2020-2021高三数学下期中试卷及答案(2)

1、2020-2021 高三数学下期中试卷及答案(2)一、选择题1 若函数yf ( x) 满足：集合Af (n)| nN*中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数 f(x)是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是 () y2x1；ylog 2x；y2x 1； ysin（x ）44A 1B 2C 3D 42 “干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、癸等十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支，如公元1

2、984 年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986 年农历为丙寅年，则公元2047 年农历为A乙丑年B丙寅年C丁卯年D戊辰年3 设 x， y 满足约束条件101> 0 ，则 y 的取值范围是( xA, 2 U 2,B2,2C, 2 U 2,D2,2xy4 若直线1 a 0,b 0 过点 (1,1) ，则 4a b 的最小值为()abA 6B 8C 9D 101a8 a95 已知等比数列an 的各项都是正数，且3a1, a3,2a2成等差数列，则892a6 a7A 6B7C 8D 92y6 设 z 2xy ，其中x, y满足0 ，若 z的最小值是12 ，则 z 的最大值为0y

3、kAB 12C12D 97 已知数列an 的首项a11 ，数列bn 为等比数列，且bnan 1 若b10b112 ，则ana21（）A29B210C211D21283 a a 66 a 3 的最大值为()A 998 2C 3D329数列 an满足1a1=1 ，对任意n N*都有an+1=an+n+1 ，则a11a21a2019 2020 2019 20172019101010104037 D202010 若 a， b， c， d R，则下列说法正确的是（）A若a> b， c> d，则ac> bdB若a> b， c> d，则a+c> b+dcC若a> b

4、> 0， c> d> 0，则ax011 已知x， y 满足条件 y xD若a> b， c> d，则a c> b d（k 为常数），若目标函数z x 3y 的最大值为8，2x y k 0则 k ()8A16B6C -3D 612 已知正项数列 an 中，a1a2 L项公式为（）2A annB an n二、填空题ann(n2 1)(n N*)，则数列an的通2nnCanD an2n213 数列an 满足： a1 a （ a R 且为常数），an 1an 3 an3n4 an an3a 100时，则数列an 的前 100项的和S100为14 已知等差数列an 的公

5、差为d d 0n 项和为Sn ，且数列Snn也为公差为 d 的等差数列，则d 15 已知数列an 为正项的递增等比数列，a1 a582 ， a2 ga481 ，记数列2 的前 an11n 项和为Tn ，则使不等式2020 | Tn3an1| 1 成立的最大正整数n 的值是16 设 (1 x)1 (1 x)2 L(1 x)n a0 a1x a2x2Lanxn，其中n N ，且n 2 ，若a0 a1 a2 L17 已知数列an 中，a1an 1022，则 n =111 ，且3(n N ) ，则a10an 1an25 如图，在平面四边形ABCD 中， AB 4 2 ， BC 2 2 ， AC 4 .

6、作答）18 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产 ”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A， B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C， D ，测得 CD 80，ADB 135 ，BDC DCA 15 ， ACB 120 ，则A， B两点的距离为3919 已知等比数列an的前n 项和为Sn，若a3，S3，则a1的值为2220 在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C 的对边，已知a,b, c成等比数列，且a2 c2 ac bc，则 c 的值为 .b sin B三、解答题21 已知 a， b ， c分别为ABC三个内角A， B ，

7、C的对边，且3b sin A acosB 2a 0 .（）求B 的大小；（）若b 7 ， ABC的面积为3 ，求 a c的值22 已知函数f x 2x 1 .1（ 1 ）若不等式f x 1 2m 1（m 0） 的解集为, 22, ，求实数m 的值；2（ 2）若不等式f x 2y a 2x 3 对任意的实数x, y R 恒成立，求正实数a 的最2y小值 .123 已知函数f （x） = cos x- sin x +, x? （0, p） 2（ 1 ）求 f （ x） 的单调递增区间；（ 2）设VABC 为锐角三角形，角A所对边 a 19 ，角 B 所对边 b 5，若f（A） 0，求 V ABC

8、的面积24 已知 a,b,c分别是 ABC 的角 A, B,C 所对的边，且c 2,a2 b2 4 ab（ 1 ）求角 C ；22（ 2）若sin B sin A sin C （2sin 2A sinC） ，求 ABC的面积( 1 )求 cos BAC ；( 2)若 D 45 ，26 已知在 VABC 中，角BAD 90 ，求 CD .A， B ， C 的对边分别为a ， b ， c，且asinB bcosA 01 )求角A的大小：2)若a 2 5， b2 求 VABC 的面积* 试卷处理标记，请不要删除1 C解析： C【解析】 y 2x 1 ， n N *，是等差源函数；因为log21， l

9、og22， log24构成等差数列，所以y log2x是等差源函数； y2x1 不是等差源函数，因为若是，则2(2p1)(2m1)(2n1)，则2p12m2n，所以2p 1 n 2m n 1，左边是偶数，右边是奇数，故y 2x 1 不是等差源函数； y sin x 是周期函数，显然是等差源函数.44答案：C.2 C解析：C【解析】记公元 1984 年为第一年，公元2047 年为第 64 年，即天干循环了十次，第四个为“丁”，地支循环了五次，第四个为“卯”, 所以公元2047 年农历为丁卯年.故选 C.3 A解析： A【解析】【分析】根据题意，作出可行域，分析y 的几何意义是可行域内的点x, y

10、 与原点 O 连线的斜率，x根据图象即可求解.作出约束条件表示的可行域，如图所示，y 的几何意义是可行域内的点 xx,y 与原点O 连线的斜率，由y10，得点 A的2坐标为 1,2 ，所以 kOA 2，同理，kOB 2，所以 y 的取值范围是, 2 U 2,.x故选： A【点睛】本题考查简单的线性规划，考查斜率型目标函数问题，考查数形结合思想，属于中等题型4 C解析： C【解析】【详解】xy ab11(4a b)(1+1) ab1 a 0,bb 4a+ab110 过点 1,1 ,所以 +1 , 因此ab5 2 b 4a 9 , 当且仅当b 2a 3时取等号, 所以选C.点睛：在利用基本不等式求

11、最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（ 即条件要求中字母为正数） 、“定”（ 不等式的另一边必须为定值） 、（ 等号取得的条件） 的条件才能应用，否则会出现错误5 D解析： D【解析】【分析】设各项都是正数的等比数列an的公比为q，（q> 0），由题意可得关于q 的式子，解之可得q，而所求的式子等于q2，计算可得【详解】设各项都是正数的等比数列a n的公比为q，（q> 0）1由题意可得2a3 3a1 2a2， 即 q2-2q-3=0 ，2解得 q=-1 （舍去），或q=3，2故 a8 a9a6 a7 q q2 9a6 a7a6 a7故选： D【点睛】本

12、题考查等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题6 B解析： B【解析】【分析】作出不等式对应的可行域，当目标函数过点A时， z取最小值，即zmin12，可求得k的值，当目标函数过点B 时， z取最大值，即可求出答案.【详解】作出不等式对应的可行域，如下图阴影部分，目标函数可化为y 2x z，x 2y 0联立，可得 A 2k, k ，当目标函数过点A时， z取最小值，则yk2 2k k 12，解得 k 4，联立 x y 0，可得B k, k ，即 B 4,4 ，当目标函数过点B 时， z取最大值，ykzmax 2 4 4 12 .故选： B.【点睛】本题考查线性规划，考查

13、学生的计算求解能力，利用数形结合方法是解决本题的关键，属于基础题.7 B解析： B【解析】【分析】a21由已知条件推导出an=b1b2bn-1，由此利用b10b11=2，根据等比数列的性质能求出【详解】数列a n 的首项a1=1 ，数列b n 为等比数列，且bnan 1， ana2b1a2，a1a3b2，a3a2b1b2， b34 ，a3a4b1b2b3，anb1b2bn1， Q b10b112，a21b1b2b20b1b20) (b2b19)b10b11)210故选 B 【点睛】本题考查数列的第性质的合理运用21 项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递公式和等比数列的8 B解析： B【

14、分析】根据 3 a a 6【详解】9 是常数，可利用用均值不等式来求最大值因为 6 a 3 ，所以 3 a 0,a60(3 a)(a 6)3aa623 a a 6，即 a923时，等号成立，2故选 B.【点睛】本题主要考查了均值不等式，属于中档题9 B解析： B【解析】n2 时，an-an-1=n，再由数列的恒等式：an=a1+( a2-a1) +a3-a2)+(an-an-11 ），运用等差数列的求和公式，可得an，求得=annn11 =2(n11 ），由数列的 n1裂项相消求和，化简计算可得所求和解：数列an满足a1=1 ，对任意n N*都有an+1=an+n+1，即有n2 时，an-an

15、-1=n，可得an=a1+（ a2-a1） +（ a3-a2） +（ an-an-1）n（ n+1），n1 也满足上式1=1+2+3+ +n=2ann n=211nn）， 11则a1a21=2 a2019111- + - +1）2019 2020201910101=2（ 12020故选 : B本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化 简运算能力，属于中档题10 B解析： B【解析】【分析】利用不等式的性质和通过举反例否定一个命题即可得出结果【详解】A 项，虽然4 1, 12 ，但是 42 不成立，所以不正确；B 项，利用不等式的同向可加性得知，其正确，所以

16、成立，即B 正确；C项，虽然3 2 0,21 0 ，但是 32 不成立，所以C 不正确；21D 项，虽然4 1,23 ，但是2 4 不成立，所以D 不正确；故选 B.【点睛】该题考查的是有关正确命题的选择问题，涉及到的知识点有不等式的性质，对应的解题的方法是不正确的举出反例即可，属于简单题目.11 B解析： B【解析】【分析】【详解】1 zx0由 z x 3y得yx，先作出 的图象，如图所示，k6.8，所以因为目标函数z x 3y 的最大值为C（2,2），代入直线2x y k 0，得12 B解析： B【解析】【分析】x 3y 8 与直线y x的交点为C，解得先求出annn 1nn 1a1 的值

17、，对a1 的值验证是否满足an 的表达式，可得出数列an 的通项公式.ann(n 1)n(n 1)2 n,(n2） ，又a11 ，所以an n,(n 1),anB.给出Sn 与 a n 的递推关系求a n，常用思路是：一是利用an Sn Sn 1,n 2转化为 an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn 的递推关系，先求出Sn与n 之间的关系，再求 an . 应用关系式an S1,n 1Sn Sn 1,n时，一定要注意分n 1,n 2两种情况，在求出2结果后，看看这两种情况能否整合在一起二、填空题13 【解析】【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和【详解】数列满足：（且为常数）当

18、时则所以（常数）故所以数列的前项为首项为公差为的等差数列从项开始由于所以奇数项为偶数项为所以故答案为：【点睛】解析： 1849【解析】【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和.【详解】数列an 满足：a1a （ a R 且为常数），an 1an 3 an4 an an3nN， 3100时，则a1 100，所以an 1an3（常数），故 an 100 3 n 1 ，所以数列的前34项为首项为100，公差为3的等差数列.从 35 项开始，由于a341 ，所以奇数项为3 、偶数项为1，所以S100故答案为：1849 ，100 134 6631221849本题考查了由递推关系式求数列的性质、等

19、差数列的前n 项和公式，需熟记公式，同时也考查了分类讨论的思想，属于中档题.14 【解析】【分析】表示出再表示出整理并观察等式列方程组即可求解【详解】等差数列的公差为前项和为设其首项为则=又数列也为公差为的等差数列首项为所以=即：整理得：上式对任意正整数n 成立则解得：【点睛】本题1解析： 12【解析】【分析】表示出Sn ，再表示出Sn n ，整理并观察等式，列方程组即可求解【详解】等差数列an 的公差为d d 0 ，前 n 项和为Sn ，设其首项为a1 ，nn 1则 Sn = na1d ，2又数列Sn n 也为公差为d 的等差数列，首项为S1 1a1 1 ，所以Sn n = a1 1 n 1

20、 d ，即：na1 n n 1 d n a1 1 n 1 d整理得：dn2a1d 1 nd2n22a11 d dna11 d上式对任意正整数n 成立，d2则a1 1 d 0，解得：dda11 2a1 1 d d12，【点睛】本题主要考查了等差数列的前n 项和及通项公式，考查了方程思想及转化思想、观察能力，属于中档题15 8【解析】【分析】根据求得再求出带入不等式解不等式即可【详解】因为数列为正项的递增等比数列由解得则整理得：使不等式成立的最大整数为故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和同时考解析： 8【解析】【分析】根据a1 a5 82a2a4 a1a581a1a518

21、1，ann113n 1 . 再求出 Tn 3(1 3n ) ，带入不等式112020 | Tn1| 1 ，解不等式即可3anan 为正项的递增等比数列，a1 a5 82a2a4 a1a5，解得 81a1 1a5 8112020 | Tn 3n11| 1an112020 |131n 3n11 1| 1.整理得：3n 8080 .使不等式成立的最大整数n 为 8 .故答案为：8【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和，同时考查了学生的计算能力，属于中档题 .16 9【解析】【分析】记函数利用等比数列求和公式即可求解【详解】由题：记函数即故答案为：9【点睛】此题考查多项式系数之和问题常用

22、赋值法整体代入求解体现出转化与化归思想解析： 9记函数 f (x) (1 x)1 (1 x)2 L(12f(1) a0 a1 a2 Lan 2 2L【详解】2由题：记函数f (x)a0 a1 x a2xLn2nx)a0 a1x a2 xLan x ，2n ，利用等比数列求和公式即可求解.anxn(1 x)1 (1 x)2 L (1 x)n ，f(1) a0 a1 a2 L an 2 22 L 2n 2(1 2 ) n12即 2n 1 2 1022 ， 2n 1 1024, n 9故答案为：9此题考查多项式系数之和问题，常用赋值法整体代入求解，体现出转化与化归思想17 【解析】【分析】由得为等差

23、数列求得通项公式则可求【详解】则为以首项为 1 公差为 3 的等差数列则故答案为：【点睛】本题考查等差数列的定义及 通项公式意在考查计算能力是基础题解析：1281111由3(n N ) 得 为等差数列，求得通项公式，则a10可求an 1 ananan【详解】1113(n N )则1 为以首项为1，公差为3的等差数列，则an 1 anan111 3 n 1 3n 2 a10an10281故答案为：128【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式，意在考查计算能力，是基础题18 【解析】【分析】ACD中求出AC ABD中求出BC ABC中利用余弦定理可得结果【详解】解：由已知ACD中ACD 15&#

24、176;ADC 150°DAC=1°5由正弦定理得BCD中BDC 15解析： 80 5【分析】 ACD 中求出AC， ABD 中求出BC，ABC 中利用余弦定理可得结果【详解】解：由已知，ACD 中， ACD 15°， ADC 150°，ACDAC=15 °由正弦定理得80sin150 osin15 o640 24062， BCD 中， BDC 15°，DBC=3°，0BCD 135°，CDCDsin CBDBC，sin BDCCD sin BDC所以 BC sin CBD80 sin15sn 160sin1540

25、621；2 ABC 中，由余弦定理，AB2 AC2+BC2 2AC?BC?cos ACB1600 8 4 31600 8 4 32 16006262121600 16 1600 4 1600 20解得： AB 80 5 ，则两目标A， B 间的距离为80 5 故答案为80 5 【点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了数形结合思想和转化思想，是中档题19 或 6【解析】【分析】由题意要分公比两种情况分类讨论当q 1 时 S33a1 即可求解当q1 时根据求和公式求解【详解】当q 1 时 S3 3a1 3a33×符合题意所以a1；当q1 时 S3a1(13解析

26、： 3 或 62【解析】【分析】由题意，要分公比q 1,q 1 两种情况分类讨论，当q 1 时，S3 3a1 即可求解，当q 1时，根据求和公式求解.【详解】当q1 时，S33a13a33×3 9 ，符合题意，所以a13 ；222a1 1 q9当 q 1 时，S3 a1(1 q q ) ，33又 a3 a1q 得a12 ，代入上式，2 2q32911得 2 (1 q q )，即 2 2 0，2q2qq11解得 2 或 1(舍去 )qq21 6，21q，所以a12综上可得a13 或 6.2【点睛】本题主要考查了等比数列的性质及等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属于中档题.20 【

27、解析】【分析】利用成等比数列得到再利用余弦定理可得而根据正弦定理和成等比数列有从而得到所求之值【详解】 成等比数列 又 在中由余弦定理因 由正弦定理得因为所以故故答案为【点睛】在解三角形中如果题 解析： 2 33【解析】【分析】利用 a, b, c成等比数列得到c2 b2a2 bc ，再利用余弦定理可得A60 ，而根据正弦c定理和a,b,c成等比数列有cbsin B1sin Aa, b, c成等比数列，b2 ac . 又 a2在 ABC中，由余弦定理cosA22 cb2 c2 a22ac bc ， c ba2 bc .2bcA 0,60 .b2ac ，sinCcbsin BsinCsin Bs

28、in Bsin Csin 2 B所以 sin 2 B sin Asin C ，sin C1232sin B sin Asin C sin A 3故答案为2 3 .3【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.三、解答题21 （1） B 2 ;（2） a c 3.3【解析】试题分析：（1）正弦定理得3sinBsinA sinAcosB 2sinA 0， sin B 1 ，所622

29、以 B ；（2）根据面积公式和余弦定理，得7 a c ac ，所以 a c 3 .3试题解析：（）由已知及正弦定理得3sinBsinA sinAcosB 2sinA 0 ，因为 sinA 0 ，所以 3sinB cosB 2 0，即 sin B 61,5又 B 0, B,，6662B，所以 B .623（）由已知S ABC acsinB ac, ac 2 ，222221由余弦定理得b2 a2 c2 2accosB，即 7 a c 2ac 2ac ，22即 7 a c ac ，又 a 0,c 0 所以 a c 3 .322 （1） m ； （2）4.2【解析】试题分析：（）先根据绝对值定义解不等

30、式解集为, 22, ，再根13据解集相等关系得m 2 ，解得 m （）不等式恒成立问题，一般转化为对应2y a ， 根 据 绝 对 值 三 角 不 等 式 可 得 2y22函 数 最 值 问 题 ， 即 2x 1 2x 3max2x 12x 3max4， 再 利 用 变 量 分 离 转 化 为 对 应 函 数 最 值 问 题 ：a 2 y 4 2 y ，根据基本不等式求最值：max2y 4 2y22y 4 2y4 ，因2此 a 4，所以实数a的最小值为422,试题解析：（）由题意知不等式2x 2m 1（m 0）的解集为11由 2x 2m 1，得m x m ，2213所以，由m 2 ，解得 m

31、22fx2 y a 2x 3 等价于 2x 1 2x 2y2ya2y2x 1 2x 3max2ya2y2x 1 2x 32x 12x 34，所以 2y a 4 ，即 a2y 4 2y 对任意 y R 都成立，则a 2y 4 2y2y22y 4 2y2y 4 2y4 ，当且仅当2y 4 2y，即 y 1 时等号成立，2而 max故 a 4，所以实数a的最小值为423 （ 1） ê轹p ,p÷÷ ；（2） 15 3ê?2 ÷?4【解析】【分析】（ 1 ）利用降次公式化简f x ，然后利用三角函数单调区间的求法，求得f （ x） 的单调递增区间 .（

32、 2）由 f （A） 0求得A，用余弦定理求得c，由此求得三角形ABC的面积 .【详解】1= cos 2x + （x ? （0, ），由k 1 得 x . 所以 f （ x） 的单调递增区间21 )依题意f (x) = cos2 x- sin22k 2x 2k 得 kx2ê ,p .ê?2÷?1 x+2k ，令2）由于a b，所以A为锐角，即0A ,0 2 A .由f ( A) 0 ，得21 cos2A20,cos2A1，所以2 A22c 2 时，222 abc2bc cosA， c,A5c6 0 ，解得c 2 或 c 3.222 acbcos B2ac19380 ，则 B 为钝角，与已知三角形ABC 为锐角三角形矛盾.所以c 3.所以三角形ABC 的面积为1bc sin A23 15 3324【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查三角函数单调性的求法，考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题24 （ 1） C （ 2） 2 333【解析】试题分析：（1 ）由余弦定理得理将条件化为边的关系：b2cosC 值，再根据三角形内角范围求角C ；（c2 a2 4accosA，再根据余弦定理得2a2）由正弦定b ，代人解得23a ，b3VABC的面积433c 2 ，由勾股定理得B ，最后根据直角三角形面积公式得2试题解析：解：（1）由余弦定理，