高三数学尖子生针培优对性训练(8)及答案

1、1已知函数2,0( )2,0 xxf xxx，则不等式2( )f xx的解集是 ( ) a. 1,1 b. 2,2c. 2,1d. 1,2答案 a 2.已知不等式1()()9axyxy对任意正实数, x y恒成立，则正实数a的最小值为（）（） 8（） 6c.4d.2 答案 d 3.若直线1byax通过点)sin,cos（m, 则a.122ba1.22bab111.22bac111.22bad答案 b 4.已知函数( )yfx的定义域为r，当0 x时，( )1f x，且对任意的实数,x yr，等式( )( )()f x fyfxy成立若数列na满足1(0)af，且11()( 2)nnf afa(

2、nn*) ，则2009a的值为 ( ) a 4016 b4017 c4018 d4019 答案b 5. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用a 原料 3 吨、 b 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用a 原料 1 吨、 b 原料 3 吨。销售每吨甲产品可获得利润5 万元，每吨乙产品可获得利润3 万元，该企业在一个生产周期内消耗a 原料不超过13 吨， b 原料不超过18 吨，那么该企业可获得最大利润是.解析设甲、乙种两种产品各需生产x、y吨，可使利润z最大，故本题即已知约束条件001832133yxyxyx，求目标函数yxz35的最大值，可求出最优解为43yx，故271215maxz，

3、故选择 d。6.不等式0212xx的解集为.答案| 11xx解析原不等式等价于不等式组221(2)0 xxx或12221(2)0 xxx或12(21)(2)0 xxx不等式组无解, 由得112x, 由得112x, 综上得11x, 所以原不等式的解集为| 11xx.7. 从某小学随机抽取100 名同学， 将他们的身高 （单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知 a。 若要从身高在 120 , 130） ， 130 ，140) , 140 , 150三组内的学生中，用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动，则从身高在140 ， 150 内的学生中选取的人数应为。【答案】 0.

4、030 3 8.如图， a,b,c,d 都在同一个与水平面垂直的平面内，b，d 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面a 处测得 b 点和 d 点的仰角分别为075，030，于水面c 处测得 b 点和d 点的仰角均为060，ac 0.1km。试探究图中b，d 间距离与另外哪两点距离相等，然后求 b，d 的距离（计算结果精确到0.01km，21.414，62.449）解：在acd中，dac30 ，adc60 dac30 ，所以 cdac 0.1 又bcd180 60 60 60 ，故 cb 是cad底边 ad 的中垂线，所以bdba 5 分在abc中，abcacbcaabsinsin，即 ab

5、2062351sin60sinac因此，km33.020623bd故 b、d 的距离约为0.33km。12 分9. 如图，在五面体 abcdef 中，四边形 adef 是正方形， fa 平面 abcd ，bc ad ，cd=1 ，ad=2 2， bad cda 45. （）求异面直线ce与 af所成角的余弦值；（）证明cd 平面 abf ；（）求二面角b-ef-a 的正切值。【解析】(i) 解：因为四边形adef是正方形，所以fa/ed. 故ced为异面直线ce与 af所成的角 . 因为 fa平面 abcd ，所以 facd.故 edcd. 在 rtcde中， cd=1 ，ed=2 2，ce=

6、22cded=3, 故 cosced=edce=2 23. 所以异面直线ce和 af所成角的余弦值为2 23. ( ) 证明：过点 b作 bg/cd, 交 ad于点 g， 则45bgacda. 由45bad,可得 bgab,从而 cdab,又 cdfa,faab=a,所以 cd平面 abf. ( ) 解：由（）及已知，可得ag=2，即 g为 ad的中点 .取 ef的中点 n，连接 gn ，则 gnef,因为 bc/ad, 所以 bc/ef. 过点 n作 nmef，交 bc于 m ，则gnm为二面角b-ef-a 的平面角。连接gm ，可得ad平面gnm, 故 adgm.从而bcgm.由已知，可得

7、gm=22. 由ng/fa,fagm, 得 nggm. 在 rtngm 中， tangm1ng4gnm, 所以二面角b-ef-a 的正切值为14. 10.等比数列 na的前 n 项和为ns， 已知对任意的nn，点( ,)nn s，均在函数(0 xybr b且1, ,bb r均为常数 )的图像上 . （1）求 r 的值；（11）当 b=2 时，记22 ( l o g1) ()nnbann证明：对任意的nn，不等式1212111 1nnbbbnbbb成立解:因为对任意的nn,点( ,)nn s， 均在函数(0 xybr b且1, ,bb r均为常数的图像上.所以得nnsbr,当1n时,11asbr

8、,当2n时,1111()(1)nnnnnnnnassbrbrbbbb,又因为 na为等比数列 ,所以1r,公比为b,1(1)nnabb（2）当 b=2 时，11(1)2nnnabb, 1222(log1)2(log 21)2nnnban则1212nnbnbn,所以12121113 5 721 2 4 62nnbbbnbbbn下面用数学归纳法证明不等式12121113 5 721 12 4 62nnbbbnnbbbn成立 . 当1n时,左边 =32,右边 =2,因为322,所以不等式成立. 假设当nk时不等式成立 ,即12121113 5 721 12 4 62kkbbbkkbbbk成立 .则当1nk时,左边 =1