电磁波的数学描述-文档资料

1、1引言引言 波动综述波动综述23456222EEt222BBt2222222xyz 7222ExExt819222222222210 (1)10 (2)EEztBBzt1012()()Efztfzt0 Z0 .代表沿 正方向传播的平面波负11()Ef zt()Bfzt2c o s()2 c o s()A ,A EAztBAzt式 中是 一 个 常 数 ，是 常 矢 量12,A A 2()zt2()zt13k2k1T14cos()zEAcos 2()EAkzttT或15160c0n17kcos()EAkzt zZzyxk0kPro18 z0zkr0kk是cos()EAkrt zZzyxk0kPr

2、o19k r kcos,cos,coscos( coscoscos )EAk xyztkk rkzcos()cos()EAkrtAkrt20exp()EAi krt21exp()EAi krtexpik r expi texp()exp()EAik ri texp()EAik r22Eexp()i texp()i t23cos,0,cosexp()exp(cos)EAik rAikxexp(sin )EAikx242*IAE E 2526exp()EAi krtexp(exp()exp()EAi krtAi krtikAi krtikE 270kE0E 则exp()0BAi k rtB 及28

3、BEt expEikrtAikE Bi Bt29ikEiB1kEBBkE2kv 0BkE0,kE B300BkEE1B313233342221( , )( , )A r trA r trr22221AAt2222211( , )( , )A r trA r trrt3522222( , )1( , )rA r trA r trt( , )rA r t12( , )()()rA r tB rvtB rvt121( , )()()A r tBrvtBrvtr12,BB360(,)c o saArtk rtr001c o s ()AEk rtr1exp ()AEi krtr371e x p ()AE

4、ik rr380krkvt0dd rd t392k 4012222000()()()rxxyyzz41002221000222000exp()()()()AEikxxyyzxxyyz424301(0)exp()AEi krtr1exp()AEikrr4445461.3.1 波的独立传播与叠加原理波的独立传播与叠加原理 ： 由于任何复杂的光波都可以分解为一组由余弦函数和正弦函由于任何复杂的光波都可以分解为一组由余弦函数和正弦函数表示的单色光波，因此讨论两个（或多个）光波在空间某一区数表示的单色光波，因此讨论两个（或多个）光波在空间某一区域相遇时，所发生的光波的叠加问题是有意义的。同时，频率、域相

5、遇时，所发生的光波的叠加问题是有意义的。同时，频率、振幅和位相都不相同的光波的叠加，情形很复杂。振幅和位相都不相同的光波的叠加，情形很复杂。 本节只限于讨论频率相同或频率相差很小的单色光波的叠加，本节只限于讨论频率相同或频率相差很小的单色光波的叠加，这种情况下可以写出结果的数学表达式。这种情况下可以写出结果的数学表达式。本节所讨论内容的理论基础：本节所讨论内容的理论基础：一、波的独立传播定律：一、波的独立传播定律： 两列光波在空间交迭时，它的传播互不干扰两列光波在空间交迭时，它的传播互不干扰, ,亦即每列波如何亦即每列波如何传播，就像另一列波完全不存在一样各自独立进行。此即波的独立传播，就像另

6、一列波完全不存在一样各自独立进行。此即波的独立传播定律。传播定律。 必须注意的是：此定律并不是普遍成立的，例，光通过变色玻必须注意的是：此定律并不是普遍成立的，例，光通过变色玻璃时是不服从独立传播定律的。璃时是不服从独立传播定律的。47二、波的叠加原理：二、波的叠加原理： 当两列当两列( (或多列或多列) )波在同一空间传播时，空间各点都参与每列波在同一空间传播时，空间各点都参与每列波在该点引起的振动。若波的独立传播定律成立，则当两列波在该点引起的振动。若波的独立传播定律成立，则当两列( (或多或多列列) )波同时存在时，在它们的交迭区域内每点的振动是各列波单独波同时存在时，在它们的交迭区域内

7、每点的振动是各列波单独在该点产生振动的合成在该点产生振动的合成. .此即波的此即波的迭加原理。迭加原理。 与独立传播定律相同，叠加原理适用性也是有条件的。这条与独立传播定律相同，叠加原理适用性也是有条件的。这条件，一是件，一是媒质媒质, ,二是波的二是波的强度强度。 光在真空中总是独立传播的，从而服从叠加原理。光在真空中总是独立传播的，从而服从叠加原理。 光在普通玻璃中，只要不是太强，也服从叠加原理。光在普通玻璃中，只要不是太强，也服从叠加原理。 波在其中服从叠加原理的媒质称为波在其中服从叠加原理的媒质称为“线性媒质线性媒质”。此时，对于此时，对于非相干光波非相干光波：1( )( )NiiI

8、PI P即即N N列波的强度满足线性迭加关系。列波的强度满足线性迭加关系。1.3.1 波的独立传播与叠加原理波的独立传播与叠加原理 48对于相干光波对于相干光波 ：1( )( )NiiE PE P即即N N列波的振幅满足线性迭加关系。列波的振幅满足线性迭加关系。 由于振动量通常是矢量，所以一般情况下此处之由于振动量通常是矢量，所以一般情况下此处之“和和”应理解为应理解为矢量和矢量和. .波在其中不服从迭加原理的媒质称为波在其中不服从迭加原理的媒质称为“非线性媒质非线性媒质”。 1.3.1 波的独立传播与叠加原理波的独立传播与叠加原理 491.3.2 同频率简谐波叠加的一般分析及干涉概念同频率简

9、谐波叠加的一般分析及干涉概念 1.3.2 1.3.2 同频率简谐波叠加的一般分析及干涉概念同频率简谐波叠加的一般分析及干涉概念 设两列同频率简谐波在其波场交叠区某点设两列同频率简谐波在其波场交叠区某点P P各自产生的复振幅分别为各自产生的复振幅分别为 101()() exp()PPiP1EE2202()()exp()PPiPEEP P点合振动的复振幅矢量为点合振动的复振幅矢量为12()()()PPPEEEP P点合光强为点合光强为1212221020( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )PPPPPPPppIEEEEEEEE1020212( )( )cos( )( )PPPPE

10、E501.3.2 同频率简谐波叠加的一般分析及干涉概念同频率简谐波叠加的一般分析及干涉概念 令令2110( )P IE2220( )( )PPIE21( )( )( )PPP 则则 121020()()()2()() cos()PpppppIIIEE 若在两波的交叠区波场的强度分布不是简单地等于每列波单独产若在两波的交叠区波场的强度分布不是简单地等于每列波单独产生的强度之和，即生的强度之和，即一般地一般地12()()()PPPIII则称这两列波发生了干涉。则称这两列波发生了干涉。 易见对干涉的贡献来自合强度式中的第三项易见对干涉的贡献来自合强度式中的第三项干涉项干涉项。为使该项具有不为零的稳定

11、贡献，必须有为使该项具有不为零的稳定贡献，必须有 （1 1） E E10 10 E E2020 =0 =0，即，即E E1010不垂直于不垂直于E E20 20 ；（2 2）对给定点）对给定点P P，相差，相差（P P ) )恒定，不随时间而变化。恒定，不随时间而变化。对理想对理想单色单色简谐波，只要振动方向不互相正交，总是相干的。简谐波，只要振动方向不互相正交，总是相干的。51设两列三维平面波的频率相同，振动方向相同设两列三维平面波的频率相同，振动方向相同( (故可用标量波表示故可用标量波表示) )，其复振幅分别为其复振幅分别为110110(r)exp EEkr22020(r)exp 2EE

12、kr此时此时 102010201020,/E EEE EE可得到光场中的光强分布为可得到光场中的光强分布为22102010202cosIEEE E或写为或写为1212( )2cosI rIII I其中其中212120102121212010()(coscos)(coscos)(coscos) kkrkxyz 1.3.2 同频率简谐波叠加的一般分析及干涉概念同频率简谐波叠加的一般分析及干涉概念 52光强仅随位置光强仅随位置r r变化而变化。在某些变化而变化。在某些特定位置特定位置，使得，使得2 m (m = 0，l，2，) 光强光强I I 取得取得极大值极大值2221020102010202()

13、MIEEE EEE这时称两列波发生了这时称两列波发生了相长干涉相长干涉； 在另一些在另一些特定位置特定位置，使得，使得 ( 21)m (m = 0，l，2，) 光强光强I I 取得取得极小值极小值2221020102010202()EEE EEEmI这时称两列波发生了这时称两列波发生了相消干涉相消干涉。 1.3.3 两列同频率两列同频率 同向振动的平面波的叠加同向振动的平面波的叠加 53 相同的点的集合构成了三维空间中的相同的点的集合构成了三维空间中的等强度面等强度面，这种等强度面的方程是这种等强度面的方程是212121(coscos)(coscos)(coscos)xyzC 我们把两列我们把

14、两列( (或多列或多列) )相干波的交叠区称为相干波的交叠区称为干涉场干涉场，将干涉场中光强随空间位置的分布称为将干涉场中光强随空间位置的分布称为干涉图样干涉图样。由以上分析可知，两列同频率平面波的干涉图样是三维空间中一族光强由以上分析可知，两列同频率平面波的干涉图样是三维空间中一族光强极大与极小相间排列的平行平面。极大与极小相间排列的平行平面。由于在由于在I I1 1、I I2 2 给定时，光强给定时，光强I I仅取决于仅取决于cos，而，而cos随随x, ,y, ,z的变化具有周的变化具有周期性，期性，故，干涉场的强度变化亦具有故，干涉场的强度变化亦具有空间周期性空间周期性。1.3.3 两

15、列同频率两列同频率 同向振动的平面波的叠加同向振动的平面波的叠加 5402 ()xyzf xf yf z 由于由于可知，光强分布在可知，光强分布在x ,y ,z x ,y ,z 方向的空间频率分别为方向的空间频率分别为 122121222122coscos,coscos,coscos,xxxyyyzzzfffffffff上式亦可写成矢量形式上式亦可写成矢量形式21fff式中式中f1 1，f2 2 分别是第一列波、第二列波的空间频率矢量，分别是第一列波、第二列波的空间频率矢量，f 是干涉图是干涉图样样( (在垂直于等强度面方向在垂直于等强度面方向) )的空间频率矢量。的空间频率矢量。1.3.3

16、两列同频率两列同频率 同向振动的平面波的叠加同向振动的平面波的叠加 551.3.3 两列同频率两列同频率 同向振动的平面波的叠加同向振动的平面波的叠加 由于由于f1 1= =f2 2=1/=1/, f 的方向为等强度面的法线方向，的方向为等强度面的法线方向，可知等强度面位于可知等强度面位于f1 1、f2 2 ( (亦即亦即k1 1、k2 2) )的角平分面，的角平分面，且有且有2sin2f式中式中为为k1 1、k2 2夹角。夹角。对对fx fy fz 取倒数可以得到干涉图样在取倒数可以得到干涉图样在x, ,y, ,z方向的空间方向的空间周期周期dx, ,dy, ,dz相邻光强极大相邻光强极大(

17、 (或极小或极小) )平面的间距则为平面的间距则为12sin2df561.3.4 两列同频率两列同频率 同向振动同向振动 反向传播的平面波的叠加反向传播的平面波的叠加 光驻波光驻波设两列波的传播方向分别沿设两列波的传播方向分别沿z轴的负方向和正方向轴的负方向和正方向,采用实波函数来进行分析。采用实波函数来进行分析。 其实波函数分别为：其实波函数分别为： 110( , )cos()z tkztEE2200( , )cos()z tkzt EE为突出波叠加时的主要特征，设为突出波叠加时的主要特征，设E10=E20，则合成波为，则合成波为120010( , )( , )( , )2cos() cos

18、()22z tz tz tkztEEEE 上式中第二项表明波场中任一点仍作角频率为上式中第二项表明波场中任一点仍作角频率为的简谐振动，而的简谐振动，而第一项的绝对值则表示为坐标为第一项的绝对值则表示为坐标为z处的振动振幅，处的振动振幅，将此振幅记为将此振幅记为E0（z），即有：），即有：0010( )2cos()2zkzEE57显然，各点的振幅不再是常数，而随其空间位置显然，各点的振幅不再是常数，而随其空间位置z而变化。而变化。 在满足在满足 02kzm(m = 0，1，2，) 的位置，振幅的位置，振幅E(z)取得最大值取得最大值2E10，这些点称为，这些点称为波腹波腹。 01()22kzm在

19、满足在满足 (m = 0，1，2，) 的位置，振幅的位置，振幅E(z)取得最小值取得最小值0，这些点称为，这些点称为波节波节。 容易看出，波腹与波节相间分布，相邻波腹容易看出，波腹与波节相间分布，相邻波腹(或波节或波节)的间距皆为的间距皆为/2。由于整个波形并不发生空间推移，所以这种波称为由于整个波形并不发生空间推移，所以这种波称为驻波驻波。相应地，前文所讨论的各种在空间传播的波则可以称为相应地，前文所讨论的各种在空间传播的波则可以称为行波行波。1.3.4 两列同频率两列同频率 同向振动同向振动 反向传播的平面波的叠加反向传播的平面波的叠加 光驻波光驻波582sinl591.3.5 两列同频率

20、、振动方向互相垂直、同向传播的平面波的两列同频率、振动方向互相垂直、同向传播的平面波的叠加叠加椭圆偏振光的形成及特征椭圆偏振光的形成及特征 取取互相垂直的两个振动方向分别为互相垂直的两个振动方向分别为x和和y轴，波的传播方向为轴，波的传播方向为z方向方向 则则x，y方向的矢量实波函数可分别写为方向的矢量实波函数可分别写为00( , )cos()( , )cos()xxyyz tEkztz tEkzt EE波场中任意位置和时刻的合振动应为波场中任意位置和时刻的合振动应为( , )( , )( , )xyz tz tz tEEE 因为两列波均沿因为两列波均沿z方向等速传播，故其合成波亦沿同方向以同

21、方向等速传播，故其合成波亦沿同方向以同样速度传播，并且合矢量样速度传播，并且合矢量E仍在仍在xy平面内，即光波仍保持其横波性。平面内，即光波仍保持其横波性。以以表示表示E矢量与矢量与x轴正向所成的角，则有轴正向所成的角，则有00cos()tancos()yyxxEEkztEEkzt 可见，一般地说可见，一般地说 的大小，即的大小，即E 在在xy 平面内的指向将随位置平面内的指向将随位置z和和时间时间t 而变化。以下分别讨论其时空依赖关系。而变化。以下分别讨论其时空依赖关系。60 一、光矢量一、光矢量E的时间变化的时间变化设设z为定值为定值 可以证明，当可以证明，当t 为任意值时，为任意值时，E

22、矢量末端随时间的变化在空矢量末端随时间的变化在空间扫描出的轨迹由以下方程所确定：间扫描出的轨迹由以下方程所确定：2222200002cossinyxyxxyxyEE EEEEEE 显然，一般说来这是一个显然，一般说来这是一个“斜椭圆斜椭圆”(两半轴方位不与两半轴方位不与x,y轴重轴重合合)方程，相应的光称为方程，相应的光称为椭圆椭圆偏振光偏振光 。 1.3.5 两列同频率、振动方向互相垂直、同向传播的平面波的两列同频率、振动方向互相垂直、同向传播的平面波的叠加叠加椭圆偏振光的形成及特征椭圆偏振光的形成及特征 EyEx2a12a20该椭圆内截于一个长方形，长方形各边该椭圆内截于一个长方形，长方形

23、各边与坐标轴平行，边长为与坐标轴平行，边长为2a1和和2 a2 。如图。如图示。椭圆的长轴与示。椭圆的长轴与OX轴的夹角：轴的夹角：cos22222121aaaatg6112aatgcos22tgtg1.3.5 两列同频率、振动方向互相垂直、同向传播的平面波的两列同频率、振动方向互相垂直、同向传播的平面波的叠加叠加椭圆偏振光的形成及特征椭圆偏振光的形成及特征 62)(sin)cos(210202102021222212aaEEaEaEyxyx102001020 xyEaaE12632, 1, 02)21(12mmxyEaaE12642222aEEyx1222212aEaEyx6566二、光矢量

24、二、光矢量E的空间变化的空间变化 设设t 为定值为定值 这相当于观察这相当于观察“凝固凝固”了的波形。了的波形。对于某一时刻，传播路程上各对于某一时刻，传播路程上各点的合矢量末端位置构成一个螺旋线，螺旋线的空间周期为光波波长，各点点的合矢量末端位置构成一个螺旋线，螺旋线的空间周期为光波波长，各点场矢量的大小不一，场矢量的大小不一，其末端在与传播方向垂直的平面上的投影为一个椭圆。末端在与传播方向垂直的平面上的投影为一个椭圆。 当当=0，时，易见时，易见振动平面振动平面的空间取向是不变的，的空间取向是不变的， 其它情况下随其它情况下随z的改变而改变。的改变而改变。 关于左旋和右旋的的判据与前述相同

25、，仍是：关于左旋和右旋的的判据与前述相同，仍是：0sin0 或0sin0 或此时椭圆是右旋的此时椭圆是右旋的 此时椭圆是左旋的此时椭圆是左旋的 zxy672EvsI2EIyxyxyxEEEyExEyExI220000)()(yxIII68yxIII2269 设两列平面波均沿设两列平面波均沿z轴正方向传播，其振动方向相同，振幅皆为轴正方向传播，其振动方向相同，振幅皆为E，两列波的传播数和角频率分别为是两列波的传播数和角频率分别为是k1 ,1和和 k2,2 。取第一列波的初。取第一列波的初相为零，第二列波相对于第一列波的初相差为相为零，第二列波相对于第一列波的初相差为0，则两列波的实波函，则两列波

26、的实波函数可写为数可写为101120220( , )cos(),.( , )cos()E z tEk ztEz tEk zt 任一时刻及位置波场中的合振动可表示为任一时刻及位置波场中的合振动可表示为12000( , )( , )( , )2coscos2222E z tEz tEz tkEztkzt 式中式中1212121211()()22kkkkkk 10.3.6 两列频率相近、同向振动、同向传播的平面两列频率相近、同向振动、同向传播的平面波的叠加波的叠加光学拍光学拍70设两列波频率相近，即设两列波频率相近，即 10.3.6 两列频率相近、同向振动、同向传播的平面两列频率相近、同向振动、同向传播的平面波的叠加波的叠加光学拍光学拍,kk 则上式中第一项因子在时空中的变化速度要比第二项缓慢得多，因此可以则上式中第一项因子在时空中的变化速度要比第二项缓慢得多，因此可以把后者看做是高频载波，而把前者看做是对载波的低频调制。把后者看做是高频载波，而把前者看做是对载波的低频调制。载波的角频率为载波的角频率为 ，其振幅为，其振幅为002cos222kAEztA的