立体几何垂直证明

1、立体几何垂直证明方法技巧类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（ 1） 共面垂直 ： 掌握几种模型等腰（等边）三角形中的中线菱形（正方形）的对角线互相垂直 勾股定理中的三角形 直角梯形利用相似或全等证明直角。例：在正方体ABCDA1B1C1D1 中， O 为底面 ABCD 的中心，E 为 CC1 中点 ,求证：(1) A1O OE(2) A1O 平面 BDE（ 2） 异面垂直 （利用线面垂直来证明）例 1 在正四面体 ABCD中，求证： AC BD变式1 如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是矩形，已知AB3, AD2, PA2, PD22,PAB60证明：ADPB ；变式 2如图

2、，在边长为2 的正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 的中A '点，点 F 是 BC 的中点，将 AED, DCF 分别沿 DE , DF 折起，使 A,C两点重合于 A' .ED求证 : A'DEF ；BGF变式 3 如图，在三棱锥PABC 中， PAB 是等边三角形， PAC= PBC=90 o证明： AB PC类型二：直线与平面垂直证明方法 1 利用线面垂直的判断定理例 ： 在正方体 ABCDA B C D 中， ,求证： AC平面 BDC111111变式 1：如图：直三棱柱 ABC A11 1中，1，ACB=90 .E为1B CAC=BC=AA =2BB的中点

3、， D 点在 AB 上且 DE=3 .求证： CD平面 A11；ABB变式 2：如图，在四面体ABCD 中， O、 E 分别是 BD 、 BC 的中点，CACBCDBD2, ABAD2.求证： AO平面 BCD ；变式 3 如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD 中，AD BC ，ABC90°， PA平面 ABCD PA3，AD2，AB2 3，BC61 求证： BD平面 PACB2 利用面面垂直的性质定理PADEC例 3：在三棱锥P-ABC 中， PA底面 ABC , 面PAC面 PBC ， 求证： BC面 PAC 。变式 1, 在四棱锥 PABCD ，底面 ABCD是正方形，侧面

4、 PAB是等腰三角形，且 面 PAB底面 ABCD ,求证： BC面 PAB类型 3：面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直)例 :如图，已知 AB平面 ACD ，DE平面 ACD， ACD 为等边三角形，BEAADDE 2AB， F 为CD 的中点 .CDF(1)求证：AF / 平面 BCE ；求证：平面 BCE平面 CDE ；(2)P例 2如图，在四棱锥 PABCD 中， PA底面 ABCD ，ABAD， AC CD， ABC 60°BC ，E，PA ABADCBE 是 PC 的中点（1）证明 CDAE ；（2）证明 PD平面 ABE ；变式 1 已知直四棱柱 ABCDA BCD

5、的底面是菱形， ABC 60 ，E、F 分别是棱 CC与 BB上的点，且 EC=BC =2FB=2（1）求证：平面AEF平面 AA CC；类型三：平面与平面垂直证明1. AB 是圆 O 的直径， PA 垂直于圆 O 所在的平面，M 是圆周上任意一点，ANPM ，点 N 为垂足，求证：平面PAM平面 PBM2如图，在空间四边形ABCD 中，AB=BC ，CD=DA ，E，F，分别为，和对角线的中点。求证：平面平面.3. 在直平行六面体AC1 中，四边形 ABCD是菱形， DAB60°， AC BDO，ABAA1.(1) 求证： C1O平面 AB1D1；(2) 求证：平面 AB1D1平面 ACC1A1.4. 如下图，正方形 ADEF与梯形 A