可分为几类？其大致(dzh)(dzh)形状如何？形状如何？ yx011xy011思考思考5:5:函数函数 与与 的图象分别如何？的图象分别如何？ 2|log|yx2log |yxa a1 10 0a a0,a1);a0,a1);（4 4）log75log75，log67.log67.理论理论(lln)迁移迁移第58页/共73页第五十九页，共74页。 例例2 2 求下列函数的定义域、值域：求下列函数的定义域、值域： (1) y(1) y ； (2) y(2) yloglog2 2(x(x2 22x2x5). 5). 31 l

33、og (1)x第59页/共73页第六十页，共74页。例例3 3 溶液酸碱度的测量溶液酸碱度的测量: : 溶液酸碱度是通过溶液酸碱度是通过pHpH刻画的刻画的. pH. pH的计算公式为的计算公式为pHpHlgH+lgH+，其中，其中H+H+表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔(m r)(m r)升升. .（1 1）根据对数函数性质及上述）根据对数函数性质及上述pHpH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；（2 2）已知纯净水中氢离子的浓度为）已知纯净水中氢离子的浓度为H+H+1

34、0107 7摩尔摩尔(m r)(m r)升，计算纯净水的升，计算纯净水的pH.pH.第60页/共73页第六十一页，共74页。作业：作业： P73 练习练习(linx)：3 P74 习题习题2.2B组：组：1， 2，3.第61页/共73页第六十二页，共74页。第三课时第三课时 指、对数函数指、对数函数(du sh hn sh)(du sh hn sh)与反函数与反函数 2.2.2 2.2.2 对数函数对数函数(du sh hn sh)(du sh hn sh)及其性质及其性质第62页/共73页第六十三页，共74页。问题问题(wnt)提出提出 设设a a0 0，且，且a1a1为常数，为常数， . .若以若以t t为自变量可得指数函数为自变量可得指数函数y ya ax x，若以，若以s s为自变量可得对数函数为自变量可得对数函数y ylogloga ax. x. 这两个函数之间的关系如何进一步进行数学解释？这两个函数之间的关系