保险精算学-利息理论基础培训课件

1、人身保险精算人身保险精算 本课程研究以本课程研究以单个被保险人单个被保险人为承保对为承保对象，以被保险人的象，以被保险人的生、死生、死为保险事故的单为保险事故的单个被保险人型个被保险人型人身保险人身保险的精算方法。的精算方法。课程结构课程结构o基础基础利息理论基础利息理论基础 生命表基础生命表基础o核心核心n保费计算保费计算 n责任准备金计算责任准备金计算o拓展拓展n特殊年金与寿险特殊年金与寿险n资产份额资产份额第第 1 1 章章 利息理论基础利息理论基础l利息的度量利息的度量l利息问题求解的原则利息问题求解的原则l年金年金l收益率收益率第一节第一节 利息的度量利息的度量一、利息的定义一、利息

2、的定义o定义定义1 1利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。支配该笔资金而蒙受的损失。o定义定义2 2：本金本金: : 每项业务开始时投资的金额。每项业务开始时投资的金额。终值终值: : 业务开始一定时间后回收到的总金额称为业务开始一定时间后回收到的总金额称为 该时刻的终值该时刻的终值( (或累计值或累计值) )。利息利息: : 累计值与本金的差额就是这一时期的利息累计

3、值与本金的差额就是这一时期的利息 金额。金额。 终值终值= =本金本金+ +利息利息 A = S + IA = S + Io影响利息大小的三要素：影响利息大小的三要素：n 本金金额本金金额n 利率利率n 投资时间投资时间二、利息的度量二、利息的度量o按照计息时刻划分：按照计息时刻划分：1.1.期末计息：利率期末计息：利率2.2.期初计息：贴现率期初计息：贴现率o按照积累方式划分按照积累方式划分1.1.线性积累线性积累 （1 1）单利计息）单利计息 （2 2）单贴现计息）单贴现计息2.2.指数积累指数积累 （1 1）复利计息）复利计息 （2 2）复贴现计息）复贴现计息o按照利息转换频率划分按照利

4、息转换频率划分1.1.一年转换一次：实质利率一年转换一次：实质利率 （实质贴现率）（实质贴现率）2.2.一年转换一年转换 m 次：名义利率次：名义利率 （名义贴现率）（名义贴现率）3.3.连续计息（一年转换无穷次）：利息效力连续计息（一年转换无穷次）：利息效力二、利息的度量二、利息的度量三、三、 利息理论基础利息理论基础本本 金金：每项业务开始时投资的金额。：每项业务开始时投资的金额。积积 累累 值值：过了一定时间再回收的总金额。：过了一定时间再回收的总金额。利利 息息：积累值减去本金。：积累值减去本金。积累函数积累函数：在时刻：在时刻 0 时投资时投资 1 单位本金单位本金在时刻在时刻 t

5、的积累值，用的积累值，用 a(t) 表示表示; ;金额函数金额函数: : 在时刻在时刻 0 时投资时投资 C 单位本金单位本金在时刻在时刻t 时的积累值，用时的积累值，用 A(t) ) 表示。表示。积累函数积累函数金额函数金额函数)(ta)(tAt01-a(t)C-A(t) 本金本金终值终值)(tA= C a(t)积累函数积累函数a(t)的性质的性质: : 1.a(0) = 1；2.a(t) 通常为递增函数；通常为递增函数；3.3.当利息连续产生时，当利息连续产生时，a(t) 是是 t 的连续函数；的连续函数；4.4.若若 a(0) = C, 则则 A(t) = C a(t).a(t)的四种情

6、况：的四种情况：1.1.线性金额函数；线性金额函数；2.2.非线性函数；非线性函数；3.3.水平的积累额函数；水平的积累额函数；4.4.阶梯上升的积累额函数。阶梯上升的积累额函数。例例设设 a(t) = at2+b, ,且且 A(0)=100, A(3)=370, , 求求 A(5) = 100 时的时的 A(10).实际利率实际利率o某一度量期的某一度量期的实际利率实际利率，是指该度量期内得到的，是指该度量期内得到的利息金额与利息金额与此度量期开始时投入的此度量期开始时投入的本金金额之比本金金额之比。实际利率通常用字母。实际利率通常用字母i i表示。表示。为为整整数数nnnAInAnAnAi

7、nn, 1,)1()1()1()( )0()0()0()1(AIAAAi o 利息率利息率: : 单位本金在单位时间内所孳生的利息。单位本金在单位时间内所孳生的利息。 nio 对于多个度量期的情形对于多个度量期的情形, , 可以分别定义各个度量期的实际可以分别定义各个度量期的实际利率。用利率。用 表示从投资日算起第表示从投资日算起第n n个度量期的实际利率，则个度量期的实际利率，则2. 2. 单利与复利单利与复利( (对多个利息周期而言对多个利息周期而言) )o单利的计算：单利的计算： 只有本金计息，利息不计息的计息方式。只有本金计息，利息不计息的计息方式。o复利的计算：复利的计算： 本周期的

8、利息由上周期的本周期的利息由上周期的本利和本利和产生，也就产生，也就是利息也将产生利息。是利息也将产生利息。本金本金 1利率利率 i1 i 2 i3 it 时间时间t 0 1 2 3 . t-1 t 设在设在0到到t时刻，利率时刻，利率i i可以变动，如第一个时间段可以变动，如第一个时间段 i=ii=i1 1, ,第二个时间段第二个时间段 i=ii=i2 2. . 如下图所示：如下图所示：(1)(1) 单利计算单利计算 ( (利息不计息利息不计息) )累积函数累积函数: : a(t)=1+i1+i2+it(2)(2) 复利计算复利计算 ( (利息也计息利息也计息) ) 累积函数累积函数: :

9、a(t)=(1+i1)(1+i2)(1+i3)(1+it)n单利单利 累积函数累积函数: : a(t) = 1+i t 金额函数：金额函数：A(t) = A(0) (1+ i t) = A(0) a(t) n复利复利 累积函数累积函数: : a(t) = (1+ i )t 金额函数：金额函数：A(t) = A(0) (1+ i )t = A(0) a(t) 等利率情况下等利率情况下例o本金本金10001000元，元，6 6年投资如下，分别按单利和复利，年投资如下，分别按单利和复利，求资本总额以及利息总额。求资本总额以及利息总额。时间（年）时间（年）各年实际利率各年实际利率 时间（年）时间（年）

10、各年实际利率各年实际利率 0-2 0-2 2% 2% 5-6 5-6 3% 3% 2-5 2-5 4% 4% 3. 3.现值现值 （Present Value）单利与复利的单利与复利的现值现值（单个度量周期）（单个度量周期）已知：本金为已知：本金为1 1的投资在一个度量周期期末将会有的投资在一个度量周期期末将会有 1+i 积累值，积累值，1+i 称为累积因子。称为累积因子。反之：为使一个度量周期期末的积累值为反之：为使一个度量周期期末的积累值为1，在期，在期 初投资的本金金额须是初投资的本金金额须是(1+i)-1 ，把，把 (1+i)-1 称称 为贴现因子，记为：为贴现因子，记为： ，故有，故

11、有 i 11 1 1单位本金经过单位本金经过t t年后成为年后成为 ; ; 那么那么1 1单位累计值在单位累计值在t t年前的值便为年前的值便为 。)(1ta )(tat t年现值年现值: : 我们我们把现在把现在1 1单位元在单位元在t t年前的值或者未来年前的值或者未来 t t年年1 1单位元在现在的值称为单位元在现在的值称为t t年的现值。年的现值。累积值累积值 a(t)现值现值本金本金 11/a(t)-t0t单利与复利的单利与复利的现值现值（多个度量周期）（多个度量周期） 单利下的现值和累计值单利下的现值和累计值-ti 1ti 11i 211 i 11 1i 21 ti 1-2-10t

12、21金额金额时间时间-ti 1 ti 11i 11 1 21i -2-10t21金额金额时间时间 211i ti 1 复利下的现值和累计值复利下的现值和累计值积累函数积累函数金额函数金额函数贴现函数贴现函数第第n n期利息期利息)(ta)(tA)(1ta ( )I nt01-K- -1)(1ta)(ta)(tA) 1()()(nAnAnI本金本金终值终值名名 词词 总总 结结l如果应在将来某个时期支付的金额提前到现在如果应在将来某个时期支付的金额提前到现在来支付，则支付额中应扣除一部分金额，这个来支付，则支付额中应扣除一部分金额，这个扣除额称为扣除额称为贴现额贴现额。l它相当于资金投资在期初的

13、预付利息。它相当于资金投资在期初的预付利息。l贴现和利息的区别在于分析的出发点不同：贴现和利息的区别在于分析的出发点不同： 利息是在本金基础上的增加额利息是在本金基础上的增加额，而，而贴现则是在贴现则是在累积额基础上的减少。累积额基础上的减少。它相当于利率在每一利它相当于利率在每一利息计算期的起点时刻被记入。息计算期的起点时刻被记入。 贴现额贴现额 例例 子子l某人以年利率某人以年利率5%5%向银行借向银行借100100元，则银行将元，则银行将付给借款人付给借款人100100元。元。1 1年后，该借款人将还给年后，该借款人将还给银行贷款本金银行贷款本金100100元，外加元，外加5 5元的利息

14、，共计元的利息，共计105105元。元。l 如果此人不是以年实际利率如果此人不是以年实际利率5%5%而是以年实际而是以年实际 贴现率贴现率5%5%向银行借向银行借100100元，为期元，为期1 1年，则银行年，则银行 将预收将预收5%5%( (即即5 5元元) )的利息，而仅付给借款人的利息，而仅付给借款人9595 元。一年后，该借款人将还给银行元。一年后，该借款人将还给银行100100元。元。 实际贴现率实际贴现率实际贴现率为实际贴现率为该年内得到的利息金额与此年末的累计该年内得到的利息金额与此年末的累计金额之比。简称为贴现率。金额之比。简称为贴现率。第第n n年的年的贴现率贴现率记为记为d

15、 dn n 。)()1()()()1()(nanananAnAnAdn 第第n n年的贴现率为年的贴现率为)1(1)1()1()0()1(aaAAAd 一年的贴现率简化表示为一年的贴现率简化表示为d, d, 有有 单位时间以年度衡量时，称为单位时间以年度衡量时，称为实际贴现率实际贴现率。实际贴现率实际贴现率d d：l使积累值为一个单位，须在一个度量周期期初支使积累值为一个单位，须在一个度量周期期初支付的利息。付的利息。l解释：解释：为了在时间为了在时间1 1能得到能得到1 1元的返还，投资人必元的返还，投资人必须在时间须在时间0 0投入（投入（1-d1-d）元资金。这就相当于单位）元资金。这就

16、相当于单位时间后到期的时间后到期的1 1元钱，在单位时间里产生的利息元钱，在单位时间里产生的利息是是d d。d d 即为单位时间的实际贴现率。即为单位时间的实际贴现率。iiiiaaAAAd 1111)1(1)1()1()0()1( iiid11111d 11-t0t 1(1-d)t 1-d-11td)1(1 金额金额时间时间复利下的现值和累计值复利下的现值和累计值 例例 实质利率实质利率/ /贴现率贴现率o某人存某人存10001000元进入银行，第元进入银行，第1 1年末存款余额年末存款余额为为10201020元，第元，第2 2年存款余额为年存款余额为10501050元，求元，求: : 分别等

17、于多少？分别等于多少？2121ddii、答案答案 1211112222( 0 )1 0 0 0 ,(1 )1 0 2 0 ,( 3 )1 0 5 0(1 )( 0 )2 0 ( 3 )( 2 )3 02 02 %( 0 )1 0 0 02 01 .9 6 %(1 )1 0 2 03 02 .9 4 %(1 )1 0 2 03 02 .8 6 %( 2 )1 0 5 0AAAIAAIAAIiAIdAIiAIdA212例 已知某投资在一年中能得到的利息金额是已知某投资在一年中能得到的利息金额是420420元，元，而等价的贴现金额是而等价的贴现金额是300300元，求本金。元，求本金。l实际利率和实

18、际贴现率都是用来度量利息的。实际利率和实际贴现率都是用来度量利息的。实际利率实际利率6%6%并不等于实际贴现率并不等于实际贴现率6%6%。然而，在。然而，在实际利率和实际贴现率之间存在着一个确定的实际利率和实际贴现率之间存在着一个确定的关系。关系。l若对给定的投资金额，在同样长的时期内，它若对给定的投资金额，在同样长的时期内，它们产生同样的积累值，则称这两个们产生同样的积累值，则称这两个“率率”是是“等价等价”的。的。解设本金为A, 则Ai=420, Ad=300, 所以 i/d=1.4, 即 1+i=1.4, i=0.4从而得 A=420/0.4=1050元，即投资的本金为1050元。实际利

19、率与实际贴现率初始值利息积累值1 11 1ii1d111）（idvv（4 4）名义利率）名义利率o实际利率（贴现率）实际利率（贴现率）“实际实际”：指利息在每个度量期（期末或期中）支付：指利息在每个度量期（期末或期中）支付一次。一次。o 问题：如果在一个度量期中利息支付不止一次，或问题：如果在一个度量期中利息支付不止一次，或多个度量期利息才支付一次，该如何刻画利率？多个度量期利息才支付一次，该如何刻画利率？o答案：此种情况下称相应的一个度量期的利率为答案：此种情况下称相应的一个度量期的利率为名义利率（贴现率）名义利率（贴现率）(4)（5 5）多次结算方式下的实际利率）多次结算方式下的实际利率l

20、问题：一年多次结算与一次结算的效果有什么区别？问题：一年多次结算与一次结算的效果有什么区别？ 考虑如下的计算实例：考虑如下的计算实例： l设本金为设本金为1 1元，按半年结算的名义利率为元，按半年结算的名义利率为10%，则结算利则结算利率率 = = 10% / 2 = 5%. l第一次结算结果：第一次结算结果：1(1+0.05) = 1.05元，元， l第二次结算结果：第二次结算结果：1.05 (1+0.05) =1.1025元，元， l一年的利息额：一年的利息额：1.1025 -1= 0.1025元，元， l实际的年利率：实际的年利率：10.25%.名义利率名义利率 与实际利率与实际利率i

21、i1i1i141)4(i 2)4(41 i3)4(41 i4)4(41 i)(miimimm 11)(实际利率实际利率01年年第第1季度季度第第2季度季度第第3季度季度（6 6）名义贴现率与实际贴现率）名义贴现率与实际贴现率名义贴现率名义贴现率 1d 1d 141)4(d 2)4(41 d3)4(41 d4)4(41 d)(mddmdmm 11)(1 1年年0第第3季度季度第第2季度季度第第1季度季度o在单利下由于利率只在本金上记息，所以没有名义利率和实际利率的区别。(7) 利息力利息力这是利息力的又一表达方式。这是利息力的又一表达方式。利息强度o在下面的讨论中，如果不作特别的说明，我们总是考

22、虑离散的时间周期离散的时间周期，通常以一年为单位，多年的资金运行按多年的资金运行按复利复利计算计算. . 1d 1d 141)4(d 2)4(41 d3)4(41 d4)4(41 ddmdmm 11)(1i1i141)4(i 2)4(41 i3)4(41 i4)4(41 iimimm 11)(利息利息贴现贴现五种利息支付方式：d d(p)/p d(p)/p d(p)/p d(p)/p i(p)/p i(p)/p i(p)/p i(p)/p i 时间时间 0 1/p 2/p 3/p (p-1)/p 1例例1 1、确定、确定500元以季度转换元以季度转换8%年利率投资年利率投资5年的积累值。年的积

23、累值。2 2、如以、如以6%年利，按半年为期年利，按半年为期预付预付及转换，及转换，到第到第6年末支付年末支付1000元，求其现时值。元，求其现时值。3 3、确定季度转换的名义利率，使其等于、确定季度转换的名义利率，使其等于月度转换月度转换6%名义贴现率。名义贴现率。答案1、2、3、420(4)0.081500 1742.9744niP84.693206. 01100021122)2(0 nndAA%0605. 611206. 014121413)4(12)12(4)4( idi第二节第二节利息问题求解原则利息问题求解原则一、利息问题求解四要素一、利息问题求解四要素o原始投资本金原始投资本金o

24、投资时期长度投资时期长度o利率及计息方式利率及计息方式n期初期初/ /期末计息：利率期末计息：利率/ /贴现率贴现率n积累方式：单利计息、复利计息积累方式：单利计息、复利计息n利息转换时期：实质利率、名义利率、利利息转换时期：实质利率、名义利率、利息效力息效力o本金在投资期末的积累值本金在投资期末的积累值 二、利息问题求解原则二、利息问题求解原则o本质：任何一个有关利息问题的求解本质都本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题是对四要素知三求一的问题o工具：现金流图工具：现金流图o方法：建立现金流分析方程（等值方程）方法：建立现金流分析方程（等值方程）o原则：在任意时间参照点，等值方程等号两原则：在任意时间参照点，等值方程等号两边现时值相等。边现时值相等。01t2tnt现金流现金流时间坐标时间坐标1p2pnp0p例：求本金例：求本金l某人为了能在第某人为了能在第7年末得到年末得到1万元款项，他万元款项，他愿意在第一年末付出愿意在第一