2020-2021学年高三数学(文科)学业水平考试试题及答案解析

1、&知识就是力量&绝密启用前最新度高中三年级学业水平考试数学（文科）本试卷共4 页，满分150 分考试用时120 分钟注意事项：1. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第卷一、选择题：共12 小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 已知

2、集合A x|x2 2x 0， B 0,1,2,3，则AI(A) 1， 2(B) 01， ， 2(C) 12 已知复数z满足 (2z 1)i 2，则z(A) 1 2i(B)1 i(C)122rrrrr3 已知向量a ( 1,2),b (1, 1)，则 (a b) a(A) 8(B)5(C) 44 若方程f (x) 2 0 在区间(0,) 有解，则函数yB(D) 1， 2， 3i(D) 1 i2(D) 4f (x) 的图象可能是5 在等差数列an 中，已知a3a52, a7a10 a139, 则此数列的公差为6 利用计算机在区间7 抛物线8 函数9 某人以1011121(A)31(A)21(A)

3、2(B)3(C) 12(0,1) 上产生随机数a，则不等式ln(3ay28x的焦点到双曲线f (x)cos1(D)61) 0 成立的概率是2(B)31(C)31(D)41 的渐近线的距离是(B) 23(C) 1(D) 322(x ) cos (x4) 的最大值和最小正周期分别为 4(A) 1 ,2(B) 1, (C)1 ,(D) 1,2215 万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20% 的速度折旧，图述汽车价值变化的算法流程图，则当n 4时，最后输出的S 为(A) 9.6(B) 7.68(C) 6.144(D) 4.91522 的正方体ABCD-A 1B1C1D1 的一个面A1B1C1 D 1 在

4、一半球底面上，且A、 B、 C、 D 四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为(A) 4 6PF 与 C 的一个交点，若(A)3(B) 2 6 (C) 16 3 (D) 8 62C： y8x的焦点为F ，准线为l ， P 是 l 上一点，Q是直线uuur FPuuur2FQr0 ，则| QF |=(B)4(C)6(D)8若关于 x 的方程 4sin 2 xmsin x 11 是描0在 (0, )内有两个不同的实数解,则实数m的取值范围为(A) m 4或 m4(B) 4 m 5 (C) 4 m 8(D) m 5或 m 4第卷本卷包括必考题和选考题两部分第13 题 : 第 21 题为必考题，每个试

5、题考生都必须做答第22 题 : 第 24 题为选考题，考生根据要求做答(本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分，请把正确的答案填写在答题(1)x, x (,1);413 已知 f (x)，则 f ( f ( 2)log1 x, x 1,).2yx14 设变量x， y满足约束条件x 2y 2 ，则 z x 3yx2的最小值为15 如图 2，网格纸上小正方形的边长为1 ，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则被截去部分的几何体的表面积为16 数列an 的通项公式an （ 1）n 2n n cos（n ），其前n 项和为 Sn ，则S10等于.17 . （本小题满分12 分）

6、已知 a,b,c分别是 ABC内角 A, B,C 的对边，且3csin A acosC .（ I ）求 C 的值；（ II ）若 c 7a ， b 2 3 ，求ABC的面积18 （本小题满分12 分）某中学随机抽取50 名高一学生调查其每天运动的时间（单位：分钟），并将所得数据绘制（如图 3） ， 其中运动的时间的范围是0， 100 ， 样本数据分组为0,20）,20,40）,020406080100频率/组距40,60）, 60,80）,80,100 .（）求直方图中x 的值；（）定义运动的时间不少于1 小时的学生称为“热爱运动”1200 人，请估计有多少学生“热爱运动”m, n 表示在抽取

7、的50 人中某两位同学每天运动的时间，且已知m,n 40,60）80,100 ，求事件“| m n | 20”的概率 .19 （本小题满分12 分）如图4，在三棱柱ABC -A1B1C1 中，底面ABC 是边长为等边三角形，D 为 AB 中点（ ）求证：BC1平面A1CD；（ ）若四边形CB B 1C1 是正方形，且求多面体CA1C 1BD 的体积.A1D=5,20. （本小题满分12 分）C 的中心在原点，焦点在y 轴上，且长轴的长为4，离心率等于C 的方程； 若椭圆 C 在第一象限的一点P 的横坐标为1 ， 过点 P 作倾斜角互补的两条不同的直线PA， PB 分别交椭圆C于另外两点A， B

8、 ，求证：直线AB 的斜率为定值21 （本小题满分12 分）f （x） 在点 （1, f （1）处的切线方程为2.b(x 1)f (x) a ln x, 曲线 yxa 、 b 的值；x 0 且 x 1 时，求证：f (x)(x 1)ln xx1图42x tcos图 53( t 为参数) ，以坐标2y 4 tsin322 （本小题满分10 分）选修4 1：几何证明选讲如图 5 ，四边形ABCD 内接于，过点 A 作 的切线 EP 交 CB的延长线于P，已知PAB 250（ I ）若BC 是 O 的直径，求D 的大小；（II ）若 DAE 250，求证：DA2 DC BP 23 （本小题满分10

9、分 ）选修4 4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是4（）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标系方程；（）设直线l 与曲线 C 相交于A、 B 两点，求AOB的值 .24 （本小题满分10 分）选修4-5 不等式选讲已知函数f (x) | x 2 |.f(x) f (x 1) 2；a 0,求证： f(ax) af(x) f (2a).数学(文科)参考答案及评分说明1、 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2、

10、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和如果后续部分的难度， 可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数一、选择题：解析：9. 依题意知，设汽车框图易得当BCADAC DBCACDx 年后的价值为S , 则 S 15(1 20%) x，结合程序n 4时， S 15(1 20%) 4 6.144 10. 设半球的半径为r ，依题意可得所以此半球的体积为23r3 4 6 .11. 如右图，根据已知条件结合抛物线的定义易得：|FF'

11、| |PF| 2|QQ'| | PQ| 3|QQ'| 6.22 ( 2)2 r2，解得 r 6，212. 令 sin x u, 则 u (0,1 ， 关于 x的方程 4sin x msin x 1 0在 (0,f (u) 4u2 mu 10在 (0,1上有唯一二、填空题：f(u)16m0.84u24umu1，u u13.0,或 f (1) 5 m 0 ，解得 m4 或 m 5 .或方程yx=- 2Q'FxF ( 2, 0)0在 (0,1上有唯一解等价于直线(0,1 图象有唯一交点，结合图象易得y m 与关于 u 的函4； 14. -8 ； 15. 54 18 3； 16

12、.687 解析： 15. 依题意知该几何体如右图示：则被截去部分的几何体的表面积为3 623 (6 2)2 54 18 3.2421016 . S10 ( 2) ( 2) L ( 2) cos 2cos2 L 10cos1021 ( 2)101 ( 2)687.17 解：（ I）A、 C为ABC的内角，3c sin A acosC 知 sin A 0,cos C 0 ，结合正弦定理可得：3sin Aa sin A3分cosCcsin Ctan C4分0C C65分II )解法 1 ： c 7a ， b 2 3 ，7a2 a2 12 4 3a 3，27分整理得：a2 a 2 0 解得： a 1

13、或 a 2（不合舍去）9 分a 1 ，由 S ABC1 absinC 得2113ABC的面积 S ABC 1 2 322212分2 ：由c 7a 结合正弦定理得：1sin A sinC7，146 分a c，A C,cosA 1 sin 2 A3 21147 分sin B sin (A C) sin( A C)分7sin AcosC9 分cosAsinC= 73 3 21 1211421427bsin A由正弦定理得：a1 ， 10分sin B ABC的面积 S ABC 1 1 2 3 13 12分】22218. 解： ( 1)由20 (0.002 0.003 2 x 0.025) 1 得 x

14、0.017； 2 分()运动时间不少于1 小时的频率为20 (0.002 0.003) 0.1 ， 3 分不少于 1 小时的频数为12000.1 120， 所以该校估计 “热爱运动”的学生有120 人； 5分()由直方图知，成绩在40,60) 的人数为50 20 0.003 3人，设为A, B,C ； 6 分成绩在 80,100 的人数为 50 20 0.002 2人，设为x, y.7 分 若 m,n 40,60) 时，有 AB,AC,BC 三种情况；若 m, n 80,100 时，只有xy一种情况；8分若 m, n 分别在 40,60),80,100 内时， 则有 Ax,Ay,Bx, By,

15、Cx,Cy 共有 6 种情况.所以基本事件总数为 10 种， 10分事件“ | m n | 20 ”所包含的基本事件个数有 6 种 .63 P( | m n | 20 ) =. 12分10 519. ( I)证法1 ：连结 AC1，设 AC1 与 A1C 相交于点E，连接则 E 为 AC 1 中点， 2 分 D 为 AB 的中点，DE BC 1 ， 4 分 BC1 ? 平面 A1CD， DE ì 平面A1CD ， 5 分 BC1平面A1CD. 6 分【证法 2：取A1B1中点D1 ，连结BD1和 C1D1， 1 分 BD 平行且等于A1D1 四边形BD A1D1 为平行四边形 A1D

16、 / /BD1 2分 A1D 平面A1CD ， BD1 平面 A1CD BD1 /平面A1CD ,3 分同理可得C1D1 /平面A1CD 4 分 BD1 I C1D1 D1 平面A1CD /平面BD1C1又BC1 平面BD1C1 BC1平面A1CD. 6 分】222( ) Q AD2+A1A2 = 5=A1D2 A1A AD,又 B1B BC, B1B /A1A A1A BC ，又 AD I BC B A1A 面 ABCVABC A1B1C1 VA1 ACDVBAA1S ABCAA1S ACDBB1 SA1B1C1AA1 S2ABC122132222即所求多面体CA1C 1BD 的体积为3分9

17、B1C1-1012 分(法二)过点A1 作 A1H B1C1 于 H ，BB1C1C 平面A1B1C1 且平面BB1C1C I 平面A1B1C1A1 H 平面BB1C1C ,VA1 ACD VA1 A1CC111S BCD AA1S33BCC1A1H3441220. 解：2 y2 a2x2 1 (a b 0) b2所以，椭圆的方程为222 abc2a2,b2则 PA 的直线方程为2 k(x241y241 ，得 P(1, 2) PA、PB 的斜率必存在，设PA 的斜率为k，2 k(x 1) 2y11)得： (2 k2)x2 2k( 2 k)x ( 2 k)2 4 08分设A(xA, yA)， B

18、 (xB , y B)，则xA1 xAk2 2 2k 222 k2xBk2 2 2k 22 k2104 2k则 xB xA2 ， yB2kyAk(xB 1) k(xA 1)8k22k2所以直线AB 的斜率kAByA yB 2 为定值12xAxB21. 解： ()f (x) a2, x2 的斜率为0 ，且过点(1,2)f(1)得f (1)2,11, b0,解得 a 1,b1.0x令 g(x)所以当x 1 时，不等式f (x)(x 1)ln xx112ln x 0.x1 时，不等式f (x) (x 1)ln xx111x 2ln x,g (x) 12xx0时， g (x) 0, 所以函数g(x) 在 (0,x 1 时， g(x) g(1) 0,故 f(x)(x 1)ln0 x 1 时， g(x) g(1) 0,故 f (x)x 0 且 x 1 时，不等式f (x)(x2ln x 0.2x 1) 单调递增，x 成立x1(x 1)ln x 也成立x11)ln x总成立x1